24 - עוד לכסון ודמיון מטריצות — אלגברה אמ

תרגיל

תהי $A \in \mathbb{R}^{3\times3}$ כך ש:

A=\begin{pmatrix} m & 0 & 0 \\ k & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

מצאו את כל הערכים $k,m \in \mathbb{R}$ כך ש- $A$ לכסינה.

המטריצה $A$ משולשת תחתונה, לכן, הע"ע שלה הם איברי האלכסון הראשי והם:

\lambda_{1,2,3}=0,1,m

אם $m\neq0$ וגם $m\neq 1$ אז ל- $A$ יש שלושה ע"ע שונים ולכן לפי המשפט, $A$ לכסינה.
נתבונן ביתר המקרים:
א. $m=0$ : ואז $\lambda_{1,2,3}=\left\{ 0,0,1 \right\}$ ולכן:

\begin{array}{c|c} \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \lambda \\ \hline ? & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ k & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

נדרש לענות על השאלה לאיזו ערכים של $k$ יהיה לנו ר"ג של 2 ל- $\lambda=0$ . הר"ג של $\lambda=0$ הוא:

n-r(A-0\cdot I)=3-r(A)

ומכיוון שנדרש שזה יהיה 2, נדרש ש- $r(A)=1$ ולכן, אם $k=0$ המטריצה $A$ לכסינה.
עבור $k\neq 0$ נראה כי $r(A)=2$ ולכן הר"ג של $\lambda=0$ הוא 1 ולכן $A$ לא לכסינה.
ב. $m=1$ : ואז $\lambda_{1,2,3}=\left\{ 1,0,1 \right\}$ ולכן:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

\begin{array}{c|c} \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \lambda \\ \hline ? & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}

נדרש לענות על השאלה לאילו ערכים של $k$ יהיה לנו ר"ג של $2$ ל- $\lambda=1$ .
נתבונן במטריצה $A-I$ :

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ k & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

נדרש כי הדרגה של המטריצה הזו יהיה 1, לכן, נדרש כי השורה השלישית תהיה צ"ל של השורה השנייה. לכן, עבור $k=-\frac{1}{2}$ נקבל כי $r(A-I)=1$ ואז המטריצה $A$ תהא לכסינה.
אחרת, $r(A-I)=2$ והמטריצה $A$ תהא לא לכסינה.

סיכום:
המקרים עבורם המטריצה לכסינה הינם:
א. $m\neq 0$ וגם $m\neq 1$ .
ב. $m=k=0$ .
ג. $m=1$ וגם $k=-\frac{1}{2}$ .

תרגיל

יהי $V=\mathbb{R}^{2\times2}$ . יהי $T:V\to V$ אופרטור ליניארי כך ש:

[T]_{B}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

כאשר $B$ בסיס של $V$ : $B=\left\{ \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \right\}$ .
א. מצאו את כל הע"ע וו"ע של $T$ .

פתרון א':
הע"ע של $T$ הם הע"ע של $[T]_{B}$ (עבור כל בסיס $B$ )
מכיוון שסכום כל שורה הוא $4$ אנו יודעים ש-4 הוא ע"ע. בנוסף, מכיוון שהיא לא הפיכה, $0$ הוא ו"ע.

\begin{array}{|c|c|} \hline \R{\text{וקטורי קורדינאטות של ו"ע לפי B}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} & 1 & 1 & 4 \\ \hline \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{matrix} & 3 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}

מצאנו את כל הקורדינאטות של ו"ע לפי $B$ .
הו"ע עבור $\lambda=4$ :

\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

עבור $\lambda=0$ :

\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

תרגיל

תהי $A \in \mathbb{R}^{3\times3}$ כך ש:

A=\begin{pmatrix} m & 0 & 0 \\ k & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

מצאו את כל הערכים $k,m \in \mathbb{R}$ כך ש- $A$ לכסינה.

המטריצה $A$ משולשת תחתונה, לכן, הע"ע שלה הם איברי האלכסון הראשי והם:

\lambda_{1,2,3}=0,1,m

\begin{array}{c|c} \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \lambda \\ \hline ? & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ k & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

נדרש לענות על השאלה לאיזו ערכים של $k$ יהיה לנו ר"ג של 2 ל- $\lambda=0$ . הר"ג של $\lambda=0$ הוא:

n-r(A-0\cdot I)=3-r(A)

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

\begin{array}{c|c} \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \lambda \\ \hline ? & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}

נדרש לענות על השאלה לאילו ערכים של $k$ יהיה לנו ר"ג של $2$ ל- $\lambda=1$ .
נתבונן במטריצה $A-I$ :

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ k & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

סיכום:
המקרים עבורם המטריצה לכסינה הינם:
א. $m\neq 0$ וגם $m\neq 1$ .
ב. $m=k=0$ .
ג. $m=1$ וגם $k=-\frac{1}{2}$ .

תרגיל

יהי $V=\mathbb{R}^{2\times2}$ . יהי $T:V\to V$ אופרטור ליניארי כך ש:

[T]_{B}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

\begin{array}{|c|c|} \hline \R{\text{וקטורי קורדינאטות של ו"ע לפי B}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} & 1 & 1 & 4 \\ \hline \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{matrix} & 3 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}

מצאנו את כל הקורדינאטות של ו"ע לפי $B$ .
הו"ע עבור $\lambda=4$ :

\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

עבור $\lambda=0$ :

\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}