6 - כפל מטריצות — אלגברה אמ | תיקיית הסיכומים

הגדרה 1

כפל שורה בעמודה אפשרי רק אם אורך השורה שווה לאורך העמודה והתוצאה היא מספר(אשר הינו ב- $\mathbb{F}$ ):

\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&\dots&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix}

כפל מטריצות $\underset{m\times n}{A}\cdot\underset{k\times l}{B}$ אפשרי רק אם $n=k$ .
כל $c_{ij}$ שווה לכפל של השורה $i$ של $A$ לעמודה $j$ של $B$ .

דוגמה

A=\begin{pmatrix} 1&2&3 \end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix} 0&-1&2 \end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&2&1 \\ 3&1&0 \end{pmatrix}

חשבו(אם אפשר):

AB^t \quad B^tA \quad B^tAC \quad BC

פתרון:

AB^t=\begin{pmatrix} 1&2&3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \end{pmatrix}_{1\times1}

B^tA=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ -1&-2&-3 \\ 2&4&6 \end{pmatrix}_{3\times 3}

B^tAC=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ -1&-2&-3 \\ 2&4&6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&2&1 \\ 3&1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ -4&-7&-1 \\ 20&14&2 \end{pmatrix}_{3\times 3}

BC=\begin{pmatrix} 0&-1&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&2&1 \\ 3&1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6&0&-1 \end{pmatrix}_{1\times3}

AB^tC=\begin{pmatrix} 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&2&1 \\ 3&1&0 \end{pmatrix}=\mathbf{X}

‎∎

חוקים

אסוציאטיביות: $(AB)C=A(BC)$
פילוג משמאל: $A(B+D)=AB+AD$
פילוג מימין: $(B+D)A=BA+DA$
אדיש לכפל משמאל: $I_{m}A_{m\times n}=A_{m\times n}$
אדיש לכפל מימין: $A_{m\times n}I_{n}=A_{m\times n}$
פילוג טרנספוז: $(AB)^t=B^tA^t$
הכפלה במספר $\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$
העלאה ב- $0$ : $A^0=I$

תרגיל (הוכח/הפרך)

AB=0 \implies A=0 \lor B=0

הוכחה:
נראה דוגמה נגדית:

\begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

ולכן הטענה אינה נכונה.
‎∎

תרגיל (הוכח/הפרך)

A^2=0 \implies A=0

הוכחה:

\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

ולכן הטענה לא נכונה.
‎∎

תרגיל (הוכח/הפרך)

AA^t=0 \implies A=0

הוכחה:
לא נכון מעל $\mathbb{Z}_{2}$ : $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
מעל שדה אינסופי:

\begin{pmatrix} 1&i&0 \\ 1&i&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1 \\ i&i \\ 0&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

‎∎

תרגיל (הוכח/הפרך)

A \in \mathbb{R}_{n\times m}\quad AA^t=0 \implies A=0

הוכחה:
מהנתון אנו יודעים כי $\forall i,j:\ (AA^t)_{ij}=0$
בפרט $(AA^t)_{ii}=0$

\forall i:\; 0=(AA^t)_{ii}=A_{\leftrightarrow i}A^t_{\updownarrow1}=\begin{pmatrix} a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{im} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{i1} \\ a_{i2} \\ \vdots \\ a_{im} \end{pmatrix}

לפי הגדרת הכפל:

=a_{i1}^2+a_{i2}^2+\dots+a_{im}^2=0

ולכן, מכיוון שאנו מעל $\mathbb{R}$ :

a_{i1}=a_{i2}=\dots=a_{im}=0

ולכן, שורה $i$ של $A$ כולה אפסים לכל $i$ . ולכן:

A=0

‎∎

תרגיל (הוכח/הפרך)

המטריצה $AA^t$ תמיד סימטרית

הוכחה:
כדי שהמטריצה תהיה סמטרית נדע כי היא שווה לטרנספוז שלה כך:

AA^t=(AA^t)^t

נפתח סוגריים:

AA^t=AA^t

‎∎

שיעורי בית (HW)

המלצה: להוכיח כי $(AA^t)_{ij}=(AA^t)_{ji}$

תרגיל (הוכח/הפרך)

מכפלת סימטריות היא סימטרית.

