22 - עע ווע — אלגברה אמ | תיקיית הסיכומים

תרגיל

מצאו ע"ע, ??, וו"ע.
קבעו האם המטריצה לכסינה.

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\0 & 5 & 1 & 0\\1 & 2 & 3 & 0\\0 & 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}

מכיוון ש- $r(A)=3$ , $A$ איננה הפיכה ⇐ $\lambda=0$ הינו ע"ע.
הר"ג של $\lambda=0$ הוא מימד מרחב הפתרונות של $A\underline{x}=0$ כלומר: $n-r(A)=4-3=1$ .

הערה (טיפ)

אם סכום כל שורה במטריצה הינו $\alpha \in \mathbb{F}$ , אז $\alpha$ הוא ע"ע של $A$ עם ו"ע $\begin{pmatrix}1\\1\\ \vdots\\1\end{pmatrix}$ .
אם סכום של כל עמודה הוא $\alpha$ אז $\alpha$ הוא ע"ע אך לא ניתן להגיד דבר על הו"ע המתאים לו.
(כי ע"ע של $A$ ו- $A^t$ זהים)
מתקיים $\sum_{i=1}^n \lambda_{i}=\mathrm{Tr}(A)$ . (נזכור כי $\mathrm{Tr}=trace$ )
מתקיים $\prod_{i=1}^b \lambda_{i}=\det(A)$ .

\begin{array}{|c|c|} \R{\text{ו"ע}} & \R{\text{ע"ע}} & \R{\text{ר"א}} & \lambda \\ \hline ? & 1 & 1 & 0 \\ \hline \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} & 1 & 1 & 6 \\ \hline \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} & 1 & 1 & 5 \\ \hline ? & 1 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}

משפט

אם ל- $\underset{n\times n}{A}$ יש $n$ ע"ע שונים אז $A$ לכסינה.

הסבר: במקרה הזה, לכל ע"ע יש ר"א=ר"ג=1.

תרגיל (המשך לקודם)

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0\\3 & 5 & 0 & -1\\-1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{4\times4}

זוהי מטריצה משולשת תחתונה בלוקים.

הערה

\begin{vmatrix}???\end{vmatrix}