1 - חזרה מתמטית וקצת מדרים — פיזיקה 1מ

השבוע נעשה חזרה מתמטית על דברים שכבר נשכחו מהתיכון.

נגזרת

סימון: $\frac{df}{dx}=f'$ , $\frac{d^2f}{dx}=f''$ .
אם גוזרים את $f$ לפי $t$ נרשום כך בפיזיקה:

\frac{df}{dt}=\dot{f}

משמע, גזירה לפי זמן.

קצת זהויות

נגזרת של מכפלה

(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

נגזרת של הרכבה

\frac{d}{dx}f(u(x))=\frac{df}{du}u'(x)

נגזרות מוכרות

(x^n)'=nx^{n-1}

(\ln x)'=\frac{1}{x}

(e^x)'=e^x

(\sin x)'=\cos x

(\cos x)'=-\sin x

ויש עוד ועוד.

תרגיל

חשבו את הביטויים הבאים:
א. $\frac{d}{dy}(A\sqrt{ y })$
ב. $\frac{d}{dx}(\sin x\cdot \cos x)$
ג. $\frac{d}{dx}(e^{ax+x\ln x})$
ד. $\frac{d^2}{dt^2}(\cos kx-\omega t)$

פתרון (א):

\frac{d}{dy}(A\sqrt{ y })=A \frac{d}{dy}\sqrt{ y }=A\frac{1}{2\sqrt{ y }}=\frac{A}{2\sqrt{ y }}

פתרון (ב):

\frac{d}{dx}(\sin x\cdot \cos x)=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x

פתרון (ג):

\frac{d}{dx}(e^{ax+x\ln x})=\left( a+\frac{x}{x}+\ln x \right)e^{ax+x\ln x}=(\ln x+1+a)e^{ax+x\ln x}

פתרון (ד):

\frac{d^2}{dt^2}(\cos kx-\omega t)=\frac{d}{dt}\left( \frac{d}{dt}\cos(kx-\omega t) \right)=\frac{d}{dt}(-\omega\cdot-\sin(kx-\omega t))=\frac{d}{dt}(\omega \sin(kx-\omega t))=-\omega\cdot\omega\cdot \cos(kx-\omega t)=-\omega^2\cos(kx-\omega t)

אינטגרלים

אינטגרל הוא הפונקציה הקדומה או השטח מתחת לגרף(מסויים או לא מסויים)
השטח בין גרף הפונקציה $f$ לציר ה- $x$ בין $a$ ל- $b$ .
נסמן את השטח:

\int^{a}_{b}f(x)dx

אם נקח $F$ ונגזור ונקבל $f$ אזי, $F$ נקראת פונצקיה קדומה של $f$ ואנו נסמן:

\int f(x)dx=F(x)+c

זהות

\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

\int(u(x))^n u'(x)dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+c, \qquad n \neq -1

\int \frac{u'}{u}dx=\ln |u(x)|+c

תרגול של זה :)

תרגיל

א. $\int \frac{1}{x}dx$
ב. $\int \sin x\cos xdx$

פתרון (א):

\int\frac{1}{x}dx=\ln |x|+c

פתרון (ב):

\int \sin x\cos xdx=\int \sin x(\sin x)'dx=\frac{\sin^2x}{2}+c

יחידות ומימדים

גדלים יכולים לבוא עם מימדים:

x=3m

לגודל זה יש מימד של אורך, אנו מתארים את אורך זה בעזרת יחידות של מטרים.

d=15\sec

לגודל זה יש מימד של זמן, אנו מתארים את זמן זה בעזרת יחידות של שניות.

\alpha=4

זהו גודל חסר מימדים.