הוכחה:

\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1&3 \\ 3&7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&7 \\ 5&17 \end{pmatrix}

ולכן הטענה אינה מתקיימת.
‎∎

תרגיל (הוכח/הפרך)

מכפלת משולשות עליונות, משולשת עליונה

הוכחה:
לכל $i>j$ :

(AB)_{ij}=A_{\leftrightarrow i}B_{\downarrow j}=\begin{pmatrix} a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{in} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{pmatrix}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}

נפרק את המשוואה לכך שבמחובר הראשון $a$ תמיד יהיה אפס ובמחובר השני $b$ תמיד יהיה אפס.

=\sum_{k=1}^{i-1}a_{ik}b_{kj}+\sum_{k=i}^na_{ik}b_{kj}=0+0=0

ולכן, על פי הגדרת מטריצה משולשת עליונה, אנו יודעים כי $AB$ הינה מטריצה שכזו ולכן מכפלה של 2 מטריצות של משולשות עליונות הינה מטריצה משולשת עליונה.

נוכיח שהטענה נכונה למכפלת $\ell$ משולשות עליונות באינדוקציה:
בסיס: ראו למעלה ל- $\ell=2$ .
צעד: נניח שהטענה נכונה עבור מכפלה של $\ell$ משולשות עליונות ונוכיח עבור $\ell+1$ .

A_{1}A_{2}\dots A_{\ell+1}=(A_{1}A_{2}\dots A_{\ell})A_{\ell+1}

הפרדנו על פי אסוציאטיביות בכפל מטריצות וכעת אנו יודעים כי האיבר הראשון הינו מטריצה משושלת על פי הנחת האינדוקציה ומכיוון שגם היא וגם $A_{\ell+1}$ מטריצות משולשות, על פי הוכחת הבסיס, אנו יודעים כי גם התוצאה תהיה מטריצה משולשת.
‎∎

שיעורי בית (HW)

להשתפשף באינדקסים על ידי הוכחת:

(AB)^t=B^tA^t

הערה (לגבי שיעורי הבית)

בתרגיל 5 מוגדרת מטריצה כך $(E_{m\times n})^{i,j}$ .
לעשות סקיצה והסברים. לא צריך אינדקסים, אפשר לצייר ולראות מה יש במטריצה.
בשאלה 6 מאוד חשוב להבין את האינדקסים - שואלים בה: אם $C$ מתחלפת בכפל עם כל $A$ אז $C$ סקלארית. ⇐ המטרה היא להשתמש ב-5 בשאלה 6 - $C$ צריכה להתחלף עם $E$ ולכן, הסקיצות שיוצאות בתרגיל 5 חייבות להיות שוות.

הגדרה 1

כפל שורה בעמודה אפשרי רק אם אורך השורה שווה לאורך העמודה והתוצאה היא מספר(אשר הינו ב- $\mathbb{F}$ ):

\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&\dots&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix}

כפל מטריצות $\underset{m\times n}{A}\cdot\underset{k\times l}{B}$ אפשרי רק אם $n=k$ .
כל $c_{ij}$ שווה לכפל של השורה $i$ של $A$ לעמודה $j$ של $B$ .

דוגמה

A=\begin{pmatrix} 1&2&3 \end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix} 0&-1&2 \end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&2&1 \\ 3&1&0 \end{pmatrix}

חשבו(אם אפשר):

AB^t \quad B^tA \quad B^tAC \quad BC

פתרון:

AB^t=\begin{pmatrix} 1&2&3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \end{pmatrix}_{1\times1}

B^tA=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ -1&-2&-3 \\ 2&4&6 \end{pmatrix}_{3\times 3}

B^tAC=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ -1&-2&-3 \\ 2&4&6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&2&1 \\ 3&1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ -4&-7&-1 \\ 20&14&2 \end{pmatrix}_{3\times 3}

