חזור לתיקייה: תרגול

7 - דירוג מטריצות

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • כללי
  • פעולות דירוג מותרות

7 - דירוג מטריצות

01040166

אלגברה אמ

רשימות תרגול לקריאה בשבת

דירוג מטריצות

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

הגדרה 1

מטריצה מדורגת זו מטריצה שמספר האפסים ה"ראשונים" גדל משורה לשורה ויכול להישאר קבוע רק אם מגיעים לשורת אפסים מלאה.

דוגמה

(50000023450007000000)\begin{pmatrix} 5&0&0&0&0 \\ 0&2&3&4&5 \\ 0&0&0&7&0 \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}​5000​0200​0300​0470​0500​​

ניתן לראות שמספר האפסים הראשוניים גדל משורה לשורה.
במידה ותהיה שורת אפסים נוספת הכל סבבה:

(5000002345000700000000000)\begin{pmatrix} 5&0&0&0&0 \\ 0&2&3&4&5 \\ 0&0&0&7&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}​50000​02000​03000​04700​05000​​
דוגמה

המטריצה הבאה מדורגת:

(8325)\begin{pmatrix} 8&3&2&5 \end{pmatrix}(8​3​2​5​)

המטריצה הבאה אינה מדורגת:

(832)\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}​832​​

בניגוד לכך, המטריצה הבאה אכן מדורגת:

(800)\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}​800​​

מטריצת האפס(כדוגמת: (000000)\begin{pmatrix}0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}(00​00​00​)) הינה מדורגת.

הגדרה 2 (מטריצה קנונית (מדורגת מצומצמת))

זוהי מטריצה המקיימת:

  1. מדורגת
  2. האיבר הראשון השונה מאפס בכל שורה(האיבר המוביל) הינו 111 והוא היחידי השונה מאפס בעמודתו.
דוגמה (מטריצות קנוניות)

(1530700010)\begin{pmatrix} 1&5&3&0&7 \\ 0&0&0&1&0 \end{pmatrix}(10​50​30​01​70​) (000000)\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}(00​00​00​) (100)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}​100​​ (1234)\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \end{pmatrix}(1​2​3​4​)
תרגיל

כמה מטריצות קנונית יוש ב-(Z3)4×3(\mathbb{Z}_{3})_{4\times3}(Z3​)4×3​?

פתרון:

(100010001000)  &  (10∗01∗000000)  &  (1∗0001000000)  &  (1∗∗000000000)  &  (010001000000)  &\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \; \& \; \begin{pmatrix} 1&0&* \\ 0&1&* \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \; \& \; \begin{pmatrix} 1&*&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \; \& \; \begin{pmatrix} 1&*&* \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}\; \& \; \begin{pmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}\; \& ​1000​0100​0010​​&​1000​0100​∗∗00​​&​1000​∗000​0100​​&​1000​∗000​∗000​​&​0000​1000​0100​​&   (01∗000000000)  &  (001000000000)  &  (0)\; \begin{pmatrix} 0&1&* \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \; \& \; \begin{pmatrix} 0&0&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}\; \& \; \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}​0000​1000​∗000​​&​0000​0000​1000​​&(0​)

ולכן, יש 28 מטריצות.
‎∎

פעולות דירוג מותרות

  1. החלפת שורות.
  2. כפל שורה בסקלר אשר אינו 000.
  3. הוספת כפולה של שורה אחת לאחרת.
משפט

לכל מטריצה יש צורה קנונית אחת ויחידה.

הגדרה 3 (אלגוריטם לדירוג)

  1. מתחילים במקום 1,11,11,1
  2. מסדרים איבר מוביל במקום נח(נח = גורם משותף של כל העמודה מתחתיו, "מסדרים" - בלי שברים)
  3. מאפסים את כל העמודה מתחתיו בעזרתו.
  4. יורדים שורה למטה, זזים אחד ימינה וחוזרים ל-2 אלא אם הגענו ל-0 שמתחתיו אפסים ואז זזים עוד אחד ימינה.
    חוזרים על הלולאה הזו עד שמגיעים למטריצה מדורגת.
  5. מאפסים את כל העמודות מעל המובילים מימין לשמאל.
  6. מסדרים איברים מובילים להיות 1 ע"י חלוקת השורה במוביל
תרגיל

הביאו את המטריצה הבאה לצורה קנונית:

(6441062−1−33451−197779125)\begin{pmatrix} 6&4&4&10&6 \\ 2&-1&-3&3&4 \\ 5&1&-1&9&7 \\ 7&7&9&12&5 \end{pmatrix}​6257​4−117​4−3−19​103912​6475​​

פתרון:

(6441062−1−33451−197779125)⟶(10−470117011370−670001000000)\begin{pmatrix} 6&4&4&10&6 \\ 2&-1&-3&3&4 \\ 5&1&-1&9&7 \\ 7&7&9&12&5 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix} 1&0&-\frac{4}{7}&0& \frac{11}{7} \\ 0&1& \frac{13}{7}&0& -\frac{6}{7} \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}​6257​4−117​4−3−19​103912​6475​​⟶​1000​0100​−74​713​00​0010​711​−76​00​​
שיעורי בית (HW)

עשו את כל המעברים בבית כדי לוודא כי אתם יודעים לדרג מטריצות.

