( 1 + i ) z 2 + ( 6 − i ) z = − 3 + 5 i (1+i)z^2+(6-i)z=-3+5i ( 1 + i ) z 2 + ( 6 − i ) z = − 3 + 5 i פתרון:
( 1 + i ) z 2 + ( 6 − i ) z + 3 − 5 i = 0 (1+i)z^2+(6-i)z+3-5i=0 ( 1 + i ) z 2 + ( 6 − i ) z + 3 − 5 i = 0 z 1 , 2 = ( i − 6 ) ± ( 6 − i ) 2 − 4 ( 1 + i ) ( 3 − 5 i ) 2 + 2 i = ( i − 6 ) ± 35 − 12 i − 32 + 8 i 2 + 2 i z_{1,2}=\frac{(i-6)\pm \sqrt{ (6-i)^2-4(1+i)(3-5i) }}{2+2i}=\frac{(i-6)\pm \sqrt{ 35-12i-32+8i }}{2+2i} z 1 , 2 = 2 + 2 i ( i − 6 ) ± ( 6 − i ) 2 − 4 ( 1 + i ) ( 3 − 5 i ) = 2 + 2 i ( i − 6 ) ± 35 − 12 i − 32 + 8 i = ( i − 6 ) ± 3 − 4 i 2 + 2 i =\frac{(i-6)\pm \sqrt{ 3-4i }}{2+2i} = 2 + 2 i ( i − 6 ) ± 3 − 4 i a + i b = 3 − 4 i ⟹ ( a + i b ) 2 = 3 − 4 i ⟹ a 2 + 2 a b − b 2 = 3 − 4 i a+ib=\sqrt{ 3-4i } \implies (a+ib)^2=3-4i \implies a^2+2ab-b^2=3-4i a + ib = 3 − 4 i ⟹ ( a + ib ) 2 = 3 − 4 i ⟹ a 2 + 2 ab − b 2 = 3 − 4 i { a 2 − b 2 = 3 2 a b = − 4 ⟹ b ≠ 0 ⟸ a 2 ≠ 3 − 4 i { a = − 2 b ⟹ 4 b 2 − b 2 = 3 ⟹ 4 − b 4 = 3 b 2 ⟹ b 4 + 3 b 2 − 4 = 0 \begin{cases}
a^2-b^2=3 \\
2ab=-4
\end{cases} \underset{b\neq 0 \impliedby a^2 \neq 3-4i}{\implies} \begin{cases}
\\
a=-\frac{2}{b}
\end{cases} \implies \frac{4}{b^2}-b^2=3 \implies 4-b^4=3b^2 \implies b^4+3b^2-4=0 { a 2 − b 2 = 3 2 ab = − 4 b = 0 ⟸ a 2 = 3 − 4 i ⟹ { a = − b 2 ⟹ b 2 4 − b 2 = 3 ⟹ 4 − b 4 = 3 b 2 ⟹ b 4 + 3 b 2 − 4 = 0 נסמן t = b 2 t=b^2 t = b 2
t 2 + 3 t − 4 = 0 ⟹ t 1 , 2 = − 3 ± 25 2 ⟹ { t 1 = 1 t 2 = − 4 ⟸ t = b 2 , b ∈ R ⟹ { b 1 = 1 b 2 = − 1 ⟹ { a 1 = − 2 a 2 = 2 t^2+3t-4=0 \implies t_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{ 25 }}{2}\implies\begin{cases}
t_{1}=1 \\
\cancel{ t_{2}=-4 }_{\impliedby t=b^2, b \in \mathbb{R}}
\end{cases} \implies \begin{cases}
b_{1}=1 \\
b_{2}=-1 \\
\\
\\
\end{cases} \implies \begin{cases}
a_{1}=-2 \\
a_{2}=2
\end{cases} t 2 + 3 t − 4 = 0 ⟹ t 1 , 2 = 2 − 3 ± 25 ⟹ { t 1 = 1 t 2 = − 4 ⟸ t = b 2 , b ∈ R ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ b 1 = 1 b 2 = − 1 ⟹ { a 1 = − 2 a 2 = 2 נחזור לשורש:
z 1 , 2 = − 6 + i ± ( − 2 + i ) 2 ( 1 + i ) = { − 8 + 2 i 2 ( 1 + i ) − 4 2 ( 1 + i ) ⟹ { − 6 + 10 i 4 − 4 + 4 i 4 ⟹ { − 3 2 + 5 2 i − 1 + i z_{1,2}=\frac{-6+i\pm (-2+i)}{2(1+i)}=\begin{cases}
\frac{-8+2i}{2(1+i)} \\
-\frac{4}{2(1+i)}
\end{cases} \implies \begin{cases}
\frac{-6+10i}{4} \\
\frac{-4+4i}{4}
\end{cases}\implies \begin{cases}
-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i \\
-1+i
\end{cases} z 1 , 2 = 2 ( 1 + i ) − 6 + i ± ( − 2 + i ) = { 2 ( 1 + i ) − 8 + 2 i − 2 ( 1 + i ) 4 ⟹ { 4 − 6 + 10 i 4 − 4 + 4 i ⟹ { − 2 3 + 2 5 i − 1 + i תשובה סופית:
z = − 3 2 + 5 2 i , − 1 + i z=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i, -1+i z = − 2 3 + 2 5 i , − 1 + i
