חזור לתיקייה: 01140071 - פיזיקה 1מ

5 - תנועה הרמונית

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • פונקציות מחזוריות
  • תנועה הרמונית פשוטה
  • מטוטלת מתמטית

5 - תנועה הרמונית

01140071

פיזיקה 1מ

רשימות הרצאה לקריאה בשבת

תנועה הרמונית

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

זוהי תנועה שהיא מחזורית, ולכן, נדבר קודם כל על פונקציות מחזוריות

פונקציות מחזוריות

הגדרה 1 (פונקציה מחזורית)

F(t)=F(t+T)F(t)=F(t+T)F(t)=F(t+T)

כאשר TTT יהיה אורך של מחזור שלם.

דוגמה

sin⁡xcos⁡xtan⁡x…\sin x \qquad \cos x \qquad \tan x \qquad \dotssinxcosxtanx…

תנועה הרמונית פשוטה

​5 - תנועה הרמונית 2025-11-24 10.38.24.excalidraw.svg
הקבוע kkk הינו קבוע הקפיץ.

הגדרה 2 (חוק הוק)

יהי F⃗\vec{F}F הכוח שמפעיל הקפיץ.

F⃗=−k⋅(x−x0)x^\vec{F}=-k\cdot(x-x_{0})\hat{x}F=−k⋅(x−x0​)x^

כאשר x0x_{0}x0​ הינו המצב הרפוי.

נראה כי יחידות קבוע הקפיץ הינן:

[k]=[Nm]=[kgmsec⁡21m]=[kgsec⁡2][k]=\left[ \frac{N}{m} \right]=\left[ kg \frac{m}{\sec^2} \frac{1}{m} \right]=\left[ \frac{kg}{\sec^2} \right][k]=[mN​]=[kgsec2m​m1​]=[sec2kg​]
הערה

כיוון הכוח הוא נגד הדפורמציה שאנו מנסים לעשות לו.

הגדרה 3 (מהירות זוויתית קבוע בתנועה הרמונית פשוטה)

ω=2πT\omega=\frac{2\pi}{T}ω=T2π​

כאשר TTT הוא זמן המחזור.

יחידות המהירות הזוויתית הינן:

[ω]=[km]=[kgsec⁡2⋅1kg]=[1sec⁡][\omega]=\left[ \sqrt{ \frac{k}{m} } \right]=\left[ \sqrt{ \frac{kg}{\sec^2} \cdot \frac{1}{kg} } \right]=\left[ \frac{1}{\sec} \right][ω]=[mk​​]=[sec2kg​⋅kg1​​]=[sec1​]
הגדרה 4 (תדירות)

f=1Tf=\frac{1}{T}f=T1​

כאשר TTT הוא זמן המחזור.

מטוטלת מתמטית

​5 - תנועה הרמונית 2025-11-24 11.40.11.excalidraw.svg
הנחות:

  • מסה נקודתית mmm
  • חוט חסר מסה באורך ℓ\ellℓ
  • זווית קטנה כך ש-sin⁡θ≃θ\sin\theta \simeq\thetasinθ≃θ

נסתכל על הכוחות הפועלים על המסה:
​5 - תנועה הרמונית 2025-11-24 11.44.26.excalidraw.svg
נכתוב חוק IIIIII של ניוטון בציר θ^\hat{\theta}θ^:

−mgsin⁡θ=maθ-mg\sin\theta=ma_{\theta }−mgsinθ=maθ​

אנו מעוניינים להגיע ל-θ(t)=???\theta(t)=???θ(t)=???. איך נעשה זאת?
נרצה לבטא את aθa_{\theta}aθ​ באמצעות θ\thetaθ ונתוני הבעיה.
נקח אורך קשת: d=θRd=\theta Rd=θR. נגזור:

v=θ˙R  ⟹  a=θ¨Rv=\dot{\theta}R \implies a=\ddot{\theta}Rv=θ˙R⟹a=θ¨R

אנו יודעים כי RRR קבוע והוא אורך החוט ℓ\ellℓ.
נציב:

−mgsin⁡θ=mℓθ¨-\cancel{ m }g\sin\theta=\cancel{ m }\ell \ddot{\theta}−mgsinθ=mℓθ¨

מכיוון שהזווית קטנה:

−gθ=ℓ⋅θ¨-g\theta=\ell\cdot \ddot{\theta}−gθ=ℓ⋅θ¨ θ¨=−gℓ⋅θ\ddot{\theta}=-\frac{g}{\ell}\cdot \thetaθ¨=−ℓg​⋅θ

נשים משוואה כללית:

θ(t)=θ0sin⁡(ωt+ϕ)\theta(t)=\theta_{0}\sin(\omega t+\phi)θ(t)=θ0​sin(ωt+ϕ) ω=gℓ\omega=\sqrt{ \frac{g}{\ell} }ω=ℓg​​

מה הביטוי לזמן המחזור?

ω=2πT  ⟹  T=2πω\omega=\frac{2\pi}{T} \implies T=\frac{2\pi}{\omega}ω=T2π​⟹T=ω2π​ T=2πℓgT=2\pi \sqrt{ \frac{\ell}{g} }T=2πgℓ​​