BC=\begin{pmatrix} 0&-1&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&2&1 \\ 3&1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6&0&-1 \end{pmatrix}_{1\times3}

AB^tC=\begin{pmatrix} 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&2&1 \\ 3&1&0 \end{pmatrix}=\mathbf{X}

‎∎

חוקים

אסוציאטיביות: $(AB)C=A(BC)$
פילוג משמאל: $A(B+D)=AB+AD$
פילוג מימין: $(B+D)A=BA+DA$
אדיש לכפל משמאל: $I_{m}A_{m\times n}=A_{m\times n}$
אדיש לכפל מימין: $A_{m\times n}I_{n}=A_{m\times n}$
פילוג טרנספוז: $(AB)^t=B^tA^t$
הכפלה במספר $\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$
העלאה ב- $0$ : $A^0=I$

תרגיל (הוכח/הפרך)

AB=0 \implies A=0 \lor B=0

הוכחה:
נראה דוגמה נגדית:

\begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

ולכן הטענה אינה נכונה.
‎∎

תרגיל (הוכח/הפרך)

A^2=0 \implies A=0

הוכחה:

\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

ולכן הטענה לא נכונה.
‎∎

תרגיל (הוכח/הפרך)

AA^t=0 \implies A=0

הוכחה:
לא נכון מעל $\mathbb{Z}_{2}$ : $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
מעל שדה אינסופי:

\begin{pmatrix} 1&i&0 \\ 1&i&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1 \\ i&i \\ 0&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}

‎∎

תרגיל (הוכח/הפרך)

A \in \mathbb{R}_{n\times m}\quad AA^t=0 \implies A=0

הוכחה:
מהנתון אנו יודעים כי $\forall i,j:\ (AA^t)_{ij}=0$
בפרט $(AA^t)_{ii}=0$

\forall i:\; 0=(AA^t)_{ii}=A_{\leftrightarrow i}A^t_{\updownarrow1}=\begin{pmatrix} a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{im} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{i1} \\ a_{i2} \\ \vdots \\ a_{im} \end{pmatrix}

לפי הגדרת הכפל:

=a_{i1}^2+a_{i2}^2+\dots+a_{im}^2=0

ולכן, מכיוון שאנו מעל $\mathbb{R}$ :

a_{i1}=a_{i2}=\dots=a_{im}=0

ולכן, שורה $i$ של $A$ כולה אפסים לכל $i$ . ולכן:

A=0

‎∎

תרגיל (הוכח/הפרך)

המטריצה $AA^t$ תמיד סימטרית

הוכחה:
כדי שהמטריצה תהיה סמטרית נדע כי היא שווה לטרנספוז שלה כך:

AA^t=(AA^t)^t

נפתח סוגריים:

AA^t=AA^t

‎∎

שיעורי בית (HW)

המלצה: להוכיח כי $(AA^t)_{ij}=(AA^t)_{ji}$

תרגיל (הוכח/הפרך)

מכפלת סימטריות היא סימטרית.

הוכחה:

\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1&3 \\ 3&7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&7 \\ 5&17 \end{pmatrix}

ולכן הטענה אינה מתקיימת.
‎∎

תרגיל (הוכח/הפרך)

מכפלת משולשות עליונות, משולשת עליונה

הוכחה:
לכל $i>j$ :

(AB)_{ij}=A_{\leftrightarrow i}B_{\downarrow j}=\begin{pmatrix} a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{in} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{pmatrix}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}

נפרק את המשוואה לכך שבמחובר הראשון $a$ תמיד יהיה אפס ובמחובר השני $b$ תמיד יהיה אפס.

=\sum_{k=1}^{i-1}a_{ik}b_{kj}+\sum_{k=i}^na_{ik}b_{kj}=0+0=0

A_{1}A_{2}\dots A_{\ell+1}=(A_{1}A_{2}\dots A_{\ell})A_{\ell+1}

שיעורי בית (HW)

להשתפשף באינדקסים על ידי הוכחת:

(AB)^t=B^tA^t

הערה (לגבי שיעורי הבית)