20 - מטריצות מעבר, HOM ודטרמיננטים — אלגברה אמ

תרגיל (ממבחן שהיה לפני כמה שנים)

("אם נעצור ונהיה בשקט, עדיין נשמע את ההד של הבכי של הסטודנטים" - יוליה)
יהי $W \subseteq \mathbb{R}^2$ ת"מ של $\mathbb{R}^2$ ממימד $m$ .
נגדיר:

V=\left\{ T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 | T(w)=0, w \in W \right\}

זהו ת"מ של $\mathrm{Hom}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2)$ . אין צורך להוכיח זאת.

א. אם $m=0$ אז $\dim V=?$
ב. אם $m=1$ אז $\dim V=?$
ג. אם $m=3$ אז $\dim V=?$ .

משפט

\dim \mathrm{Hom}(V,U)=\dim V\cdot \dim U

פתרון א'+ג':

V=\left\{ T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2| W \subseteq \ker T \right\}

למעשה, לפי זה בלבד אנו יכולים לענות על שני סעיפים:

m=2 \implies \dim W=2\implies \ker T=\mathbb{R}^2 \implies T\equiv 0 \implies \dim V=0

אותו הדבר, רק הפוך כאשר $m=0$ :

W=\left\{ 0 \right\}\implies V=\mathrm{Hom}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2) \underset{\R{משפט}}{\implies} \dim =4

פתרון ב':
יש לנו כעת מימד אחד שכולו מוכל בגרעין. כאן יהיה לנו יותר קל לחשוב דרך המטריצות המייצגות:

\dim W=1 \implies \exists u \in \mathbb{R}^2, u\neq 0:\; T(u)=0 \implies W=sp\left\{ u \right\}

נשלים את $u$ לבסיס של $\mathbb{R}^2$ . כלומר, נסמן $B=\left\{ u,v \right\}$ כאשר $v \in \mathbb{R}^2$ ו- $v \not\in W,T(v)\neq 0$ .
יהי $T \in V$ כך ש:

T(u)=0

T(v)=au+bv

ולכן:

[T]_{B}=\begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & b \end{pmatrix}

עבור כל $a,b \in \mathbb{R}^2$ . לכן, מימד מרחב המטריצות הוא $2$ ⇐ $\dim V=2$ .

מטריצות מעבר

מדובר במטריצה שמעבירה אותנו מבסיס אחד לבסיס אחר של אותו המרחב.

הגדרה 1

יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$ . יהיו $B=\left\{ b_{1},\dots,b_{n} \right\}$ ו- $C=\left\{ c_{1},\dots,c_{n} \right\}$ בסיסים של $V$ .
לכל $1\leq i\leq n$ קיימים סקלרים $a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in}$ כך ש: $c_{i}=a_{i1}b_{1}+a_{i2}b_{2}+\dots+a_{in}b_{n}$ . כלומר:

[c_{i}]_{B}=\begin{pmatrix} a_{i1} \\ a_{i2} \\ \vdots \\ a_{in} \end{pmatrix}

ניצור מטריצה שבה כל עמודה היא קורדינטה:

P_{B\to C}=\begin{pmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ [c_{1}]_{B} & [c_{2}]_{B} & \dots & [c_{n}]_{B} \\ \vert & \vert & & \vert \end{pmatrix}

למטריצה זו קוראים מטריצת מעבר מ- $B$ ל- $C$

משפט

יהי $v \in V$ .

[v]_{C}=P_{B\to C}^{-1}[v]_{B}=P_{C\to B}[v]_{B}

דוגמה

נקח $V=\mathbb{R}^2$ .

B=\left\{ (1,0),(0,1) \right\} \qquad C=\left\{ (10,0),(0,10) \right\}

יהי $v=(3,4)$ .

[v]_{B}=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}

P_{B\to C}=\begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}

[v]_{C}=\begin{pmatrix} 0.3\\0.4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0.1 & 0\\0 & 0.1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}=P_{C\to B}\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}

תרגיל

נקח $V=\mathbb{R}_{2}[x]$ .

B=\left\{ 1+x+x^2,1+x,1 \right\}

C=\left\{ x+x^2,1+x^2,x^2 \right\}

שני אלו בסיסים ל- $V$ . נקח גם את הבסיס הסטנדארטי $E=\left\{ x^2,x,1 \right\}$ .

א. מצאו $P_{E\to B}$ .
ב. מצאו $P_{B\to C}$ .
ג. מצאו $P_{C\to B}$ .

