חזור לתיקייה: תרגול

11 - תורת היחסות הפרטית 1

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • כללי
  • סימנים ומושגים
  • תרגול

11 - תורת היחסות הפרטית 1

01140071

פיזיקה 1מ

רשימות תרגול לקריאה בשבת

תורת היחסות הפרטית 1

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

משפט (עקרונות מנחים)

  1. אין מהירות גדולה מ-ccc.
  2. חוקי הפיזיקה זהים בכל מערכות היחוס האינרציאליות.

סימנים ומושגים

מאורע: (t,x,y,z)(t,x,y,z)(t,x,y,z).
היחס β\betaβ: β=vc\beta=\frac{v}{c}β=cv​ (−1≤β≤1-1\leq\beta\leq1−1≤β≤1)
היחס γ\gammaγ: γ=11−β2=11−v2c2\gamma=\frac{1}{\sqrt{ 1-\beta^2 }}=\frac{1}{\sqrt{ 1-\frac{v^2}{c^2} }}γ=1−β2​1​=1−c2v2​​1​ (γ≥1\gamma\geq1γ≥1)

הגדרה 1 (זמן עצמי)

זמן בין מאורעות שמתרחשים באותו המקום.

הגדרה 2 (אורך עצמי)

מרחק בין 2 נקודות במרחב (בדרך כלל אורך של אובייקט) כאשר הנקודות (האובייקט) נמצא במנוחה.

משפט (אפקט התארכות הזמן)

מערכת S′S'S′ נעה ב-v⃗=βcx^\vec{v}=\beta c\hat{x}v=βcx^ יחסית ל-SSS. Δt\Delta tΔt הוא זמן עצמי הנמדד ב-SSS.
ב-S′S'S′ נמדוד: Δt′=γΔt\Delta t'=\gamma \Delta tΔt′=γΔt.

משפט (אפקט התקצרות האורך)

מערכת S′S'S′ נעה ב-v⃗=βcx^\vec{v}=\beta c\hat{x}v=βcx^ יחסית ל-SSS. Δx\Delta xΔx הוא אורך עצמי הנמדד ב-SSS.
ב-S′S'S′ נמדוד: Δx′=Δxγ\Delta x'=\frac{\Delta x}{\gamma}Δx′=γΔx​.

משפט (טרנספורמציית לורנץ')

יהיו SSS ו-S′S'S′ שתי מערכות כך ש:

  1. הצירים של שתי המערכות מקבילים.
  2. מערכת S′S'S′ נעה ביחס למערכת SSS במהירות קבועה v⃗\vec{v}v. (באחד הצירים)
  3. באיפוס שעונים t=t′=0t=t'=0t=t′=0 המערכות מתלכדות.
  4. קיים תיקון לטרנספורמציית גלילי: x′=σ(x−vt)x'={\color{red} \sigma}(x-vt)x′=σ(x−vt) ו-t′=αx+ε⋅tt'={\color{red} \alpha} x+{\color{red} \epsilon} \cdot tt′=αx+ε⋅t כך שכאשר v≪cv\ll cv≪c אזי מתקיים {σ→1α→0ε→1\begin{cases}\sigma\to1\\\alpha\to0\\\epsilon\to1\end{cases}⎩⎨⎧​σ→1α→0ε→1​

אזי מתקיים: (בהנחה שהתנועה היא בציר ה-x^\hat{x}x^)

x′=γ(x−βct)y′=yz′=zt′=γ(t−βcx)x'=\gamma(x-\beta ct) \qquad y'=y \qquad z'=z \qquad t'=\gamma\left( t-\frac{\beta}{c} x \right)x′=γ(x−βct)y′=yz′=zt′=γ(t−cβ​x)
משפט (טרנספורמציית לורנץ' ההפוכה)

יהיו SSS ו-S′S'S′ שתי מערכות כך ש:

  1. הצירים של שתי המערכות מקבילים.
  2. מערכת S′S'S′ נעה ביחס למערכת SSS במהירות קבועה v⃗\vec{v}v. (באחד הצירים)
  3. באיפוס שעונים t=t′=0t=t'=0t=t′=0 המערכות מתלכדות.
  4. קיים תיקון לטרנספורמציית גלילי: x′=σ(x−vt)x'={\color{red} \sigma}(x-vt)x′=σ(x−vt) ו-t′=αx+ε⋅tt'={\color{red} \alpha} x+{\color{red} \epsilon} \cdot tt′=αx+ε⋅t כך שכאשר v≪cv\ll cv≪c אזי מתקיים {σ→1α→0ε→1\begin{cases}\sigma\to1\\\alpha\to0\\\epsilon\to1\end{cases}⎩⎨⎧​σ→1α→0ε→1​

אזי מתקיים: (בהנחה שהתנועה היא בציר ה-x^\hat{x}x^)

x=γ(x′−βct′)y=y′z=z′t=γ(t′−βcx′)x=\gamma(x'-\beta ct') \qquad y=y' \qquad z=z' \qquad t=\gamma\left( t'-\frac{\beta}{c} x' \right)x=γ(x′−βct′)y=y′z=z′t=γ(t′−cβ​x′)

