3 - קינמטיקה — פיזיקה 1מ | תיקיית הסיכומים

קינמטיקה היא תיאור וחיזוי תנועתם של גופים.
מה שיעיניין אותנו בקינמטיקה הוא:

מיקום(העתק)
מהירות
תאוצה

גדלים ווקטורים

וקטור המיקום
ווקטור המהירות
ווקטור התאוצה

נתחיל מעולם חד מימדי בשביל הפשטות ואז נכליל את זה ל-3 מימדים.

תנועה במימד אחד

3 - קינמטיקה 2025-11-10 10.41.44.excalidraw.svg
ווקטור המיקום: וקטור שמתחיל מראשית הצירים ומסתיים במיקום של הגוף.

\vec{x}(t)=x(t)\hat{x}

הערה

במידה והכל קורה במימד אחד, נוכל לקצת לשם הנוחות ולכתוב $x(t)$ אבל כאשר נעבור ליותר ממימד אחד לא נוכל לעשות זאת.

נניח כי יש לנו גרף שמתאר את המיקום של גוף בהתאם לזמן כך:
3 - קינמטיקה 2025-11-10 10.45.17.excalidraw.svg
מהירות ממוצעת:

\overline{V}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}

זה נותן מידע כללי על ההתרחשות, אבל לרוב, בקורס נתעניין במהירות הרגעית.

מהירות רגעית:

v=\frac{dx(t)}{dt}=\dot{x}(t)=\lim_{ \Delta \to 0 } \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}

אנו מקבלים את ערך הנגזרת שהוא שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $x(t)$ .

תאוצה: הינה קצב שינוי המהירות.

תאוצה ממוצעת:

\overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}

תאוצה רגעית:

a(t)=\frac{dV}{dt}=\dot{v}=\overset{..}{x}=\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}

דוגמה

נתון גוף שנע בתאוצה קבועה $a$ על ציר ה- $x$ .
ברגע $t_{0}=0$ הגוף היה במיקום $x=x_{0}$ ומהירותו הייתה $v=v_{0}$ .
נמצא את פונקציות המהירות והמיקום כתלות בזמן, וקשר בין הפרשי המהירויות בריבוע בקצות הקטע.

התאוצה קבועה ולכן:

a(t)=a

v(t)=v(t_{0})+\int_{t_{0}}^t ad\tilde{t}=v_{0}+[a\tilde{t}]_{0}^t =v_{0}+at-0=v_{0}+at

וזוהי נוסחה שאנו מכירים מהתיכון.
כעת, נראה נוסחה עם אינטגרל שאינו מסויים: (בחישוב אינטגל לא מסויים יש להוסיף קבוע אינטגרציה)

v(t)=\int adt=at+c

נמצא את קבוע האינטגרציה מתוך תנאי ההתחלה:

v_{0}=a\cdot0+c=c \implies c=v_{0}

ולכן:

v(t)=v_{0}+at

נמצא את פונקצית המיקום בעזרת אינטגרל מסויים לפי הזמן על פונקציית המהירות:

x(t)=x(t_{0})+\int_{t_{0}}^{t}v(\tilde{t})d\tilde{t}=x_{0}+\int_{0}^t[v_{0}+a\tilde{t}]d\tilde{t}=x_{0}+\left[ v_{0}\tilde{t}+\frac{1}{2}\tilde{t}^2 \right]_{0}^t=x_{0}+\left[ v_{0}t+\frac{1}{2}at^2 \right]-[0]

ולכן:

x(t)=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^2

אילו הנתונים היו על $t=2$ הנוסחה הייתה נראית ככה:

x(t)=x(2)+v_{0}(t-2)+\frac{1}{2}a(t-2)^2

נסתכל על טריק אותו נפגוש כמה פעמים בקורס שלנו.

a=\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot v

a\cdot dx=v\cdot dv

\int_{x_{0}}^{x(t)} adx=\int_{v_{0}}^{v(t)} \tilde{v}d\tilde{v}

יש לשמור על הגבולות בהתאמה.
כעת, נחשב את האינטגרל כאשר נשים לב ש- $a$ קבוע:

ax]_{x_{0}}^{x(t)}=\frac{1}{2}\tilde{v}^2]_{v_{0}}^{v(t)}

a(x(t)-x_{0})=\frac{1}{2}(v^2(t)-v_{0}^2)

\underbrace{x(t)-x_{0}}_{\Delta x}=\frac{v^2(t)-v^2_{0}}{2a}

הנוסחה הזו רלוונית אך ורק כאשר התאוצה קבועה.

