23 - עוד ערך עצמי ווקטור עצמי — אלגברה אמ

תרגיל

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}

א. מצאו ע"ע וו"ע של $A$ .
ב. מצאו $P$ הפיכה ו- $D$ אלכסונית כך ש- $P^{-1}AP=D$ .
ג. מצאו בסיס $B$ כך ש- $[T]_{B}$ אלכסונית כאשר $[T]_{E}=A$ .

פתרון א':
לפי משפט, אם סכום השורות קבוע $k$ אז $k$ הוא ע"ע עם ו"ע מתאים $(1,1,1,1)$ כאשר יכולים להיות עוד ו"ע.

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & ? & ? & 6 \end{array}

מכיוון ששורה 1 = שורה 3, (הן בעצם ת"ל) אז המטריצה אינה הפיכה ולכן 0 הוא ע"ע.

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & ? & ? & 6 \\ \hline ? & ? & ? & 0 \end{array}

עמ' 4 תהיה אפסים ?????

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & ? & ? & 6 \\ \hline ? & ? & ? & 0 \\ \hline ? & ? & ? & 5 \end{array}

לפי משפט, סכום הע"ע הוא העקבה.

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & ? & ? & 6 \\ \hline ? & ? & ? & 0 \\ \hline ? & ? & ? & 5 \\ \hline ? & ? & ? & 3 \end{array}

גילינו 4 ע"ע. מכיוון ש- $n=4$ אז יש מקסימום $4$ ע"ע. לכן, כל אחד מהם יהא עם ר"א 1.

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & ? & 1 & 6 \\ \hline ? & ? & 1 & 0 \\ \hline ? & ? & 1 & 5 \\ \hline ? & ? & 1 & 3 \end{array}

על פי משפט, $1\leq \R{\text{ר"ג}}\leq\R{\text{ר"א}}$ ולכן:

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & 1 & 1 & 6 \\ \hline b_{2} & 1 & 1 & 0 \\ \hline b_{3} & 1 & 1 & 5 \\ \hline b_{4} & 1 & 1 & 3 \end{array}

פתרון ב':

D=\begin{pmatrix} 6 \\ & 0 \\ & & 5 \\ & & & 3 \end{pmatrix}

P=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 & \vert & \vert & \vert \\ 1 & b_{2} & b_{3} & b_{4} \\ 1 & \vert & \vert & \vert \end{pmatrix}

פתרון ג':

B=\left\{ \begin{pmatrix} 1,1,1,1 \end{pmatrix},b_{2},b_{3},b_{4} \right\}

T(b_{1})=6b_{1}

T(b_{2})=0b_{2}

T(b_{3})=5b_{3}

T(b_{4})=b_{4}

[T]_{B}=\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}=D

הערה

סעיף ג' וסעיף ב' הם בתכלס אותו סעיף. במבחן(לרוב) ינתן רק אחד מהסעיפים האלו.
מנסיונה של גלית(שהיא המתרגלת האחראית בקורס זה) כששמים את סעיף ב' במבחן הסטודנטים יודעים מה לעשות אבל כששמים את סעיף ג' במבחן סטודנטים מאבדים את הרגלים והידיים.

הערה (זה לא משפט אבל זה פרקטי)

ריבוי גיאומטרי הוא ע"פ הגדרה, מספר ו"ע בת"ל. אנחנו יודעים כי זה מימד מרחב הפתרונות של $(A-\alpha I)\underline{x}=0$ כ
אבל בתכלס, זהו מספר שורות האפסים ב- $A-\alpha I$ המדורגת.

תרגיל

[T]_{B}=A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}

B=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 0 \end{pmatrix} \right\}

א. מצאו ע"ע וו"ע.
ב. מצאו $P$ הפיכה ו- $D$ אלכסונית כך ש- $P^{-1}AP=D$ .
ג. תהי $F=A^3-4A+5I$ . מצאו ע"ע וו"ע של $F$ .

פתרון א':

\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

המטריצה אינה הפיכה(לפי משפט) ולכן, לפי משפט 0 הוא ע"ע

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline ? & ? & ? & 0 \end{array}

מכיוון שיש לנו 3 שורות אפסים, אזי הר"ג שווה 3(ראו הערה קודמת.)