פתרו:
z n = z ‾ z^n=\overline{z} z n = z נסמן: z = R c i s θ z=Rcis\ \theta z = R c i s θ
R n c i s ( n θ ) = R c i s ( − θ ) R^ncis(n\theta)=Rcis(-\theta) R n c i s ( n θ ) = R c i s ( − θ ) נפרק:
{ R n = R ⟹ R = 0 , 1 n > 1 ‾ R = R + לכ n = 1 ‾ n θ = − θ + 360 ∘ k ⟹ ( n + 1 ) θ = 0 + 360 ∘ k ⟹ θ = 360 ∘ k n + 1 k = 0 , … , n \begin{cases}
R^n=R \implies \overset{\underline{n>1}}{R=0,1} \quad \overset{\underline{n=1}}{R=\mathbb{R}^+\ לכ}\\
n\theta=-\theta+360^\circ k \implies (n+1)\theta=0+360^\circ k \implies \theta=\frac{360^\circ k}{n+1}_{\quad k=0,\dots,n}
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ R n = R ⟹ R = 0 , 1 n > 1 R = R + לכ n = 1 n θ = − θ + 36 0 ∘ k ⟹ ( n + 1 ) θ = 0 + 36 0 ∘ k ⟹ θ = n + 1 36 0 ∘ k k = 0 , … , n פתרונות: עבור n > 1 n>1 n > 1 n + 2 n+2 n + 2 R = 0 R=0 R = 0 n + 1 n+1 n + 1 n n n z ‾ \overline{z} z z z z n = 1 n=1 n = 1 R R R θ = 0 , 180 \theta=0,180 θ = 0 , 180
הגדרות ומשפטים
הגדרה 1 (פולינום אי פריק)
פולינום נקרא אי פריק מעל שדה F \mathbb{F} F אם הגורמים היחידים שלו הם "1" \text{"1"} "1"
מעל C \mathbb{C} C R \mathbb{R} R
אם z z z z ‾ \overline{z} z
הוכחה:
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0} f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 כאשר a i ∈ R a_{i}\in \mathbb{R} a i ∈ R f ( z ) = 0 f(z)=0 f ( z ) = 0
f ( z ) = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 = 0 f(z)=a_{n}z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_{1}z+a_{0}=0 f ( z ) = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 = 0 0 ‾ = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 ‾ \overline{0}=\overline{a_{n}z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_{1}z+a_{0}} 0 = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 0 = a n z n ‾ + a n − 1 z n − 1 ‾ + ⋯ + a 1 z ‾ + a 0 ‾ 0=\overline{a_{n}z^n}+\overline{a_{n-1}z^{n-1}}+\dots+\overline{a_{1}z}+\overline{a_{0}} 0 = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 0 = a n ‾ z n ‾ + a n − 1 ‾ z n − 1 ‾ + ⋯ + a 1 ‾ ⋅ z ‾ + a 0 ‾ 0=\overline{a_{n}}\overline{z^n}+\overline{a_{n-1}}\overline{z^{n-1}}+\dots+\overline{a_{1}}\cdot\overline{z}+\overline{a_{0}} 0 = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 ⋅ z + a 0 0 = a n ( z ‾ ) n + a n − 1 ( z ‾ ) n − 1 + ⋯ + a 1 z ‾ + a 0 0=a_{n}(\overline{z})^n+a_{n-1}(\overline{z})^{n-1}+\dots+a_{1}\overline{z}+a_{0} 0 = a n ( z ) n + a n − 1 ( z ) n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 0 = f ( z ‾ ) 0=f(\overline{z}) 0 = f ( z ) ∎
לפולינום עם מקדמים ממשיים ממעלה אי זוגית, יש שורש ממשי אחד לפחות.
