שעת קבלה של גלית לפני מועד א' (11.2.2026) — אלגברה אמ

כשעושים חיתוך בין מ"ו, כדאי למצוא $sp$ מקונן כדי שיהיה לנו איבר כללי יפה.
אם מבקשים דוגמה לט"ל, נדרש להראות את כל הטרנספורמציה ולא רק את הפעולה שלה על איברי הבסיס.
מטריצה משולשת בלוקים, היא מטריצה בעלת אלכסון של בלוקים - ריבועים הנושקים אחד לשני, כאשר מתחתיהם אפסים ומעליהם $(*)$ . במצב זה בעצם הרחבנו את האלכסון שלנו, וכעת, נוכל להתייחס לבלוקים בדיוק כפי שאנו מתייחסים לבלוקים במטריצה משולשת רגילה.
במטריצה משולשת, הדטרמיננט של המטריצה הוא מכפלת איברי האלכסון וככה גם במטריצה משולשת בלוקים עם הבלוקים.

משפט

T=\alpha I\iff [T]_{*}=\alpha I

מסקנה

[T]^2=[T^2]=0\cdot I \iff T^2=0

תרגיל

\mathbb{F}=\mathbb{Z}_{p} \qquad V=\mathbb{F}^3=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}

נסמן ב- $n_{k}$ את מספר ת"מ ממימד $k$ של $V$ .

עבור $n_{0}=1$ כאשר $\left\{ \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \right\}$ הוא הת"מ היחיד. עבור $n_{3}=1$ כאשר $V$ הוא הת"מ היחיד.
על מנת למצוא את $n_{1}$ נדרש למצוא כמה מטריצות קנונית עם שורה אחת יש לנו. הן יהיו:

\underset{1}{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \\ \end{pmatrix}}\underset{p}{\begin{pmatrix} 0 & 1 & a \\ \\ \end{pmatrix}}\underset{p^2}{\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ \\ \end{pmatrix}}

ולכן, $n_{1}=p^2+p+1$ .
באותה דרך, נוכל למצוא את $n_{2}$ כאשר שם נבדוק כמה מטריצות קנונית בעלות שתי שורות.

תרגיל

V=\mathbb{R}_{2}[x] \qquad W=\left\{ f(x) \in V|f(1)=0 \right\}

נגדיר: $U=\left\{ T:V\to V|W \subseteq \ker T \right\}$ . מצאו את $\dim U$ .

זו שאלה על המילה המפחידה $\mathrm{HOM}$ .
נסתכל תחילה על תנאי $W$ . התנאי בעצם אומר כי $a+b+c=0$ כאשר $f(x)=ax^2+bx+c$ .
כעת, נסתכל על $T$ -ים כאשר הם בעצם $[T]\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}*\\ *\\ *\end{pmatrix}$ . נרצה למצוא את המטריצה המייצגת:

[T][\ \underline{v}\ ]=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \alpha_{1} & \beta_{1} & \gamma_{1} \\ \\ \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ -a-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\alpha_{1}a+\beta_{1}b+\gamma_{1}(-a-b)=0

a(\alpha_{1}-\gamma_{1})+b(\beta_{1}-\gamma_{1})=0

\begin{cases} \alpha_{1}-\gamma_{1}=0 \\ \beta_{1}-\gamma_{1}=0 \end{cases} \implies \alpha_{1}=\beta_{1}=\gamma_{1}

\begin{pmatrix} \gamma_{1} & \gamma_{1} & \gamma_{1} \\ \gamma_{2} & \gamma_{2} & \gamma_{2} \\ \gamma_{3} & \gamma_{3} & \gamma_{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ -a-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\gamma_{1}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\gamma_{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\gamma_{3}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

לכן, המימד הוא $3$ .

הערה

הדבר שחשוב לדעת על $Hom$ הוא ש: $\mathbb{F}^{n\times m}\approx \mathrm{Hom}\left\{ V,W \right\}$ .

