"עולם חדש של מטריצות" - גלית

חיבור $A+B$ ניתן לביצוע רק אם שתיהן בדיוק באותו הגודל:

חוקים

נסמן: $\alpha,\beta \in \mathbb{F}$ ו-$A \in \mathbb{F}_{n\times m},\mathbb{F}^{n\times m},M_{m\times n}(\mathbb{F})$

נסתכל על פעולת ה$transpose$:

מטריצות מיוחדות

1. מטריצת האפס - מטריצה שכולה אפסים.
   כל המטריצות הבאות ריבועיות:
2. מטריצת היחידה($I_{n}$) = $\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$ זוהי בגודל $2\times2$ אבל מטריצת היחידה יכולה להיות בכל גודל $n \times n$
3. מטריצה סקלארית: $\alpha I_{n}$.
4. מטריצה אלכסונית: $D_{n}$: $\forall i\neq j:\ D_{ij}=0$ כל איבר מחוץ לאלכסון הינו $0$.
5. משולשת עליונה: $\forall i>j:\ A_{ij}=0$
6. משולשת תחתונה: $\forall i<j:\ B_{ij}=0$
7. מטריצה סימטרית: $a_{ij}=a_{ji}$ או $A=A^t$
8. מטריצה אנטי סמטרית: $a_{ij}=-a_{ji}$ או $A=-A^t$
   במטריצה זו, האלכסון כולו אפסים, אלא אם אנחנו מעל $\mathbb{Z}_{2}$ ואז יתכן שיש באלכסון גם $\text{"1"}$.

הוכחה: (א)
לפי הגדרת החיבור:

לפי הגדרת הטרנספוז:

כעת, באותה הדרך:

ולכן, על פי הקומוטטיביות ב-$\mathbb{F}$:

ולכן:

‎∎

נסתכל על הוכחה נוספת לסעיף (א):
נסתכל על ההגדרה השקולה לסימטריות ונראה כי אנו צריכים להוכיח: $A+A^t=(A+A^t)^t$
נוכיח כך:

‎∎

הוכחה: (ג)

הוכחה:
נתון כי $C=-C^t$.
נראה כי:

‎טענת עזר 2 ∎

נראה כי לאור סעיף א' וטענת העזר, אנו יודעים כי $\frac{1}{2}(A+A^t)$ הינה סימטרית. ולאור סעיף ב' וטענת העזר השנייה אנו יודעים כי $\frac{1}{2}(A-A^t)$ הינה אנטי סימטרית.
‎∎