פתרון א':
נשים לב שמטריצות מהבסיס הסטנדארטי לבסיס אחר קל לנו מאוד לעשות כי אנו פשוט צריכים לייצג כל וקטור בבסיס ע"י הבסיס הסטנדארטי.

P_{E\to B}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

פתרון ב':
כעת, נדרש לחשב, למרות שגם זה לא כל כך מסובך:

c_{1}=b_{1}-b_{3}, \quad c_{2}=b_{1}-b_{2}+b_{3}, \quad c_{3}=b_{1}-b_{2}

P_{B\to C}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

פתרון ג':
ניתן לבצע באותה הדרך כמו בסעיף ב', וניתן גם להפוך את המטריצה.

P_{C\to B}=P_{B\to C}^{-1}=\dots

תרגיל (בחינה)

תהי $A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&2&2\\0&-1&0\end{pmatrix}$ כאשר $A \in \mathbb{R}^{3\times 3}$ . יהי $B$ בסיס סטנדארטי של $\mathbb{R}^3$ .
מצאו בסיס $C$ של $\mathbb{R}^3$ כך שלכל $v \in \mathbb{R}^3$ מתקיים: $[v]_{B}=A[v]_{C}$ .

לפי המשפט, לכל $v \in \mathbb{R}^3$ :

[v]_{B}=P_{C\to B}^{-1}[v]_{C}=P_{B\to C}[v]_{C}

P_{B\to C}=\begin{pmatrix} \vert & & \vert \\ [c_{1}]_{B} & \dots & [c_{3}]_{B} \\ \vert & & \vert \end{pmatrix}

מכיוון ש- $B$ בסיס סטנדארטי, נקבל כי

P_{B\to C}=\begin{pmatrix} \vert & \vert & \vert \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ \vert & \vert & \vert \end{pmatrix}=A

ולכן:

C=\left\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} \right\}

כעת, על מנת להוכיח כי $C$ הוא בסיס, נחשב את $|A|$ כדי להראות שהעמודות של $A$ בת"ל:
נבחר את העמודה הראשונה ונבצע:

|A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}+(-1)^{2+1}\cdot 0+(-1)^{3+1}\cdot 0=2\cdot 0-(-1)\cdot 2=2 \neq 0

ולכן, ע"פ משפט, עמודות $A$ בת"ל.

משפט

$\underset{n\times n}{A}$ הפיכה $\iff$

מתקיים $r(A)=n$ .
שקולת שורה ל- $I$ .
$n$ עמודות בת"ל.
$n$ שורות בת"ל.
למערכת $A\underline{x}=0$ הפתרון הטריוויאלי בלבד.
לכל $b \in \mathbb{F}^n$ , למערכת $A\underline{x}=\underline{b}$ קיים פתרון יחיד.
מתקיים $|A|\neq 0$ .
ל- $A$ אין ע"ע $0$ .

דטרמיננטים

הגדרה 2

תהי $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ .

|A|=\det(A)

זוהי בעצם העתקה:

S:\mathbb{F}^{n\times n}\to \mathbb{F}

זוהי העתקה לא ליניארית.

\det(A+B) \neq \det A+\det B

חישבנו ממקודם דטרמיננטה, ראו לפני המשפט.

תרגיל

תהי $A \in \mathbb{R}^{3\times3}$ כך ש- $A=\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha&\beta&\gamma\\m&n&k\end{pmatrix}$ נתון כי $\det A=2$ .
חשבו:

\begin{vmatrix} k-4c & \gamma & 2k+\gamma\\m-4a & \alpha & 2m+\alpha\\n-4b & \beta & 2n+\beta \end{vmatrix}

ניתן לבצע את כל פעולות הדירוג, אבל על כל דבר צריך לשלם. חלק מהפעולות משנות את הדטרמיננטה ונדרש לשים לב לכך ולפעול בהתאם.
נוכל גם לעשות פעולות עמודה ולא רק שורה. אמנם לא נשמור על הפרישה של השורות אבל אנו לא מחפשים את זה כאן.