כאשר יש לנו מטריצה מייצגת $[T]_{B}=\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}$ ויש לנו את $P^{-1}[T]_{B}P=\begin{pmatrix}0&0\\0&3\end{pmatrix}$ ואנו נרצה למצוא את $P$ . נציב את הקורדינאטות של הו"ע לפי $B$ בעמודות המטריצה. כלומר, אילו $B=\left\{ x,2 \right\}$ :

\begin{array}{|c|c|} \hline \R{\text{ו"ע}} & \R{\text{ו"ע לפי B}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline x+2 & \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} & 0 \\ \hline -2x+2 & \begin{pmatrix} -2 & 1 \end{pmatrix}\impliedby \begin{pmatrix} -2b & b \end{pmatrix} & 0 \\ \hline \end{array}

ואז נדרש לדעת כי נדרש להציב ב- $P$ את הקורדינאטות לפי $B$ ולא את הו"ע האמיתיים.

P=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

כשעושים חיתוך בין מ"ו, כדאי למצוא $sp$ מקונן כדי שיהיה לנו איבר כללי יפה.
אם מבקשים דוגמה לט"ל, נדרש להראות את כל הטרנספורמציה ולא רק את הפעולה שלה על איברי הבסיס.
מטריצה משולשת בלוקים, היא מטריצה בעלת אלכסון של בלוקים - ריבועים הנושקים אחד לשני, כאשר מתחתיהם אפסים ומעליהם $(*)$ . במצב זה בעצם הרחבנו את האלכסון שלנו, וכעת, נוכל להתייחס לבלוקים בדיוק כפי שאנו מתייחסים לבלוקים במטריצה משולשת רגילה.
במטריצה משולשת, הדטרמיננט של המטריצה הוא מכפלת איברי האלכסון וככה גם במטריצה משולשת בלוקים עם הבלוקים.

משפט

T=\alpha I\iff [T]_{*}=\alpha I

מסקנה

[T]^2=[T^2]=0\cdot I \iff T^2=0

תרגיל

\mathbb{F}=\mathbb{Z}_{p} \qquad V=\mathbb{F}^3=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}

נסמן ב- $n_{k}$ את מספר ת"מ ממימד $k$ של $V$ .

\underset{1}{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \\ \end{pmatrix}}\underset{p}{\begin{pmatrix} 0 & 1 & a \\ \\ \end{pmatrix}}\underset{p^2}{\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ \\ \end{pmatrix}}

ולכן, $n_{1}=p^2+p+1$ .
באותה דרך, נוכל למצוא את $n_{2}$ כאשר שם נבדוק כמה מטריצות קנונית בעלות שתי שורות.

תרגיל

V=\mathbb{R}_{2}[x] \qquad W=\left\{ f(x) \in V|f(1)=0 \right\}

נגדיר: $U=\left\{ T:V\to V|W \subseteq \ker T \right\}$ . מצאו את $\dim U$ .

[T][\ \underline{v}\ ]=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \alpha_{1} & \beta_{1} & \gamma_{1} \\ \\ \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ -a-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\alpha_{1}a+\beta_{1}b+\gamma_{1}(-a-b)=0

a(\alpha_{1}-\gamma_{1})+b(\beta_{1}-\gamma_{1})=0

\begin{cases} \alpha_{1}-\gamma_{1}=0 \\ \beta_{1}-\gamma_{1}=0 \end{cases} \implies \alpha_{1}=\beta_{1}=\gamma_{1}

\begin{pmatrix} \gamma_{1} & \gamma_{1} & \gamma_{1} \\ \gamma_{2} & \gamma_{2} & \gamma_{2} \\ \gamma_{3} & \gamma_{3} & \gamma_{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ -a-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\gamma_{1}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\gamma_{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\gamma_{3}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

לכן, המימד הוא $3$ .

הערה

הדבר שחשוב לדעת על $Hom$ הוא ש: $\mathbb{F}^{n\times m}\approx \mathrm{Hom}\left\{ V,W \right\}$ .

\begin{array}{|c|c|} \hline \R{\text{ו"ע}} & \R{\text{ו"ע לפי B}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline x+2 & \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} & 0 \\ \hline -2x+2 & \begin{pmatrix} -2 & 1 \end{pmatrix}\impliedby \begin{pmatrix} -2b & b \end{pmatrix} & 0 \\ \hline \end{array}

ואז נדרש לדעת כי נדרש להציב ב- $P$ את הקורדינאטות לפי $B$ ולא את הו"ע האמיתיים.

P=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}