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline ? & 3 & ? & 0 \end{array}

סכום השורות קבוע במטריצה והוא שווה ל- $8$ ולכן הוא גם ע"ע.

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline ? & 3 & ? & 0 \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & ? & ? & 8 \end{array}

מכיוון שסכום הר"א הוא 4, ונדרש ש-ר"א $\leq$ ר"ג, נקבל שהר"א של 0 הוא או 3 או 4. מכיוון שאנחנו נדרש להשאיר לפחות ר"א 1 ל-8, הר"א של 0 הוא 3 ולכן, של 8 הוא 1. לכן, ע"פ המשפט, הר"ג של 8 הוא 1.

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline ? & 3 & 3 & 0 \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & 1 & 1 & 8 \end{array}

נפתור את מערכת המשוואות:

\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

ולכן נקבל:

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{matrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix} & 3 & 3 & 0 \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & 1 & 1 & 8 \end{array}

נשים לב אבל כי זה בעצם הוקטורים הם קורדינטות ע"פ $B$ ולא וקטורים אמיתיים. נתרגם אותם אם כן לוקטורים אמיתיים:

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{matrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \\ & \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \end{matrix} & 3 & 3 & 0 \\ \hline \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} & 1 & 1 & 8 \end{array}

קיבלנו כעת את הבסיס האמיתי למ"ו וכאן נקבל את מלוא הנקודות.

הערה (לגבי מעבר בין בסיסים)

נשתמש במשפט $[T]_{B}[v]_{B}=[T(v)]_{B}$ נציב את $v=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ (או כל מטריצה כללית אחרת), נמצא את הפתרון ואז נמצא את הקורדינטות שלו בבסיס שאנו רוצים להגיע אליו.

פתרון ב':
את $D$ קל למצוא שכן היא פשוט הע"ע באלכסון:

D=\begin{pmatrix} 8 \\ & 0 \\ & & 0 \\ & & & 0 \end{pmatrix}

כעת, כדי למצוא את $P$ נדרש להבין משהו. מכיוון ש- $A=[T]_{B}$ אז כל התשובות שנדרש לתת פה הן לפי בסיס $B$ שכן רק אז הכפל יעבוד.

P=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

הערה

תמיד נכון כי $D$ היא המטריצה המייצגת לפי בסיס של וקטורים עצמיים $C$ .

P^{-1}[T]_{B}P=D=[T]_{C}

לכן, $P$ היא בעצם $P_{B\to C}$ וזו בדיוק הסיבה למה כותבים $\begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}$ ולא $\begin{pmatrix}4&3&2&1\end{pmatrix}$ .

פתרון ג':
נקח פולינום: $p(x)=x^3-4x+5$ . נקבל אם כן כי $F=p(A)=A^3-4A+5I$ .
על פי משפט, $C=f(A)$ אזי $\lambda_{C}=f(\lambda_{A})$ לאותם ו"ע ולכן:

p(0)=0^3-4\cdot 0+5=5

לכן, 5 יהיה ע"ע של $F$ מריבוי אלגברי 3 וריבוי גיאומטרי 3 עם ו"ע $\begin{matrix}\begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & -1\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix}0 & 0 \\-1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & -1 \\-1 & -1\end{pmatrix}\end{matrix}$ .

p(8)=8^3-4\cdot 8+5=485

לכן, $485$ יהיה ע"ע של $F$ מריבוי אלגברי 1 וריבוי גיאומטרי 1 עם ו"ע $\begin{pmatrix}4 & 3 \\2 & 1\end{pmatrix}$ .

הסבר ללמה המשפט על הפולינום נכון

נניח $v$ ו"ע של הע"ע $\lambda$ כך $Av=\lambda v$ .

Fv=(A^3-4A+5I)v=A^3v-4Av+5Iv

על פי משפט, $A^3v=\lambda^3v$ ולכן:

=\lambda^3v-4\lambda v+5v=(\lambda^3-4\lambda+5)v

ואז קיבנו כי $p(\lambda)=\lambda^3-4\lambda+5$ הוא ע"ע של $F$ .