הכללה ל-3D

אנו עובדים מעל מערכת צירים קרטזית ימנית.
3 - קינמטיקה 2025-11-10 11.20.09.excalidraw.svg
ווקטור המיקום:

\vec{r}(t)=x(t)\hat{x}+y(t)\hat{y}+z(t)\hat{z}

ווקטור המהירות:

\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}=\dot{\vec{r}}(t)=\frac{dx(t)}{dt}\hat{x}+\frac{dy(t)}{dt}\hat{y}+\frac{dz(t)}{dt}\hat{z}=v_{x}(t)\hat{x}+v_{y}(t)\hat{y}+v_{z}(t)\hat{z}

ווקטור התאוצה:

\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \right)=\frac{d^2\vec{r}(t)}{dt^2}=\frac{dv_{x}(t)}{dt}\hat{x}+\frac{dv_{y}(t)}{dt}\hat{y}+\frac{dv_{z}(t)}{dt}\hat{z}=a_{x}(t)\hat{x}+a_{y}(t)\hat{y}+a_{z}(t)\hat{z}

לפי משפט פטיגורס:

\left| \vec{r}(t) \right|=\sqrt{ x^2(t)+y^2(t)+z^2(t) }

\left| \vec{v}(t) \right|=\sqrt{ v_{x}^2(t)+v_{y}^2(t)+v_{z}^2(t) }

\left| \vec{a}(t) \right|=\sqrt{ a_{x}^2(t)+a_{y}^2(t)+a_{z}^2(t) }

דוגמה (זריקה בזווית (2D))

גוף נזרק מגובה $y_{0}$ במהירות שגודלה $v_{0}$ וכיוונה בזווית $\theta$ מעל האופק, ברגע $t=0$ הגוף מאיץ כלפי מטה בתאוצה קבועה $\vec{a}=-g\hat{y}$ .
נענה על השאלות הבאות:

מצאו ביטי למהירות הגוף כתלות בזמן $\vec{v}(t)$ ?
באיזה רגע מגיע הגוף לשיא הגובה ומהו גובה זה?
אם נתון ש- $y_{0}=0$ מהו טווח הזריקה? (טווח הזריקה - המרחק האופקי שעבר הגוף)

תשובה:
נפתור לכל ציר בנפרד.

בסעיף 1️⃣:

\vec{V}(t)=\vec{V}(0)+\int_{0}^t (-g\hat{y})d\tilde{t}=V_{0}\cos\theta \hat{x}+V_{0}\sin\theta \hat{y}-g\tilde{t}|_{0}^t \hat{y} =V_{0}\cos\theta \hat{x}+(V_{0}\sin\theta -gt)\hat{y}

סעיף 2️⃣:
נדרוש שמהירות $V_{y}$ תתאפס.

V_{0}\sin\theta-gt=0 \implies t=\frac{V_{0}\sin\theta}{g}

מיקום הגוף על ציר ה-y נתון על ידי הביטוי שפיתחנו ממקודם:

y(t)=y_{0}+V_{0_{y}}t+\frac{1}{2}a_{y}t^2=y_{0}+V_{0}\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2

y(t_{\max})=y_{0}+\frac{V_{0}^2\sin^2\theta}{g}-\frac{1}{2}\cancel{g} \frac{V_{0}^2\sin^2\theta}{g^\cancel{2}}

סעיף 3️⃣:
נגדיר את טווח הזריקה כרגע שבו הגוף חוזר למיקומו ההתחלתי בציר ה-y.
נדרוש $y=0$ . נציב זאת במשוואה ממקודם:

y(t)=0+v_{0}\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2=0

t\left( v_{0}\sin\theta-\frac{1}{2}gt \right)=0

t=\frac{2v_{0}\sin\theta}{g},0

ולכן זוהי( $t\neq 0$ ) היא נקודת הפגיעה. ולכן:

D=V_{0}\cos\theta t=\frac{2V_{0}^2\sin\theta \cos\theta}{g}=\frac{V_{0}^2\sin(2\theta)}{g}

את הנוסחה הזו ניתן להכניס לדף הנוסחאות

דוגמה (תנועה מעגלית)

גוף נקודתי נע במעגל שרדיוסו $R$ , כך שהזווית $\theta(t)$ משתנה.
הרדיוס - R - נמדד ממרכז המעגל ( $R\geq0$ )
הזווית - $\theta$ - נמדדת יחסית לכיוון החיובי של ציר ה-x, נגד כיוון השעון.
כעת נעבוד במערכת צירים פולארית בה יש לנו רדיוס וזווית.