נשים לב כי:
( x − z ) ( x − z ‾ ) = x 2 − x ( z + z ‾ ) + z z ‾ = x 2 − 2 R e ( z ) x + ∣ z ∣ 2 (x-z)(x-\overline{z})=x^2-x(z+\overline{z})+z\overline{z}=x^2-2\mathrm{Re}(z)x+\left| z \right|^2 ( x − z ) ( x − z ) = x 2 − x ( z + z ) + z z = x 2 − 2 Re ( z ) x + ∣ z ∣ 2
פרקו את הפולינום:
f ( x ) = x 5 − x 4 + x − 1 f(x)=x^5-x^4+x-1 f ( x ) = x 5 − x 4 + x − 1 לגורמים אי פריקים מעל R \mathbb{R} R
f ( x ) = x 4 ( x − 1 ) + x − 1 = ( x − 1 ) ( x 4 + 1 ) f(x)=x^4(x-1)+x-1=(x-1)(x^4+1) f ( x ) = x 4 ( x − 1 ) + x − 1 = ( x − 1 ) ( x 4 + 1 ) נלך, נמצא את 4 השורשים המרוכבים:
x 4 = − 1 = 1 c i s 180 ∘ ⟹ x = c i s 180 ∘ + 360 ∘ k 4 k = 0 , 1 , 2 , 3 x^4=-1 =1cis\ 180^\circ \implies x=cis \frac{180^\circ+360^\circ k}{4}_{\quad k=0,1,2,3} x 4 = − 1 = 1 c i s 18 0 ∘ ⟹ x = c i s 4 18 0 ∘ + 36 0 ∘ k k = 0 , 1 , 2 , 3 { x 1 = c i s 45 ∘ = 1 2 + 1 2 i x 2 = c i s ( 45 ∘ + 90 ∘ ) = − 1 2 + 1 2 i x 2 = c i s ( 45 ∘ + 180 ∘ ) = − 1 2 − 1 2 i x 3 = c i s ( 45 ∘ + 270 ∘ ) = 1 2 − 1 2 i \begin{cases}
x_{1}=cis\ 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{ 2 }}+\frac{1}{\sqrt{ 2 }}i \\
x_{2}=cis(45^\circ+90^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{ 2 }}+\frac{1}{\sqrt{ 2 }}i \\
x_{2}=cis(45^\circ+180^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{ 2 }}-\frac{1}{\sqrt{ 2 }}i\\
x_{3}=cis(45^\circ+270^\circ) = \frac{1}{\sqrt{ 2 }}-\frac{1}{\sqrt{ 2 }}i
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x 1 = c i s 4 5 ∘ = 2 1 + 2 1 i x 2 = c i s ( 4 5 ∘ + 9 0 ∘ ) = − 2 1 + 2 1 i x 2 = c i s ( 4 5 ∘ + 18 0 ∘ ) = − 2 1 − 2 1 i x 3 = c i s ( 4 5 ∘ + 27 0 ∘ ) = 2 1 − 2 1 i f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − ( 1 2 + 1 2 i ) ) ( x − ( − 1 2 + 1 2 i ) ) ( x − ( − 1 2 − 1 2 i ) ) f(x)=(x-1)\left( x-\left( \frac{1}{\sqrt{ 2 }}+\frac{1}{\sqrt{ 2 }}i \right) \right)\left( x-\left( -\frac{1}{\sqrt{ 2 }}+\frac{1}{\sqrt{ 2 }}i \right) \right)\left( x-\left( -\frac{1}{\sqrt{ 2 }}-\frac{1}{\sqrt{ 2 }}i \right) \right) f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − ( 2 1 + 2 1 i ) ) ( x − ( − 2 1 + 2 1 i ) ) ( x − ( − 2 1 − 2 1 i ) ) ( x − ( 1 2 − 1 2 i ) ) = ( x − 1 ) ( x 2 − 2 ⋅ 1 2 x + 1 ) ( x 2 − 2 ⋅ − 1 2 x + 1 )
\left( x-\left( \frac{1}{\sqrt{ 2 }}-\frac{1}{\sqrt{ 2 }}i \right) \right)=(x-1)\left( x^2-2\cdot \frac{1}{\sqrt{ 2 }}x+1 \right)\left( x^2-2\cdot -\frac{1}{\sqrt{ 2 }}x+1 \right) ( x − ( 2 1 − 2 1 i ) ) = ( x − 1 ) ( x 2 − 2 ⋅ 2 1 x + 1 ) ( x 2 − 2 ⋅ − 2 1 x + 1 ) = ( x − 1 ) ( x 2 − 2 x + 1 ) ( x 2 + 2 x + 1 ) =(x-1)(x^2-\sqrt{ 2 }x+1)(x^2+\sqrt{ 2 }x+1) = ( x − 1 ) ( x 2 − 2 x + 1 ) ( x 2 + 2 x + 1 ) ולכן, הפירוק של f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = ( x − 1 ) ( x 2 − 2 x + 1 ) ( x 2 + 2 x + 1 ) f(x)=(x-1)(x^2-\sqrt{ 2 }x+1)(x^2+\sqrt{ 2 }x+1) f ( x ) = ( x − 1 ) ( x 2 − 2 x + 1 ) ( x 2 + 2 x + 1 )
