9 - עוד מערכות משוואות ליניאריות — אלגברה אמ

משפט (כמה משפטים)

פתרון כללי של מערכת אי הומוגנית = פתרון כללי של המערכת ההומוגנית המתאימה + פרטי של האי הומוגנית.
הפרש שני פתרונות של מערכת היא הומוגנית הוא פתרון למערכת ההומוגנית המתאימה.
כל צירוף ליניארי של פתרונות של ההומוגנית הוא גם פתרון.
למערכת $Ax=b$ יש פתרון ⇔ $b$ הוא צירוף ליניארי של עמודות $A$ .

תרגיל

נתונה המערכת:

\left(\begin{array}{ccc|c} a_{1}&b_{1}&c_{1}&a_{1}-2c_{1} \\ a_{2}&b_{2}&c_{2}&a_{2}-2c_{2} \\ a_{3}&b_{3}&c_{3}&a_{3}-2c_{3} \\ a_{4}&n_{4}&c_{4}&a_{4}-2c_{4} \end{array}\right)

נתון פתרון פרטי שלה: $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ .
נתון $r(A)=2$ . מצאו פתרון כללי למערכת.

הוכחה:
במערכת הנתונה מתקיים:

b=1\underset{\R{\text{עמודה 1 של A}}}{\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{pmatrix}}-2\underset{\R{\text{עמודה 3 של A}}}{\begin{pmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ c_{4} \end{pmatrix}}

ולכן, לפי משפט 4: $\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$ הוא פתרון פרטי של המערכת.
לפי משפט 2, $\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\-3\end{pmatrix}$ הוא פתרון למערכת ההומוגנית.
לפי משפט 3, $\alpha \begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$ הוא פתרון כללי להומוגנית. מהנתון $r(A)=2$ נסיק כי דרגת החופש של המערכת היא $3-2=1$ ולכן, יש רק פרמטר אחד לבחור באופן חופשי ולכן $\alpha \begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$ הוא הפתרון הכללי של המערכת ההומוגנית.
לפי משפט 1:

\alpha\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

זהו הפתרון הכללי של האי-הומוגנית.
∎

משפט (כמה משפטים)

פתרון כללי של מערכת אי הומוגנית = פתרון כללי של המערכת ההומוגנית המתאימה + פרטי של האי הומוגנית.
הפרש שני פתרונות של מערכת היא הומוגנית הוא פתרון למערכת ההומוגנית המתאימה.
כל צירוף ליניארי של פתרונות של ההומוגנית הוא גם פתרון.
למערכת $Ax=b$ יש פתרון ⇔ $b$ הוא צירוף ליניארי של עמודות $A$ .

תרגיל

נתונה המערכת:

\left(\begin{array}{ccc|c} a_{1}&b_{1}&c_{1}&a_{1}-2c_{1} \\ a_{2}&b_{2}&c_{2}&a_{2}-2c_{2} \\ a_{3}&b_{3}&c_{3}&a_{3}-2c_{3} \\ a_{4}&n_{4}&c_{4}&a_{4}-2c_{4} \end{array}\right)

נתון פתרון פרטי שלה: $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ .
נתון $r(A)=2$ . מצאו פתרון כללי למערכת.

הוכחה:
במערכת הנתונה מתקיים:

b=1\underset{\R{\text{עמודה 1 של A}}}{\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{pmatrix}}-2\underset{\R{\text{עמודה 3 של A}}}{\begin{pmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ c_{4} \end{pmatrix}}

\alpha\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

זהו הפתרון הכללי של האי-הומוגנית.
∎