• משפט: $\ker T \subseteq \ker T^2$
• משפט: $\mathrm{Im}T^2\subseteq \mathrm{Im}T$
• אם אומרים $\R{\text{מטריצה מדרגה אחת}}$ אז זה לא ${ \color{red}\begin{pmatrix}a & b & c\\ 0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} }$ אלא $\color{green}\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha a&\alpha b&\alpha c\\\beta a&\beta b&\beta c\end{pmatrix}$.
• כשמדובר בתלות ליניארית בין מטריצות, אין אופציה לדרג או לשנות את המטריצה בדרך כלשהי.
• משפט: למערכת $A\underline{x}=w$ יש פתרון $w\iff$ שייך למרחב העמודה של $A$.
• אם יש קבוצה ת"ל בגודל $n$, אז מימד מרחב הנפרש על ידי הקבוצה הזו הוא מקסימום $n-1$.
• אם לא מצליחים בסעיף באמצע שאלה, כדי להסתכל על הסעיפים הקודמים ולראות איך הם יכולים לעזור בפתרון.
• מועד ב' הוא בערך באותה רמה של מועד א' לפי גלית (ניר כבר כתב אותו)
• משפט: מטריצות דומות $\iff$ הן מייצגות את אותה העתקה מבסיסים שונים.
• מסקנה מהמשפט: עבור העתקה $T$, מטריצה הפיכה $P$ ובסיס $Q$ נקבל כי $P^{-1}[T]_{Q}P=[T]_{L}$ כאשר $L$ הוא בסיס לאותו המרחב.
• במצב זה נוכל למצוא את הבסיס $L$ באמצעות סימון $P$ כמטריצת מעבר($M_{Q\to L}$) ואז העמודות שלה הן הקורדינטות של איברי בסיס $L$ לפי הבסיס $Q$.
• דוגמה לזה: אם יש בסיס טריוויאלי $e$ ובסיס אחר $Q$ ויש מטריצת מעבר $M_{e\to Q}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\3&-1&1\\-2&1&0\end{pmatrix}$ אז הקורדינטות של הווקטורים של $Q$ הם: $\left\{ \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \right\}$ ואז, אם נניח $e=\left\{ 1,x,x^2 \right\}$ אז $\begin{cases}q_{1}=1\;\;\ \cdot{\color{blue}1}+3\cdot {\color{blue}x}-2\cdot {\color{blue}x^2}\\q_{2}=-1\cdot {\color{blue}1}-1\cdot {\color{blue}x}+1\cdot {\color{blue}x^2}\\q_{3}=0\;\;\ \cdot {\color{blue}1}+1 \cdot {\color{blue}x}+0\cdot {\color{blue}x^2}\end{cases}$ ולכן $Q=\left\{ 1+3x-2x^2,-1-x+x^2,x \right\}$.
• יהיו $Q,P$ מטריצות הפיכות - אזי $Q^{-1}P$ הפיכה.
• משפט: $\dim\mathrm{Im}ST\leq \min\left\{ \dim\mathrm{Im}S,\dim\mathrm{Im}T \right\}$ (זה בעצם המשפט של שתי המטריצות $A,B$ ואז $r(AB)\leq \min\left\{ r(A),r(B) \right\}$)
• מימד מרחב העמודות הוא $dim\mathrm{Im}T$ ומימד מרחב הפתרונות של ההומוגנית הוא $\dim \ker T$.
• חשוב לקרוא את המשפט המסכם ולראות שאנו מבינים את הקשרים בין הכל. (זו המהות של אלגברה לפי גלית, שהכל קשור להכל)