משפט

A^{-1}v=\frac{1}{\lambda}v \impliedby Av=\lambda v

משפט

$A$ בעלת ע"ע יחיד לכסינה $A=\alpha I \iff$

זה משפט קל, פשוט ומאוד שימושי לדוגמות נגדיות.
הוכחה:
⇒: המטריצה $\alpha I$ היא אלכסונית ולכן היא דומה לעצמה ולכן לכסינה.
⇐:

\exists P:\; P^{-1}AP=D=\begin{pmatrix} \alpha \\ & \ddots \\ & & \alpha \end{pmatrix}

A=P(\alpha I)P^{-1}=\alpha I

∎

תרגיל

מצאו מטריצות המקיימות את הדרישות הבאות:

\begin{array}{|c|c|} \hline \R{\text{לכסינה}} & \R{\text{הפיכה}} \\ \hline ןכ & ןכ & A_{1} \\ \hline אל & ןכ & A_{2} \\ \hline אל & אל & A_{3} \\ \hline ןכ & אל & A_{4} \\ \hline \end{array}

נתחיל מ- $A_{1}$ :
ברגע שיש למטריצה $n$ ע"ע שונים, אז היא בהרכח לכסינה. בנוסף, השורות צריכות להיות בת"ל על מנת שהיא תהיה הפיכה. לדוגמה, המטריצות הבאות:

\begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

כעת, $A_{2}$ :
נדרש שהיא תהיה הפיכה, ולכן לא יכול להיות לה ע"ע 0, אך שהיא תהיה לא לכסינה. כלומר, שיהיה לה מספר ע"ע קטן מ- $n$ לדוגמה:

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

במטריצה הימנית נוכל לחלק את האלכסון לשני בלוקים: $\begin{matrix}2&1\\0&2\end{matrix}$ ו- $5$ . כעת, נראה כי הבלוק השני לכסין והכל סבבה ואיזה יופי, אבל הבלוק הראשון בעייתי ואינו לכסין בגלל ה-1 הזה.

הערה

זוהי לא הוכחה. מה שנעשה בתרגיל זה נמצא את המטריצה עם הטריק הזה ואז נרשום אותה בטופס ונוכיח שהיא לא לכסינה.
זה טוב לדוגמות נגדיות.

כעת, $A_{3}$ :
המטריצה $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ היא מטריצה לכסינה ולכן נדרש לבחור מטריצה אחרת כגון:

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

כעת, $A_{4}$ :
נשתמש באותו הטריק ממקודם עם הבלוקים:

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

משפט

הע"ע של מטריצה משולשת הם איברי האלכסון.

תרגיל (נכון/לא נכון)

$A,B$ לכסינות $\impliedby$ $A+B$ לכסינה

הטענה אינה נכונה.

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

המטריצה $\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ אינה לכסינה.

תרגיל (נכון/לא נכון)

$A,B$ לכסינות $\impliedby$ $A\cdot B$ לכסינה

הטענה לא נכונה.
(מצאו דוגמה נגדית בבית)

תרגיל

A=\begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & -1 \end{pmatrix}

מצאו $B$ כך ש- $B^2=A$ .

הע"ע של המטריצה הזו הם: $0,4,1$ .

\exists P:\; P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 \\ & 4 \\ & & 0 \end{pmatrix}

נגדיר $B=P\begin{pmatrix}1\\&2\\&&0\end{pmatrix}P^{-1}$ . בעצם הוצאנו שורש רק מהמטריצה האלכסונית.
מתקיים $B^2=P\begin{pmatrix}1\\&2\\&&0\end{pmatrix}P^{-1}\cdot P\begin{pmatrix}1\\&2\\&&0\end{pmatrix}P^{-1}$ האמצעיים הופכים ל- $I$ ולכן $B^2=P\begin{pmatrix}1\\&4\\&&0\end{pmatrix}P^{-1}=A$ .