מיקום הגוף כתלות בזמן:

\vec{r}(t)=x(t)\hat{x}+y(t)\hat{y}=R\cos(\theta(t))\hat{x}+R\sin(\theta(t))\hat{y}=R(\cos(\theta(t))\hat{x}+\sin(\theta(t))\hat{y})=R\hat{r}(t)

הווקטור $\hat{r}(t)$ הינו ווקטור יחידה רדיאלי (יוצא החוצה מהמרכז)

\hat{r}_{(t)}=\cos(\theta (t))\hat{x}+\sin(\theta (t))\hat{y}

נחשב את ווקטור המהירות:

\vec{v}=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}=\frac{d}{dt}[R\cos\theta(t)\hat{x} + R\sin \theta(t)\hat{y}]

=R(-\sin\theta(t))\dot{\theta}(t)\hat{x}+R\cos\theta(t)\dot{\theta}(t)\hat{y}=R\dot{\theta}(t)[\underbrace{-\sin\theta(t)+\cos\theta(t)\hat{y}}_{\hat{\theta}(t)}]

הווקטור $\hat{\theta}(t)$ הינו וקטור יחידה בכיוון המהירות (נגד כיוון השעון).

\vec{v}(t)=R\dot{\theta}(t)\hat{\theta}(t)

\left| \vec{v}(t) \right|=\left| R\dot{\theta}(t) \right|=R\left| \dot{\theta}(t) \right|

נראה כי: $\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt}=\omega(t)$ ולכן:

\vec{v}_{\omega}=R\omega(t)

נחשב את ווקטור התאוצה:

\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}(t)}{dt}=\frac{d}{dt}(R\dot{\theta}(t)\hat{\theta}(t))=R\ddot{\theta}(t)\hat{\theta}(t)=R\dot{\theta}(t)\dot{\hat{\theta}}(t)

נחשב כעת מה יהיה $\dot{\hat{\theta}}(t)$ :

\dot{\hat{\theta}}(t)=\frac{d}{dt}[-\sin\theta(t)\hat{x}+\cos\theta(t)\hat{y}]=-\cos\theta(t)\dot{\theta}(t)\hat{x}-\sin\theta(t)\dot{\theta}(t)\hat{y}

=-\dot{\theta}(t)[\underbrace{\cos\theta(t)\hat{x}+\sin\theta(t)\hat{y}}_{\hat{r}(t)}]

נציב את תוצאת חישוב העזר:

\vec{a}(t)=R\ddot{\theta}(t)\hat{\theta}(t)-R\dot{\theta}^2(t)\hat{r}(t)

למחובר הראשון נקרא: הרכיב המשיקי של וקטור התאוצה (תאוצה משיקית).
למחובר השני נקרא: הרכיב הרדיאלי(אנטי רדיאלי) של התאוצה(תאוצה רדיאלית). רכיב זה תמיד מצביע לכיוון פנימה - אל תוך מרכז המעגל.

דוגמה (כמה דוגמות כדי להפוך את התנועה המעגלית לפחות פורמלית)

1️⃣ מקרה פרטי: תנועה מעגלית קצובה - המקרה שבו $\omega=const.$ .
במקרה זה: $\alpha=\dot{\omega}=\ddot{\theta}=0$
במקרה הזה הרכיב המשיקי של התאוצה מתאפס ואנו נשארים רק עם הרכיב הרדיאלי.

\vec{a}(t)=-R\dot{\theta}^2(t)\hat{r}(t)=-R\omega^2\hat{r}(t)

במקרה זה, ובמקרה זה בלבד, וקטור התאוצה מאונך לווקטור המהירות.
2️⃣ נתון הביטוי הבא

\vec{r}(t)=4\cos(5t)\hat{x}+4\sin(5t)\hat{y}

האם הוא מתאר תנועה מעגלית? ואם כן, מהו גודל המהירות המשיקית?