\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C_{3}=C_{3}-C_{2} \end{matrix}}{=}\begin{vmatrix} k-4c & \gamma & 2k \\ m-4a & \alpha & 2m \\ n-4b & \beta & 2n \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C_{3}=\frac{1}{2}C_{3} \end{matrix}}{=}2\cdot \begin{vmatrix} k-4c & \gamma & k \\ m-4a & \alpha & m \\ n-4b & \beta & n \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C_{1}=C_{1}-C_{3} \end{matrix}}{=}2\begin{vmatrix} -4c & \gamma & k \\ -4a & \alpha & m \\ -4b & \beta & n \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C_{1}=-\frac{1}{4}C_{1} \end{matrix}}{=}

(-4)\cdot 2\begin{vmatrix} c & \gamma & k \\ a & \alpha & m \\ b & \beta & n \end{vmatrix}\underset{T}{=}-8\begin{vmatrix} c & a & b \\ \gamma & \alpha & \beta \\ k & m & n \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C_{1}\leftrightarrow C_{2} \\ C_{2}\leftrightarrow C_{3} \end{matrix}}{=}(-8)(-1)^2\begin{vmatrix} a & b & c \\ \alpha & \beta & \gamma \\ m & n & k \end{vmatrix}=-8\cdot 2=-16

תרגיל (ממבחן שהיה לפני כמה שנים)

V=\left\{ T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 | T(w)=0, w \in W \right\}

זהו ת"מ של $\mathrm{Hom}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2)$ . אין צורך להוכיח זאת.

א. אם $m=0$ אז $\dim V=?$
ב. אם $m=1$ אז $\dim V=?$
ג. אם $m=3$ אז $\dim V=?$ .

משפט

\dim \mathrm{Hom}(V,U)=\dim V\cdot \dim U

פתרון א'+ג':

V=\left\{ T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2| W \subseteq \ker T \right\}

למעשה, לפי זה בלבד אנו יכולים לענות על שני סעיפים:

m=2 \implies \dim W=2\implies \ker T=\mathbb{R}^2 \implies T\equiv 0 \implies \dim V=0

אותו הדבר, רק הפוך כאשר $m=0$ :

W=\left\{ 0 \right\}\implies V=\mathrm{Hom}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2) \underset{\R{משפט}}{\implies} \dim =4

פתרון ב':
יש לנו כעת מימד אחד שכולו מוכל בגרעין. כאן יהיה לנו יותר קל לחשוב דרך המטריצות המייצגות:

\dim W=1 \implies \exists u \in \mathbb{R}^2, u\neq 0:\; T(u)=0 \implies W=sp\left\{ u \right\}

נשלים את $u$ לבסיס של $\mathbb{R}^2$ . כלומר, נסמן $B=\left\{ u,v \right\}$ כאשר $v \in \mathbb{R}^2$ ו- $v \not\in W,T(v)\neq 0$ .
יהי $T \in V$ כך ש:

T(u)=0

T(v)=au+bv

ולכן:

[T]_{B}=\begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & b \end{pmatrix}

עבור כל $a,b \in \mathbb{R}^2$ . לכן, מימד מרחב המטריצות הוא $2$ ⇐ $\dim V=2$ .

מטריצות מעבר

מדובר במטריצה שמעבירה אותנו מבסיס אחד לבסיס אחר של אותו המרחב.

הגדרה 1

[c_{i}]_{B}=\begin{pmatrix} a_{i1} \\ a_{i2} \\ \vdots \\ a_{in} \end{pmatrix}

ניצור מטריצה שבה כל עמודה היא קורדינטה:

P_{B\to C}=\begin{pmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ [c_{1}]_{B} & [c_{2}]_{B} & \dots & [c_{n}]_{B} \\ \vert & \vert & & \vert \end{pmatrix}

למטריצה זו קוראים מטריצת מעבר מ- $B$ ל- $C$

משפט

יהי $v \in V$ .

[v]_{C}=P_{B\to C}^{-1}[v]_{B}=P_{C\to B}[v]_{B}

דוגמה

נקח $V=\mathbb{R}^2$ .

B=\left\{ (1,0),(0,1) \right\} \qquad C=\left\{ (10,0),(0,10) \right\}

יהי $v=(3,4)$ .

[v]_{B}=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}

P_{B\to C}=\begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}

[v]_{C}=\begin{pmatrix} 0.3\\0.4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0.1 & 0\\0 & 0.1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}=P_{C\to B}\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}

תרגיל

נקח $V=\mathbb{R}_{2}[x]$ .

B=\left\{ 1+x+x^2,1+x,1 \right\}

C=\left\{ x+x^2,1+x^2,x^2 \right\}

שני אלו בסיסים ל- $V$ . נקח גם את הבסיס הסטנדארטי $E=\left\{ x^2,x,1 \right\}$ .