הערה (כמה הערות)

  1. מומלץ להקפיד שהשורה לתוכה נכנסים תהיה "נושא" הפעולה, ז"א: Ri=Ri+αRjR_{i}=R_{i}+\alpha R_{j}Ri​=Ri​+αRj​
  2. אם לכל השורה יש גורם משותף, כדי לחלק בו (בכל שלב של הדירוג).
  3. אסור לשנות שורה ולהשתמש בה בו זמנית. למשל: R1=R1+7R2R3=R3−R1\xcancel{\begin{matrix}R_{1}=R_{1}+7R_{2} \\ R_{3}=R_{3}-R_{1}\end{matrix}}R1​=R1​+7R2​R3​=R3​−R1​​. היוצא דופן היחיד הוא פעולה מסוג Ri=αRi+βRjR_{i}=\alpha R_{i}+\beta R_{j}Ri​=αRi​+βRj​.
הגדרה 4 (כמה הגדרות)

  1. שתי מטריצות נקראות שקולות שורה אם אפשר להגיע מאחת לשנייה ע"י פעולות דירוג.
  2. דרגה של מטריצה = מס' שורות שונות מאפס במטריצה הקנונית.
משפט

  1. שתי מטריצות הינן שקולות שורה ⇔ יש להן את אותה הצורה הקנונית.
  2. ניתן לקבוע דרגה של מטריצה כבר מהצורה המדורגת שלה.
דוגמה

r(111111111)=1r \begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&1&1 \\ 1&1&1 \end{pmatrix}=1r​111​111​111​​=1

הצורה הקנונית של המטריצה תראה כך:

(111000000)\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}​100​100​100​​
תרגיל

מה הצורה הקנונית של מטריצה n+1n+1n+1 מדרגה nnn?

פתרון:
גלית טוענת כי המטריצה הקנונית הינה: InI_{n}In​.

(1000001000001000001000001)\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}​10000​01000​00100​00010​00001​​

‎∎

תרגיל (נכון/לא נכון)

כל משולשת עליונה היא מדורגת

פתרון: לא נכון.
דוגמה נגדית:

(123000007)\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 0&0&0 \\ 0&0&7 \end{pmatrix}​100​200​307​​

היא משולשת, שכן כל מה שמתחת לאלכסון הינו אפס, אבל אינה מדורגת.

תרגיל (נכון/לא נכון)

כל מדורגת היא משולשת.

פתרון: לא נכון.
דוגמה נגדית:

(123)\begin{pmatrix} 1&2&3 \end{pmatrix}(1​2​3​)

המטריצה הזו מדורגת, אך אינה משולשת.

תרגיל (נכון/לא נכון)

כל מדורגת ריבועית היא משולשת.

פתרון: נכון.
לא נכתוב כרגע הוכחה מדוייקת, אבל יוסבר בניפנוף ידיים.
המינימום הנדרש ממדורגת ריבועית הוא שמספר האפסים יעלה משורה לשורה:

(∗0000000000)\begin{pmatrix} * \\ 0 \\ 0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ \end{pmatrix}​∗0000​000​00​0​​

שזוהי בדיוק ההגדרה של משולשת.

תרגיל (נכון/לא נכון)

סכום מדורגות הוא מדורג.

פתרון: לא נכון.

(123045000)+(1230−45006)=(24600100012)\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 0&4&5 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 0&-4&5 \\ 0&0&6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&4&6 \\ 0&0&10 \\ 0&0&12 \end{pmatrix}​100​240​350​​+​100​2−40​356​​=​200​400​61012​​

זוהי מטריצה שאינה מדורגת, שכן מספר האפסים לא גדל משורה לשורה.

תרגיל (נכון/לא נכון)

סכום מטריצות 3×33\times 33×3 מדרגה 222 = מטריצה 3×33\times 33×3 מדרגה 2≥2\geq2≥.

פתרון: לא נכון.

(100000001)r=2+(100010000)r=2=(211)r=3\underset{r=2}{\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}}+\underset{r=2}{\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}}=\underset{r=3}{\begin{pmatrix} 2 \\ &1 \\ &&1 \end{pmatrix}}r=2​100​000​001​​​+r=2​100​010​000​​​=r=3​2​1​1​​​
תרגיל (נכון/לא נכון)

סכום 2 מטריצות מדורגות מדרגה 222 = מטריצה מדורגת מדרגה 2≥2\geq2≥

פתרון: לא נכון.

(123045000)+(−123045000)=(0460810000)\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 0&4&5 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1&2&3 \\ 0&4&5 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&4&6 \\ 0&8&10 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}​100​240​350​​+​−100​240​350​​=​000​480​6100​​

נשים לב כי מטריצת הסכום אינה מדורגת ולכן הטענה לא נכונה.
ללא התנאי כי התוצאה תהיה מדורגת, הטענה נכונה.