כללים

חיבור וחיסור: ניתן לחבר ולחסר רק בתוך אותו המימד.
כפל וחילוק: התוצאה תהיה הכפל/החילוק בהתאמה של הגדלים והיחידות יהיו הכפל/החילוק בהתאמה של היחידות של הגדלים המקוריים.
$\frac{12m}{3\sec}=4 \frac{m}{\sec}$
פונקציות מתמטיות: ניתן להכניס לתוכם רק מספרים טהורים, כלומר גדלים ללא מימדים. והם מיצאות גודל ללא מימדים.
לדוגמה: $\sin, \cos,e^{something}$ וכו'.
שוויון: ניתן להשוות רק בתוך אותו המימד.

תרגיל

נתון כוח $F$ התלוי בזמן $t$ ובמקום $x$ .

F(x,t)=Ae^{\alpha t}\cos(kx)

מהם המימדים של $A,\alpha,k$ ביחידות $MKS$ ?

פתרון:

N=[A]e^{[\alpha]\sec}\cos([k]m)

לכן, נוכל לדעת כי:

[\alpha]=\frac{1}{\sec}\; (=\sec^{-1})

[k]=\frac{1}{m}\; (=m^{-1})

ולאור חוסר היחידות בשאר המשוואה:

[A]=N=kg\cdot \frac{m}{\sec}

הערה (למה אנליזת מימדים חשובה?)

תמיד, תמיד, תמיד, כשמסיימים לחשב איזושהי שאלה או בודקים לתשובה סופית, צריך לוודא כי המימדים מתאימים לנתונים של השאלה וליחידות הנכונות(לרוב ב-MKS) ולוודא גם כי המימדים מתאימים במהלך החישוב כך שלא יהיו שום בעיות.

זה בוודאות יגלה לכם אם טעיתם. זו "בדיקת שפיות" מאוד מועילה

מדרי"ם(משוואות דיפרנציאליות רגילות)

הגדרה 1 (משוואה דיפרנציאלית)

משוואה שמערבת פונקציה ונגזרותיה.
הנעלם הוא פונקציה ולא מספר

דוגמה

\dot{x}=x

לא צריך למצוא $x$ שהוא מספר, צריך למצוא את הפונקציה $x(t)=\dot{x}$ שפותרת את המשוואה הזו.
ישנם דרכים לפתור את זה, אבל בדרך כלל זה מערב חישוב של אינטגרל.

ישנם הרבה פונקציות שיכולות לקיים את הדבר הזה. פתרון אפשרי יכול להיות:

x(t)=ce^t

אם נגזור נגלה כי

x'(t)=ce^t

ולכן, היא מקיימת את המשוואה הזו.

נפתור בדרך כלל על ידי אינטגרציה על שני הצדדים ונקבל פתרון עד כדי תנאי ההתחלה.

השבוע נעשה חזרה מתמטית על דברים שכבר נשכחו מהתיכון.

נגזרת

סימון: $\frac{df}{dx}=f'$ , $\frac{d^2f}{dx}=f''$ .
אם גוזרים את $f$ לפי $t$ נרשום כך בפיזיקה:

\frac{df}{dt}=\dot{f}

משמע, גזירה לפי זמן.

קצת זהויות

נגזרת של מכפלה

(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

נגזרת של הרכבה

\frac{d}{dx}f(u(x))=\frac{df}{du}u'(x)

נגזרות מוכרות

(x^n)'=nx^{n-1}

(\ln x)'=\frac{1}{x}

(e^x)'=e^x

(\sin x)'=\cos x

(\cos x)'=-\sin x

ויש עוד ועוד.

תרגיל

חשבו את הביטויים הבאים:
א. $\frac{d}{dy}(A\sqrt{ y })$
ב. $\frac{d}{dx}(\sin x\cdot \cos x)$
ג. $\frac{d}{dx}(e^{ax+x\ln x})$
ד. $\frac{d^2}{dt^2}(\cos kx-\omega t)$

פתרון (א):

\frac{d}{dy}(A\sqrt{ y })=A \frac{d}{dy}\sqrt{ y }=A\frac{1}{2\sqrt{ y }}=\frac{A}{2\sqrt{ y }}

פתרון (ב):

\frac{d}{dx}(\sin x\cdot \cos x)=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x

פתרון (ג):