א. פתרו את המשוואה ( 1 − i ) z 5 − i = 0 (1-i)z^5-i=0 ( 1 − i ) z 5 − i = 0
z 5 = i 1 − i = i − 1 2 = − 1 2 + 1 2 i z^5=\frac{i}{1-i}=\frac{i-1}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i z 5 = 1 − i i = 2 i − 1 = − 2 1 + 2 1 i { R = 1 4 + 1 4 = 2 4 = 2 2 = 1 2 tan θ ^ = 1 2 − 1 2 = − 1 ⟹ θ ^ = − 45 ∘ + 180 ∘ = 135 ∘ \begin{cases}
R=\sqrt{ \frac{1}{4}+\frac{1}{4} }=\sqrt{ \frac{2}{4} }=\frac{\sqrt{ 2 }}{2}=\frac{1}{\sqrt{ 2 }} \\
\tan \hat{\theta}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=-1 \implies \hat{\theta}=-45^\circ+180^\circ=135^\circ
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ R = 4 1 + 4 1 = 4 2 = 2 2 = 2 1 tan θ ^ = − 2 1 2 1 = − 1 ⟹ θ ^ = − 4 5 ∘ + 18 0 ∘ = 13 5 ∘ z 5 = 1 2 c i s 135 ∘ z^5=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}cis\ 135^\circ z 5 = 2 1 c i s 13 5 ∘ R 5 c i s ( 5 θ ) = 1 2 c i s 135 ∘ R^5cis(5\theta)=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}cis\ 135^\circ R 5 c i s ( 5 θ ) = 2 1 c i s 13 5 ∘ { R 5 = 1 2 = 2 − 1 2 ⟹ R = 2 − 1 10 5 θ = 135 ∘ + 360 ∘ k ⟹ θ = 135 ∘ + 360 ∘ k 5 \begin{cases}
R^5=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}=2^{-\frac{1}{2}}\implies R=2^{-\frac{1}{10}} \\
5\theta=135^\circ+360^\circ k \implies \theta= \frac{135^\circ+360^\circ k}{5}
\end{cases} { R 5 = 2 1 = 2 − 2 1 ⟹ R = 2 − 10 1 5 θ = 13 5 ∘ + 36 0 ∘ k ⟹ θ = 5 13 5 ∘ + 36 0 ∘ k תשובה סופית לסעיף (א):
z k = 2 − 1 10 c i s ( 135 ∘ + 360 ∘ k 5 ) z_{k}=2^{-\frac{1}{10}}cis\left( \frac{135^\circ+360^\circ k}{5} \right) z k = 2 − 10 1 c i s ( 5 13 5 ∘ + 36 0 ∘ k ) נשים לב כי המשוואה שקיבלנו היא פולינום: f ( x ) = ( 1 − i ) z 5 − i f(x)=(1-i)z^5-i f ( x ) = ( 1 − i ) z 5 − i − a n − 1 a n -\frac{a_{n-1}}{a_{n}} − a n a n − 1 ( − 1 ) n a 0 a n (-1)^n \frac{a_{0}}{a_{n}} ( − 1 ) n a n a 0 0 0 0 a 4 = 0 a_{4}=0 a 4 = 0
( − 1 ) 5 − i 1 − i = i − 1 2 = − 1 2 + 1 2 i (-1)^5 -\frac{i}{1-i}=\frac{i-1}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i ( − 1 ) 5 − 1 − i i = 2 i − 1 = − 2 1 + 2 1 i
סכום השורשים ה-n n n z 0 z_{0} z 0 מיוחד מהצורה: f ( x ) = x n − z 0 f(x)=x^n-z_{0} f ( x ) = x n − z 0 0 0 0 ( − 1 ) n − z 0 1 (-1)^n -\frac{z_{0}}{1} ( − 1 ) n − 1 z 0 ( − 1 ) n + 1 z 0 (-1)^{n+1}z_{0} ( − 1 ) n + 1 z 0
מצאו בתוך קבוצת שורשי היחידה מסדר 15 לפחות 7 תת קבוצות אמיתיות שסכומן אפס.