תרגול

תרגיל

מכונית נוסעת במהירות קבוע לאורך ציר ה-xxx, בכיוון החיובית שלו. מרגע יציאת המכונית (x=0,t=0)(x=0,t=0)(x=0,t=0) עוקב אחריה חייזר שנמצא בחללית שנעה במהירות 0.5c0.5c0.5c בכיוון החיובי של ציר ה-xxx
ביחס לצופה בכדוה"א. ידוע כי המכונית נסעה מרחק של 270270270 ק"מ לאורך ציר ה-xxx (כפי שנמדד ע"י הצופה בכדוה"א) בעוד שהחייזר מודד שזמן הנסיעה היה 60 דק'.

א. מצאו את המהירות המכונית במערכת כדוה"א.
ב. מצאו אתת המרחק שעברה המכונית כפי שמודד החייזר.

פתרון א':
נבנה טבלת מאורעות:

 (חייזר)S′מע’  (כדוה"א)Sמע’ t1′=0t1=0יציאת המכוניתx1′=0x1=0t2′=3600t2=?רגע הגעת המכוניתx2′=?x2=2.7⋅105\begin{array}{c|c} \R{\text{ (חייזר)}}S'\R{\text{מע' }} & \R{\text{ (כדוה"א)}} S \R{\text{מע' }} & \\ \hline t_{1}'=0 & t_{1}=0 & \R{\text{יציאת המכונית}} \\ x_{1}'=0 & x_{1}=0 \\ \hline t_{2}'=3600 & t_{2}=? & \R{\text{רגע הגעת המכונית}} \\ x_{2}'=? & x_{2}=2.7\cdot10^5 \\ \hline \end{array} (חייזר)S′מע’ t1′​=0x1′​=0t2′​=3600x2′​=?​ (כדוה"א)Sמע’ t1​=0x1​=0t2​=?x2​=2.7⋅105​יציאת המכוניתרגע הגעת המכונית​​

נשתמש בטרנספורמציית לורנץ' הרגילה ונחלץ ממנה את הזמן:

t2′=γ(t2−βcx2)t_{2}'=\gamma\left( t_{2}-\frac{\beta}{c}x_{2} \right)t2′​=γ(t2​−cβ​x2​) t2=t2′γ+βcx2=360023+0.53⋅1082.7⋅105=3117.75t_{2}=\frac{t_{2}'}{\gamma}+\frac{\beta}{c}x_{2}=\frac{3600}{\frac{2}{\sqrt{ 3 }}}+\frac{0.5}{3\cdot 10^8}2.7\cdot 10^5=3117.75t2​=γt2′​​+cβ​x2​=3​2​3600​+3⋅1080.5​2.7⋅105=3117.75 v=2.7⋅1053117.2=86.6msv=\frac{2.7 \cdot 10^5}{3117.2}=86.6 \frac{m}{s}v=3117.22.7⋅105​=86.6sm​

תמיד לחשוב בגבולות ההגיון - פה נניח, מהירות המכונית יחסית הגיונית להיותה מכונית. (תתעלמו מהחייזר)

פתרון ב':

x2′=γ(x2−βct2)=23(2.7⋅105−0.5⋅3⋅108⋅3117.7)=−5.4⋅1011mx_{2}'=\gamma(x_{2}-\beta ct_{2})=\frac{2}{\sqrt{ 3 }}(2.7\cdot 10^5-0.5\cdot 3\cdot 10^8 \cdot 3117.7)=-5.4\cdot 10^{11} mx2′​=γ(x2​−βct2​)=3​2​(2.7⋅105−0.5⋅3⋅108⋅3117.7)=−5.4⋅1011m

נשים לב כי גם המספר הזה הגיוני, שכן החייזר נע מאוד מהר ומשאיר את המכונית הרבה מאחוריו.

תרגיל

מוט בעל אורך עצמי LLL פולט פעימות אור לסירוגין משני קצוותיו(A,BA,BA,B), כל τ\tauτ שניות במערכת המוט.
המוט מתרחק מצופה נייח שנמצא על כדוה"א במהירות v⃗=βcx^\vec{v}=\beta c\hat{x}v=βcx^ (ראו ציור)
בזמן t′=0t'=0t′=0 נםלטת פעימה מקצה BBB, באותו הזמן בדיוק הקצה האחורי של המוט (A)(A)(A) חולף על פני הצופה בכדו"א.

א. כמה זמן יעבור על פי שעון הצופה בכדוה"א בין הזמן בו הוא רואה את האור היוצא מהקצה הקרוב של המוט AAA ובין הזמן בו הוא ראותה את האור היוצא מהקצה הרחוק של המוט BBB?
ב. כמה זמן יעבור ע"פ השעון בכדוה"א בין קליטת שתי פעימות עוקבות הנפלטות מקצה AAA של המוט?