\frac{d}{dx}(e^{ax+x\ln x})=\left( a+\frac{x}{x}+\ln x \right)e^{ax+x\ln x}=(\ln x+1+a)e^{ax+x\ln x}

פתרון (ד):

\frac{d^2}{dt^2}(\cos kx-\omega t)=\frac{d}{dt}\left( \frac{d}{dt}\cos(kx-\omega t) \right)=\frac{d}{dt}(-\omega\cdot-\sin(kx-\omega t))=\frac{d}{dt}(\omega \sin(kx-\omega t))=-\omega\cdot\omega\cdot \cos(kx-\omega t)=-\omega^2\cos(kx-\omega t)

אינטגרלים

\int^{a}_{b}f(x)dx

אם נקח $F$ ונגזור ונקבל $f$ אזי, $F$ נקראת פונצקיה קדומה של $f$ ואנו נסמן:

\int f(x)dx=F(x)+c

זהות

\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

\int(u(x))^n u'(x)dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+c, \qquad n \neq -1

\int \frac{u'}{u}dx=\ln |u(x)|+c

תרגול של זה :)

תרגיל

א. $\int \frac{1}{x}dx$
ב. $\int \sin x\cos xdx$

פתרון (א):

\int\frac{1}{x}dx=\ln |x|+c

פתרון (ב):

\int \sin x\cos xdx=\int \sin x(\sin x)'dx=\frac{\sin^2x}{2}+c

יחידות ומימדים

גדלים יכולים לבוא עם מימדים:

x=3m

לגודל זה יש מימד של אורך, אנו מתארים את אורך זה בעזרת יחידות של מטרים.

d=15\sec

לגודל זה יש מימד של זמן, אנו מתארים את זמן זה בעזרת יחידות של שניות.

\alpha=4

זהו גודל חסר מימדים.

כללים

חיבור וחיסור: ניתן לחבר ולחסר רק בתוך אותו המימד.
כפל וחילוק: התוצאה תהיה הכפל/החילוק בהתאמה של הגדלים והיחידות יהיו הכפל/החילוק בהתאמה של היחידות של הגדלים המקוריים.
$\frac{12m}{3\sec}=4 \frac{m}{\sec}$
פונקציות מתמטיות: ניתן להכניס לתוכם רק מספרים טהורים, כלומר גדלים ללא מימדים. והם מיצאות גודל ללא מימדים.
לדוגמה: $\sin, \cos,e^{something}$ וכו'.
שוויון: ניתן להשוות רק בתוך אותו המימד.

תרגיל

נתון כוח $F$ התלוי בזמן $t$ ובמקום $x$ .

F(x,t)=Ae^{\alpha t}\cos(kx)

מהם המימדים של $A,\alpha,k$ ביחידות $MKS$ ?

פתרון:

N=[A]e^{[\alpha]\sec}\cos([k]m)

לכן, נוכל לדעת כי:

[\alpha]=\frac{1}{\sec}\; (=\sec^{-1})

[k]=\frac{1}{m}\; (=m^{-1})

ולאור חוסר היחידות בשאר המשוואה:

[A]=N=kg\cdot \frac{m}{\sec}

הערה (למה אנליזת מימדים חשובה?)

זה בוודאות יגלה לכם אם טעיתם. זו "בדיקת שפיות" מאוד מועילה

מדרי"ם(משוואות דיפרנציאליות רגילות)

הגדרה 1 (משוואה דיפרנציאלית)

משוואה שמערבת פונקציה ונגזרותיה.
הנעלם הוא פונקציה ולא מספר

דוגמה

\dot{x}=x

ישנם הרבה פונקציות שיכולות לקיים את הדבר הזה. פתרון אפשרי יכול להיות:

x(t)=ce^t

אם נגזור נגלה כי

x'(t)=ce^t

ולכן, היא מקיימת את המשוואה הזו.

נפתור בדרך כלל על ידי אינטגרציה על שני הצדדים ונקבל פתרון עד כדי תנאי ההתחלה.