פתרון:
נבדוק האם הביטוי מקיים את התבנית הכללית של תנועה מעגלית( $\vec{r}(t)=R\cos\theta(t)\hat{x}+R\sin\theta (t)\hat{y}$ )
נשווה ביניהם ונגלה כי הביטוי מקיים את התבנית הכללית ולכן אכן מדובר בתנועה מעגלית.

\vec{v}=R\omega(t)\hat{\theta}(t)=R\dot{\theta}(t)\hat{\theta}(t)

v=4\cdot 5=20\ _{\frac{m}{\sec}}

3️⃣ נתון הביטוי הבא:

\vec{r}(t)=5\sin(2t^2)\hat{x}+5\cos(2t^2)\hat{y}

האם הוא מתאר תנועה מעגלית? ואם כן, מהו גודל המהירות?

פתרון:
ננסה להביא את הביטוי לתבנית הכללית של תנועה מעגלית
נראה 2 זהויות שימושיות:

\sin\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)=\cos\theta \qquad \cos\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)=\sin\theta

נסדר את הביטוי:

\vec{r}(t)=5\cos\left( \frac{\pi}{2}-2t^2 \right)\hat{x}+5\sin\left( \frac{\pi}{2}-2t^2 \right)\hat{y}

כל התנאים של התבנית הכללית מתקיימים ולכן, זוהי תנועה מעגלית.

קינמטיקה היא תיאור וחיזוי תנועתם של גופים.
מה שיעיניין אותנו בקינמטיקה הוא:

מיקום(העתק)
מהירות
תאוצה

גדלים ווקטורים

וקטור המיקום
ווקטור המהירות
ווקטור התאוצה

נתחיל מעולם חד מימדי בשביל הפשטות ואז נכליל את זה ל-3 מימדים.

תנועה במימד אחד

3 - קינמטיקה 2025-11-10 10.41.44.excalidraw.svg
ווקטור המיקום: וקטור שמתחיל מראשית הצירים ומסתיים במיקום של הגוף.

\vec{x}(t)=x(t)\hat{x}

הערה

במידה והכל קורה במימד אחד, נוכל לקצת לשם הנוחות ולכתוב $x(t)$ אבל כאשר נעבור ליותר ממימד אחד לא נוכל לעשות זאת.

נניח כי יש לנו גרף שמתאר את המיקום של גוף בהתאם לזמן כך:
3 - קינמטיקה 2025-11-10 10.45.17.excalidraw.svg
מהירות ממוצעת:

\overline{V}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}

זה נותן מידע כללי על ההתרחשות, אבל לרוב, בקורס נתעניין במהירות הרגעית.

מהירות רגעית:

v=\frac{dx(t)}{dt}=\dot{x}(t)=\lim_{ \Delta \to 0 } \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}

אנו מקבלים את ערך הנגזרת שהוא שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $x(t)$ .

תאוצה: הינה קצב שינוי המהירות.

תאוצה ממוצעת:

\overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}

תאוצה רגעית:

a(t)=\frac{dV}{dt}=\dot{v}=\overset{..}{x}=\lim_{ \Delta t \to 0 } \frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}

דוגמה

התאוצה קבועה ולכן:

a(t)=a

v(t)=v(t_{0})+\int_{t_{0}}^t ad\tilde{t}=v_{0}+[a\tilde{t}]_{0}^t =v_{0}+at-0=v_{0}+at

v(t)=\int adt=at+c

נמצא את קבוע האינטגרציה מתוך תנאי ההתחלה:

v_{0}=a\cdot0+c=c \implies c=v_{0}

ולכן:

v(t)=v_{0}+at

נמצא את פונקצית המיקום בעזרת אינטגרל מסויים לפי הזמן על פונקציית המהירות:

x(t)=x(t_{0})+\int_{t_{0}}^{t}v(\tilde{t})d\tilde{t}=x_{0}+\int_{0}^t[v_{0}+a\tilde{t}]d\tilde{t}=x_{0}+\left[ v_{0}\tilde{t}+\frac{1}{2}\tilde{t}^2 \right]_{0}^t=x_{0}+\left[ v_{0}t+\frac{1}{2}at^2 \right]-[0]

ולכן:

x(t)=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^2

אילו הנתונים היו על $t=2$ הנוסחה הייתה נראית ככה:

x(t)=x(2)+v_{0}(t-2)+\frac{1}{2}a(t-2)^2

נסתכל על טריק אותו נפגוש כמה פעמים בקורס שלנו.