תרגיל (נכון/לא נכון)

כל אלכסונית היא מדורגת.

פתרון: לא נכון.

(100000003)\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&3 \end{pmatrix}​100​000​003​​

זה שהמטריצה אלכסונית אינו אומר כי כל האיברים באלכסון אינם אפס.

תרגיל

מצאו את דרגת המטריצה הבאה בהתאם לערכים השונים של α\alphaα:

(α1111α1α11αα2)\begin{pmatrix} \alpha&1&1&1 \\ 1&\alpha&1&\alpha \\ 1&1&\alpha&\alpha^2 \end{pmatrix}​α11​1α1​11α​1αα2​​

פתרון:

(α1111α1α11αα2)R2↔R1→(1α1αα11111αα2)R2=R2−αR1R3=R3−R1→(1α1α01−α21−α1−α01−αα−1α2−α)\begin{pmatrix} \alpha&1&1&1 \\ 1&\alpha&1&\alpha \\ 1&1&\alpha&\alpha^2 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{2}\leftrightarrow R_{1}}\begin{pmatrix} 1&\alpha&1&\alpha \\ \alpha&1&1&1 \\ 1&1&\alpha&\alpha^2 \end{pmatrix}\overrightarrow{\begin{matrix} R_{2}=R_{2}-\alpha R_{1} \\ R_{3}=R_{3}-R_{1} \end{matrix}}\begin{pmatrix} 1&\alpha&1&\alpha \\ 0&1-\alpha^2&1-\alpha&1-\alpha \\ 0&1-\alpha&\alpha-1&\alpha^2-\alpha \end{pmatrix}​α11​1α1​11α​1αα2​​R2​↔R1​​​1α1​α11​11α​α1α2​​R2​=R2​−αR1​R3​=R3​−R1​​​​100​α1−α21−α​11−αα−1​α1−αα2−α​​ R2↔R3→(1α1α01−αα−1α(α−1)0(1−α)(1+α)1−α(1−α)(1+α))\overrightarrow{R_{2}\leftrightarrow R_{3}}\begin{pmatrix} 1&\alpha&1&\alpha \\ 0&1-\alpha&\alpha-1&\alpha(\alpha-1) \\ 0&(1-\alpha)(1+\alpha)&1-\alpha&(1-\alpha)(1+\alpha) \end{pmatrix}R2​↔R3​​​100​α1−α(1−α)(1+α)​1α−11−α​αα(α−1)(1−α)(1+α)​​ R3=R3−(1+α)R2→(1α1α01−αα−1α(α−1)00(1−α)(2+α)(1−α)(1+α)2)\overrightarrow{R_{3}=R_{3}-(1+\alpha)R_{2}}\begin{pmatrix} 1&\alpha&1&\alpha \\ 0&1-\alpha&\alpha-1&\alpha(\alpha-1) \\ 0&0&(1-\alpha)(2+\alpha)&(1-\alpha)(1+\alpha)^2 \end{pmatrix}R3​=R3​−(1+α)R2​​​100​α1−α0​1α−1(1−α)(2+α)​αα(α−1)(1−α)(1+α)2​​

נחלק למקרים על פי α\alphaα.

  • מקרה 1: α≠1,−2\alpha\neq1,-2α=1,−2 (איברים מובילים שונים מאפס)
    אזי המטריצה הינה מדורגת ודרגתה היא 3.
  • מקרה 2: α=1\alpha=1α=1
    המטריצה תהיה:
(111100000000)\begin{pmatrix} 1&1&1&1 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}​100​100​100​100​​

ודרגתה תהיה 1.

  • מקרה 3: α=−2\alpha=-2α=−2
    במקרה זה, המטריצה תהיה:
(1−21−203−360003)\begin{pmatrix} 1&-2&1&-2 \\ 0&3&-3&6 \\ 0&0&0&3 \end{pmatrix}​100​−230​1−30​−263​​

ודרגתה תהיה 3.

תשובה סופית: עבור α≠1\alpha\neq1α=1: r(A)=3r(A)=3r(A)=3 ועבור α=1\alpha=1α=1: r(A)=1r(A)=1r(A)=1.
‎∎

שיעורי בית (שימו לב)

בדירוג עם פרמטרים, אחרי שסיימנו לדרג לכאורה, אנו מסמנים איברים מובילים ומחלקים למקרים על פי איברים מובילים.

הערה (הערות לגבי דירוג עם פרמטרים)

  1. האלגוריתם זהה לאלגוריתם לפירוק רגיל.
  2. יש לפצל למקרים כאשר מכפילים את השורה עליה עובדים בביטוי(יכול להיות שהוא אפס)
  3. יש לפצל למקרים כאשר מחלקים בביטוי.
  4. פעולות מסוג: R3=R3+f(α)R2R_{3}=R_{3}+f(\alpha)R_{2}R3​=R3​+f(α)R2​ לא דורשות פיצול.