משפט

כל פולינום ש- $A$ מאפסת אותו מקיים:

\left\{ A\R{\text{ע"ע של }} \right\} \subseteq \left\{ \R{\text{קבוצת השורשים}} \right\}

הוכחה של החברה: (רק ל- $A^3-A$ )
נניח $Av=\lambda v$ .

0=(A^3-A)v=A^3v-Av=\lambda^3v-\lambda v=(\lambda^3-\lambda)v

\lambda^3-\lambda=0

∎

תרגיל (נכון/לא נכון)

נתון $A^3=A$ ו- $A$ היא לכסינה.
אזי, $r(A)=tr(A)$ .

הטענה אינה נכונה.
הוכחה:

f(x)=x^3-x

מתקיים: $f(A)=A^3-A=0$ לפי הנתון.
לפי המשפט, שורשי $\left\{ \R{\text{ע"ע של A}} \right\}\subseteq \left\{ 0,1,-1 \right\}=\; f(x)$ . בנוסף, נתון כי $A$ לכסינה ולכן קיימת $P$ כך ש:

P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 \\ & 1 \\ & & \ddots \\ & & & 1 \\ & & & & -1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & -1 \\ & & & & & & & 0 \\ & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & 0 \end{pmatrix}=D

כאשר מספר ה- $1$ -ים הוא $k$ , מספר ה- $-1$ -ים הוא $\ell$ ומספר האפסים הוא $n-k-\ell$ .
המטריצות $A,D$ דומות ולכן יש להן אותה עקבה, אותה דרגה וכו'.

r(D)=k+\ell

זהו מספר השורות השונות מ- $0$ .

tr(D)=k-\ell

ולכן, $r(A)\neq tr(A)$ .
∎

תרגיל (נכון/לא נכון)

נתון $A^3=A$ ו- $A$ היא לכסינה.
אזי, $r(A)=tr(A^2)$ .

הטענה נכונה.
הוכחה:
כעת, נלך עם ההמשך של הסעיף הקודם:

A=PDP^{-1}\implies A^2=PD^2P^{-1}

לכן, $A^2,D^2$ דומות ולכן:

r(D^2)=k+\ell

tr(D^2)=k+\ell

ולכן, מכיוון ש- $r(A)=r(D)=k+\ell$ מתקיים:

r(A)=tr(A^2)

∎

תרגיל

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}

א. מצאו ע"ע וו"ע של $A$ .
ב. מצאו $P$ הפיכה ו- $D$ אלכסונית כך ש- $P^{-1}AP=D$ .
ג. מצאו בסיס $B$ כך ש- $[T]_{B}$ אלכסונית כאשר $[T]_{E}=A$ .

פתרון א':
לפי משפט, אם סכום השורות קבוע $k$ אז $k$ הוא ע"ע עם ו"ע מתאים $(1,1,1,1)$ כאשר יכולים להיות עוד ו"ע.

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & ? & ? & 6 \end{array}

מכיוון ששורה 1 = שורה 3, (הן בעצם ת"ל) אז המטריצה אינה הפיכה ולכן 0 הוא ע"ע.

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & ? & ? & 6 \\ \hline ? & ? & ? & 0 \end{array}

עמ' 4 תהיה אפסים ?????

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & ? & ? & 6 \\ \hline ? & ? & ? & 0 \\ \hline ? & ? & ? & 5 \end{array}

לפי משפט, סכום הע"ע הוא העקבה.

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & ? & ? & 6 \\ \hline ? & ? & ? & 0 \\ \hline ? & ? & ? & 5 \\ \hline ? & ? & ? & 3 \end{array}

גילינו 4 ע"ע. מכיוון ש- $n=4$ אז יש מקסימום $4$ ע"ע. לכן, כל אחד מהם יהא עם ר"א 1.