a=\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot v

a\cdot dx=v\cdot dv

\int_{x_{0}}^{x(t)} adx=\int_{v_{0}}^{v(t)} \tilde{v}d\tilde{v}

יש לשמור על הגבולות בהתאמה.
כעת, נחשב את האינטגרל כאשר נשים לב ש- $a$ קבוע:

ax]_{x_{0}}^{x(t)}=\frac{1}{2}\tilde{v}^2]_{v_{0}}^{v(t)}

a(x(t)-x_{0})=\frac{1}{2}(v^2(t)-v_{0}^2)

\underbrace{x(t)-x_{0}}_{\Delta x}=\frac{v^2(t)-v^2_{0}}{2a}

הנוסחה הזו רלוונית אך ורק כאשר התאוצה קבועה.

הכללה ל-3D

אנו עובדים מעל מערכת צירים קרטזית ימנית.
3 - קינמטיקה 2025-11-10 11.20.09.excalidraw.svg
ווקטור המיקום:

\vec{r}(t)=x(t)\hat{x}+y(t)\hat{y}+z(t)\hat{z}

ווקטור המהירות:

\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}=\dot{\vec{r}}(t)=\frac{dx(t)}{dt}\hat{x}+\frac{dy(t)}{dt}\hat{y}+\frac{dz(t)}{dt}\hat{z}=v_{x}(t)\hat{x}+v_{y}(t)\hat{y}+v_{z}(t)\hat{z}

ווקטור התאוצה:

\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \right)=\frac{d^2\vec{r}(t)}{dt^2}=\frac{dv_{x}(t)}{dt}\hat{x}+\frac{dv_{y}(t)}{dt}\hat{y}+\frac{dv_{z}(t)}{dt}\hat{z}=a_{x}(t)\hat{x}+a_{y}(t)\hat{y}+a_{z}(t)\hat{z}

לפי משפט פטיגורס:

\left| \vec{r}(t) \right|=\sqrt{ x^2(t)+y^2(t)+z^2(t) }

\left| \vec{v}(t) \right|=\sqrt{ v_{x}^2(t)+v_{y}^2(t)+v_{z}^2(t) }

\left| \vec{a}(t) \right|=\sqrt{ a_{x}^2(t)+a_{y}^2(t)+a_{z}^2(t) }

דוגמה (זריקה בזווית (2D))

מצאו ביטי למהירות הגוף כתלות בזמן $\vec{v}(t)$ ?
באיזה רגע מגיע הגוף לשיא הגובה ומהו גובה זה?
אם נתון ש- $y_{0}=0$ מהו טווח הזריקה? (טווח הזריקה - המרחק האופקי שעבר הגוף)

תשובה:
נפתור לכל ציר בנפרד.

בסעיף 1️⃣:

\vec{V}(t)=\vec{V}(0)+\int_{0}^t (-g\hat{y})d\tilde{t}=V_{0}\cos\theta \hat{x}+V_{0}\sin\theta \hat{y}-g\tilde{t}|_{0}^t \hat{y} =V_{0}\cos\theta \hat{x}+(V_{0}\sin\theta -gt)\hat{y}

סעיף 2️⃣:
נדרוש שמהירות $V_{y}$ תתאפס.

V_{0}\sin\theta-gt=0 \implies t=\frac{V_{0}\sin\theta}{g}

מיקום הגוף על ציר ה-y נתון על ידי הביטוי שפיתחנו ממקודם:

y(t)=y_{0}+V_{0_{y}}t+\frac{1}{2}a_{y}t^2=y_{0}+V_{0}\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2

y(t_{\max})=y_{0}+\frac{V_{0}^2\sin^2\theta}{g}-\frac{1}{2}\cancel{g} \frac{V_{0}^2\sin^2\theta}{g^\cancel{2}}

סעיף 3️⃣:
נגדיר את טווח הזריקה כרגע שבו הגוף חוזר למיקומו ההתחלתי בציר ה-y.
נדרוש $y=0$ . נציב זאת במשוואה ממקודם:

y(t)=0+v_{0}\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2=0

t\left( v_{0}\sin\theta-\frac{1}{2}gt \right)=0

t=\frac{2v_{0}\sin\theta}{g},0

ולכן זוהי( $t\neq 0$ ) היא נקודת הפגיעה. ולכן:

D=V_{0}\cos\theta t=\frac{2V_{0}^2\sin\theta \cos\theta}{g}=\frac{V_{0}^2\sin(2\theta)}{g}