א. מצאו $P_{E\to B}$ .
ב. מצאו $P_{B\to C}$ .
ג. מצאו $P_{C\to B}$ .

P_{E\to B}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

פתרון ב':
כעת, נדרש לחשב, למרות שגם זה לא כל כך מסובך:

c_{1}=b_{1}-b_{3}, \quad c_{2}=b_{1}-b_{2}+b_{3}, \quad c_{3}=b_{1}-b_{2}

P_{B\to C}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

פתרון ג':
ניתן לבצע באותה הדרך כמו בסעיף ב', וניתן גם להפוך את המטריצה.

P_{C\to B}=P_{B\to C}^{-1}=\dots

תרגיל (בחינה)

לפי המשפט, לכל $v \in \mathbb{R}^3$ :

[v]_{B}=P_{C\to B}^{-1}[v]_{C}=P_{B\to C}[v]_{C}

P_{B\to C}=\begin{pmatrix} \vert & & \vert \\ [c_{1}]_{B} & \dots & [c_{3}]_{B} \\ \vert & & \vert \end{pmatrix}

מכיוון ש- $B$ בסיס סטנדארטי, נקבל כי

P_{B\to C}=\begin{pmatrix} \vert & \vert & \vert \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ \vert & \vert & \vert \end{pmatrix}=A

ולכן:

C=\left\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} \right\}

כעת, על מנת להוכיח כי $C$ הוא בסיס, נחשב את $|A|$ כדי להראות שהעמודות של $A$ בת"ל:
נבחר את העמודה הראשונה ונבצע:

|A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}+(-1)^{2+1}\cdot 0+(-1)^{3+1}\cdot 0=2\cdot 0-(-1)\cdot 2=2 \neq 0

ולכן, ע"פ משפט, עמודות $A$ בת"ל.

משפט

$\underset{n\times n}{A}$ הפיכה $\iff$

מתקיים $r(A)=n$ .
שקולת שורה ל- $I$ .
$n$ עמודות בת"ל.
$n$ שורות בת"ל.
למערכת $A\underline{x}=0$ הפתרון הטריוויאלי בלבד.
לכל $b \in \mathbb{F}^n$ , למערכת $A\underline{x}=\underline{b}$ קיים פתרון יחיד.
מתקיים $|A|\neq 0$ .
ל- $A$ אין ע"ע $0$ .

דטרמיננטים

הגדרה 2

תהי $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ .

|A|=\det(A)

זוהי בעצם העתקה:

S:\mathbb{F}^{n\times n}\to \mathbb{F}

זוהי העתקה לא ליניארית.

\det(A+B) \neq \det A+\det B

חישבנו ממקודם דטרמיננטה, ראו לפני המשפט.

תרגיל

תהי $A \in \mathbb{R}^{3\times3}$ כך ש- $A=\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha&\beta&\gamma\\m&n&k\end{pmatrix}$ נתון כי $\det A=2$ .
חשבו:

\begin{vmatrix} k-4c & \gamma & 2k+\gamma\\m-4a & \alpha & 2m+\alpha\\n-4b & \beta & 2n+\beta \end{vmatrix}

\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C_{3}=C_{3}-C_{2} \end{matrix}}{=}\begin{vmatrix} k-4c & \gamma & 2k \\ m-4a & \alpha & 2m \\ n-4b & \beta & 2n \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C_{3}=\frac{1}{2}C_{3} \end{matrix}}{=}2\cdot \begin{vmatrix} k-4c & \gamma & k \\ m-4a & \alpha & m \\ n-4b & \beta & n \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C_{1}=C_{1}-C_{3} \end{matrix}}{=}2\begin{vmatrix} -4c & \gamma & k \\ -4a & \alpha & m \\ -4b & \beta & n \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C_{1}=-\frac{1}{4}C_{1} \end{matrix}}{=}

(-4)\cdot 2\begin{vmatrix} c & \gamma & k \\ a & \alpha & m \\ b & \beta & n \end{vmatrix}\underset{T}{=}-8\begin{vmatrix} c & a & b \\ \gamma & \alpha & \beta \\ k & m & n \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C_{1}\leftrightarrow C_{2} \\ C_{2}\leftrightarrow C_{3} \end{matrix}}{=}(-8)(-1)^2\begin{vmatrix} a & b & c \\ \alpha & \beta & \gamma \\ m & n & k \end{vmatrix}=-8\cdot 2=-16