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & ? & 1 & 6 \\ \hline ? & ? & 1 & 0 \\ \hline ? & ? & 1 & 5 \\ \hline ? & ? & 1 & 3 \end{array}

על פי משפט, $1\leq \R{\text{ר"ג}}\leq\R{\text{ר"א}}$ ולכן:

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & 1 & 1 & 6 \\ \hline b_{2} & 1 & 1 & 0 \\ \hline b_{3} & 1 & 1 & 5 \\ \hline b_{4} & 1 & 1 & 3 \end{array}

פתרון ב':

D=\begin{pmatrix} 6 \\ & 0 \\ & & 5 \\ & & & 3 \end{pmatrix}

P=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 & \vert & \vert & \vert \\ 1 & b_{2} & b_{3} & b_{4} \\ 1 & \vert & \vert & \vert \end{pmatrix}

פתרון ג':

B=\left\{ \begin{pmatrix} 1,1,1,1 \end{pmatrix},b_{2},b_{3},b_{4} \right\}

T(b_{1})=6b_{1}

T(b_{2})=0b_{2}

T(b_{3})=5b_{3}

T(b_{4})=b_{4}

[T]_{B}=\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}=D

הערה

הערה (זה לא משפט אבל זה פרקטי)

תרגיל

[T]_{B}=A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}

B=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 0 \end{pmatrix} \right\}

א. מצאו ע"ע וו"ע.
ב. מצאו $P$ הפיכה ו- $D$ אלכסונית כך ש- $P^{-1}AP=D$ .
ג. תהי $F=A^3-4A+5I$ . מצאו ע"ע וו"ע של $F$ .

פתרון א':

\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

המטריצה אינה הפיכה(לפי משפט) ולכן, לפי משפט 0 הוא ע"ע

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline ? & ? & ? & 0 \end{array}

מכיוון שיש לנו 3 שורות אפסים, אזי הר"ג שווה 3(ראו הערה קודמת.)

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline ? & 3 & ? & 0 \end{array}

סכום השורות קבוע במטריצה והוא שווה ל- $8$ ולכן הוא גם ע"ע.

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline ? & 3 & ? & 0 \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & ? & ? & 8 \end{array}

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline ? & 3 & 3 & 0 \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & 1 & 1 & 8 \end{array}

נפתור את מערכת המשוואות:

\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

ולכן נקבל:

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{matrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix} & 3 & 3 & 0 \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & 1 & 1 & 8 \end{array}

נשים לב אבל כי זה בעצם הוקטורים הם קורדינטות ע"פ $B$ ולא וקטורים אמיתיים. נתרגם אותם אם כן לוקטורים אמיתיים:

\begin{array}{c|c} \R{\text{מ"ע}} & \R{\text{ר"ג}} & \R{\text{ר"א}} & \R{\text{ע"ע}} \\ \hline \begin{matrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \\ & \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \end{matrix} & 3 & 3 & 0 \\ \hline \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} & 1 & 1 & 8 \end{array}

קיבלנו כעת את הבסיס האמיתי למ"ו וכאן נקבל את מלוא הנקודות.

הערה (לגבי מעבר בין בסיסים)

פתרון ב':
את $D$ קל למצוא שכן היא פשוט הע"ע באלכסון:

D=\begin{pmatrix} 8 \\ & 0 \\ & & 0 \\ & & & 0 \end{pmatrix}

P=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

הערה

תמיד נכון כי $D$ היא המטריצה המייצגת לפי בסיס של וקטורים עצמיים $C$ .

P^{-1}[T]_{B}P=D=[T]_{C}

לכן, $P$ היא בעצם $P_{B\to C}$ וזו בדיוק הסיבה למה כותבים $\begin{pmatrix}1&1&1&1\end{pmatrix}$ ולא $\begin{pmatrix}4&3&2&1\end{pmatrix}$ .

פתרון ג':
נקח פולינום: $p(x)=x^3-4x+5$ . נקבל אם כן כי $F=p(A)=A^3-4A+5I$ .
על פי משפט, $C=f(A)$ אזי $\lambda_{C}=f(\lambda_{A})$ לאותם ו"ע ולכן:

p(0)=0^3-4\cdot 0+5=5

p(8)=8^3-4\cdot 8+5=485

לכן, $485$ יהיה ע"ע של $F$ מריבוי אלגברי 1 וריבוי גיאומטרי 1 עם ו"ע $\begin{pmatrix}4 & 3 \\2 & 1\end{pmatrix}$ .