את הנוסחה הזו ניתן להכניס לדף הנוסחאות

דוגמה (תנועה מעגלית)

מיקום הגוף כתלות בזמן:

\vec{r}(t)=x(t)\hat{x}+y(t)\hat{y}=R\cos(\theta(t))\hat{x}+R\sin(\theta(t))\hat{y}=R(\cos(\theta(t))\hat{x}+\sin(\theta(t))\hat{y})=R\hat{r}(t)

הווקטור $\hat{r}(t)$ הינו ווקטור יחידה רדיאלי (יוצא החוצה מהמרכז)

\hat{r}_{(t)}=\cos(\theta (t))\hat{x}+\sin(\theta (t))\hat{y}

נחשב את ווקטור המהירות:

\vec{v}=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}=\frac{d}{dt}[R\cos\theta(t)\hat{x} + R\sin \theta(t)\hat{y}]

=R(-\sin\theta(t))\dot{\theta}(t)\hat{x}+R\cos\theta(t)\dot{\theta}(t)\hat{y}=R\dot{\theta}(t)[\underbrace{-\sin\theta(t)+\cos\theta(t)\hat{y}}_{\hat{\theta}(t)}]

הווקטור $\hat{\theta}(t)$ הינו וקטור יחידה בכיוון המהירות (נגד כיוון השעון).

\vec{v}(t)=R\dot{\theta}(t)\hat{\theta}(t)

\left| \vec{v}(t) \right|=\left| R\dot{\theta}(t) \right|=R\left| \dot{\theta}(t) \right|

נראה כי: $\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt}=\omega(t)$ ולכן:

\vec{v}_{\omega}=R\omega(t)

נחשב את ווקטור התאוצה:

\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}(t)}{dt}=\frac{d}{dt}(R\dot{\theta}(t)\hat{\theta}(t))=R\ddot{\theta}(t)\hat{\theta}(t)=R\dot{\theta}(t)\dot{\hat{\theta}}(t)

נחשב כעת מה יהיה $\dot{\hat{\theta}}(t)$ :

\dot{\hat{\theta}}(t)=\frac{d}{dt}[-\sin\theta(t)\hat{x}+\cos\theta(t)\hat{y}]=-\cos\theta(t)\dot{\theta}(t)\hat{x}-\sin\theta(t)\dot{\theta}(t)\hat{y}

=-\dot{\theta}(t)[\underbrace{\cos\theta(t)\hat{x}+\sin\theta(t)\hat{y}}_{\hat{r}(t)}]

נציב את תוצאת חישוב העזר:

\vec{a}(t)=R\ddot{\theta}(t)\hat{\theta}(t)-R\dot{\theta}^2(t)\hat{r}(t)

דוגמה (כמה דוגמות כדי להפוך את התנועה המעגלית לפחות פורמלית)

\vec{a}(t)=-R\dot{\theta}^2(t)\hat{r}(t)=-R\omega^2\hat{r}(t)

במקרה זה, ובמקרה זה בלבד, וקטור התאוצה מאונך לווקטור המהירות.
2️⃣ נתון הביטוי הבא

\vec{r}(t)=4\cos(5t)\hat{x}+4\sin(5t)\hat{y}

האם הוא מתאר תנועה מעגלית? ואם כן, מהו גודל המהירות המשיקית?

\vec{v}=R\omega(t)\hat{\theta}(t)=R\dot{\theta}(t)\hat{\theta}(t)

v=4\cdot 5=20\ _{\frac{m}{\sec}}

3️⃣ נתון הביטוי הבא:

\vec{r}(t)=5\sin(2t^2)\hat{x}+5\cos(2t^2)\hat{y}

האם הוא מתאר תנועה מעגלית? ואם כן, מהו גודל המהירות?

פתרון:
ננסה להביא את הביטוי לתבנית הכללית של תנועה מעגלית
נראה 2 זהויות שימושיות:

\sin\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)=\cos\theta \qquad \cos\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)=\sin\theta

נסדר את הביטוי:

\vec{r}(t)=5\cos\left( \frac{\pi}{2}-2t^2 \right)\hat{x}+5\sin\left( \frac{\pi}{2}-2t^2 \right)\hat{y}

כל התנאים של התבנית הכללית מתקיימים ולכן, זוהי תנועה מעגלית.