x = 1 15 ⟹ x k = 1 c i s 0 + 360 ∘ k 15 = c i s 360 ∘ k 15 k = 1 , 2 , … , 14 , 15 x=\sqrt[15]{ 1 } \implies x_{k}=1cis \frac{0+360^\circ k}{15}=cis \frac{360^\circ k}{15}_{\quad k=1,2,\dots,14,15} x = 15 1 ⟹ x k = 1 c i s 15 0 + 36 0 ∘ k = c i s 15 36 0 ∘ k k = 1 , 2 , … , 14 , 15 { c i s ( 24 ) , c i s ( 24 ⋅ 2 ) , c i s ( 24 ⋅ 3 ) , c i s ( 24 ⋅ 4 ) , … , c i s ( 24 ⋅ 15 ) } \{ cis(24),cis(24\cdot 2),cis(24\cdot 3),cis(24\cdot 4),\dots,cis(24\cdot 15) \} { c i s ( 24 ) , c i s ( 24 ⋅ 2 ) , c i s ( 24 ⋅ 3 ) , c i s ( 24 ⋅ 4 ) , … , c i s ( 24 ⋅ 15 )} סכום 15 השורשים הללו הינו 0 0 0 מסקנה ממקודם.{ x 5 , x 10 , x 15 } \{ x_{5},x_{10},x_{15} \} { x 5 , x 10 , x 15 } 3 3 3 { x 3 , x 6 , x 9 , x 12 , x 15 } \{ x_{3},x_{6},x_{9},x_{12},x_{15} \} { x 3 , x 6 , x 9 , x 12 , x 15 } { x 6 , x 11 , x 1 } \{ x_{6},x_{11},x_{1} \} { x 6 , x 11 , x 1 } { x 4 , x 7 , x 10 , x 13 , x 1 } \{ x_{4},x_{7},x_{10},x_{13},x_{1} \} { x 4 , x 7 , x 10 , x 13 , x 1 }
נראה פתרון אלגברי:
{ x 1 = c i s ( 24 ∘ ) , x 2 = x 1 2 , x 1 3 , x 1 4 , … , x 1 15 } \{ x_{1}=cis(24^\circ),x_{2}=x_{1}^2,x_{1}^3,x_{1}^4,\dots,x_{1}^{15} \} { x 1 = c i s ( 2 4 ∘ ) , x 2 = x 1 2 , x 1 3 , x 1 4 , … , x 1 15 } נשים לב כי: x i 15 = 1 x_{i}^{15}=1 x i 15 = 1 x 5 x_{5} x 5
{ x 5 3 = ( x 1 5 ) 3 = x 1 15 = 1 ( x 10 ) 3 = x 1 30 = ( x 1 15 ) 2 = 1 ( x 15 ) 3 = x 1 4 5 = ( x 1 1 5 ) 3 = 1 \begin{cases}
x_{5}^3=(x_{1}^5)^3=x_{1}^{15}=1 \\
(x_{10})^3=x_{1}^{30}=(x_{1}^{15})^2=1 \\
(x_{15})^3=x_{1}^45=(x_{1}^15)^3=1
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x 5 3 = ( x 1 5 ) 3 = x 1 15 = 1 ( x 10 ) 3 = x 1 30 = ( x 1 15 ) 2 = 1 ( x 15 ) 3 = x 1 4 5 = ( x 1 1 5 ) 3 = 1 ולכן שלושת אלו הינם שורשי היחידה מסדר 3: { x 5 , x 10 , x 15 } \{ x_{5},x_{10},x_{15} \} { x 5 , x 10 , x 15 }
x 6 = x 1 x 5 x_{6}=x_{1}x_{5} x 6 = x 1 x 5 x 11 = x 1 x 10 x_{11}=x_{1}x_{10} x 11 = x 1 x 10 x 1 = x 1 x 15 x_{1}=x_{1}x_{15} x 1 = x 1 x 15 ולכן כשחבר אותם נקבל: x 1 ( x 5 + x 10 + x 15 ) x_{1}(x_{5}+x_{10}+x_{15}) x 1 ( x 5 + x 10 + x 15 )
הערה (משהו לחשוב עליו בבית)
מה היה קורה אם השאלה הייתה:
x = 2 15 x=\sqrt[15]{ 2 } x = 15 2