הסבר ללמה המשפט על הפולינום נכון

נניח $v$ ו"ע של הע"ע $\lambda$ כך $Av=\lambda v$ .

Fv=(A^3-4A+5I)v=A^3v-4Av+5Iv

על פי משפט, $A^3v=\lambda^3v$ ולכן:

=\lambda^3v-4\lambda v+5v=(\lambda^3-4\lambda+5)v

ואז קיבנו כי $p(\lambda)=\lambda^3-4\lambda+5$ הוא ע"ע של $F$ .

משפט

A^{-1}v=\frac{1}{\lambda}v \impliedby Av=\lambda v

משפט

$A$ בעלת ע"ע יחיד לכסינה $A=\alpha I \iff$

\exists P:\; P^{-1}AP=D=\begin{pmatrix} \alpha \\ & \ddots \\ & & \alpha \end{pmatrix}

A=P(\alpha I)P^{-1}=\alpha I

∎

תרגיל

מצאו מטריצות המקיימות את הדרישות הבאות:

\begin{array}{|c|c|} \hline \R{\text{לכסינה}} & \R{\text{הפיכה}} \\ \hline ןכ & ןכ & A_{1} \\ \hline אל & ןכ & A_{2} \\ \hline אל & אל & A_{3} \\ \hline ןכ & אל & A_{4} \\ \hline \end{array}

\begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

הערה

כעת, $A_{3}$ :
המטריצה $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ היא מטריצה לכסינה ולכן נדרש לבחור מטריצה אחרת כגון:

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

כעת, $A_{4}$ :
נשתמש באותו הטריק ממקודם עם הבלוקים:

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

משפט

הע"ע של מטריצה משולשת הם איברי האלכסון.

תרגיל (נכון/לא נכון)

$A,B$ לכסינות $\impliedby$ $A+B$ לכסינה

הטענה אינה נכונה.

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

המטריצה $\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ אינה לכסינה.

תרגיל (נכון/לא נכון)

$A,B$ לכסינות $\impliedby$ $A\cdot B$ לכסינה

הטענה לא נכונה.
(מצאו דוגמה נגדית בבית)

תרגיל

A=\begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & -1 \end{pmatrix}

מצאו $B$ כך ש- $B^2=A$ .

הע"ע של המטריצה הזו הם: $0,4,1$ .

\exists P:\; P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 \\ & 4 \\ & & 0 \end{pmatrix}

משפט

כל פולינום ש- $A$ מאפסת אותו מקיים:

\left\{ A\R{\text{ע"ע של }} \right\} \subseteq \left\{ \R{\text{קבוצת השורשים}} \right\}

הוכחה של החברה: (רק ל- $A^3-A$ )
נניח $Av=\lambda v$ .

0=(A^3-A)v=A^3v-Av=\lambda^3v-\lambda v=(\lambda^3-\lambda)v

\lambda^3-\lambda=0

∎

תרגיל (נכון/לא נכון)

נתון $A^3=A$ ו- $A$ היא לכסינה.
אזי, $r(A)=tr(A)$ .

הטענה אינה נכונה.
הוכחה:

f(x)=x^3-x

P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 \\ & 1 \\ & & \ddots \\ & & & 1 \\ & & & & -1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & -1 \\ & & & & & & & 0 \\ & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & 0 \end{pmatrix}=D

r(D)=k+\ell

זהו מספר השורות השונות מ- $0$ .

tr(D)=k-\ell

ולכן, $r(A)\neq tr(A)$ .
∎

תרגיל (נכון/לא נכון)

נתון $A^3=A$ ו- $A$ היא לכסינה.
אזי, $r(A)=tr(A^2)$ .

הטענה נכונה.
הוכחה:
כעת, נלך עם ההמשך של הסעיף הקודם:

A=PDP^{-1}\implies A^2=PD^2P^{-1}

לכן, $A^2,D^2$ דומות ולכן:

r(D^2)=k+\ell

tr(D^2)=k+\ell

ולכן, מכיוון ש- $r(A)=r(D)=k+\ell$ מתקיים:

r(A)=tr(A^2)

∎