2 - המשך של שדות — אלגברה אמ

תרגיל

\mathbb{F}=\{ (a,b)|a,b \in \mathbb{Z},b\neq 0,(a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})\iff a_{1}b_{2}=b_{1}a_{2} \}

נגדיר חיבור וכפל כך:

(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2},b_{1}b_{2})

(a_{1},b_{1})(a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2})

האם $\mathbb{F}$ הינו שדה?

הוכחה:
נבדוק סגירות: מכיוון שהכל שלמים, ישנה סגירות
קומוטטיביות: כן
אסוציאטיביות: תאמינו לגלית, זה יעבוד - זה סתם עבודה שחורה
נחפש את איבר האפס: (אדיש חיבורי)
נסמן $\text{"0"}=(x,y)$ נדרוש:

(a,b)+(x,y)=(a,b)

(ay+bx,by)=(a,b)

כעת נשווה בין האיברים כפי שנתון לנו:

(ay+bx)b=(by)a

(ay+bx)\cancel{b}=(\cancel{b}y)a \implies \cancel{ay}+bx=\cancel{ay} \implies bx=0,\; b\neq0

נראה פה כי $y$ יכול להיות כל מספר אבל:

\text{"0"}=(0,y)

נשים לב כי:

\forall y_{1}y_{0}\neq0:\; (0,y_{1})=(0,y_{2})

ולכן, ישנו רק איבר $0$ אחד:

\text{"0"}=(0,1)

נחפש את הנגדי:

\text{"-(a,b)"}=(x,y)

כעת נציב:

(a,b)+(x,y)=(0,1)

כעת נחבר:

(ay+bx,by)=(0,1)

נשווה לפי הוראת ההשוואה הנתונה:

(ay+bx)1=by0 \implies ay+bx=0\implies ay=bx \implies x=\frac{ay}{b}

\text{"-(a,b)"}=\left( -\frac{ay}{b},y \right)

נשים לב כי:

\left( -\frac{ay_{1}}{b},y_{1} \right)=\left( -\frac{ay_{2}}{b},y_{2} \right)

ולכן זהו הנגדי, אבל הוא איננו נציג טוב כי אנו לא יודעים אם הוא בתוך הקבוצה:

=\left( -\frac{a}{b},1 \right)

נמצא נציג טוב ע"י הכפלה ב-b:

\text{"-(a,b)"}=(-a,b)

נמצא אדיש כפלי:
נסמן:

\text{"1"}=(x,y)

נדרוש:

(a,b)(x,y)=(a,b)

נעבוד לפי הגדרת הכפל:

(ax,by)=(a,b)

על פי הגדרת השוויון:

(ax)b=(by)a

x=y

נוודא בשבילנו כי $(x,x)=(y,y)$ :

xy=xy \implies 0=0

נכתוב את האדיש הכפלי שלנו כך:

\text{"1"}=(1,1)

נחפש הופכי לכל איבר חוץ מאיבר ה-0:
נסמן: $(a,b)^{-1}=(x,y)$
נדרוש:

(a,b)(x,y)=(1,1)

נחשב:

(ax,by)=(1,1)

(ax)\cdot1=(by)\cdot 1

נבחר $x$ חופשי ונקבל

y=\frac{ax}{b}

זאת אומרת:

(a,b)^{-1}=\cancel{\left( x, \frac{a}{b}x \right)}

נבדוק האם יש רק איבר אחד שכזה:

\left( x_{1}, \frac{a}{b}x_{1} \right)=\left( x_{2}, \frac{a}{b}x_{2} \right)

ולכן, נבחר נציג כדי לייצג את ההופכי:

(a,b)^{-1}=(b,a)

הערה

באמת, ה- $a$ שלנו במקרה הזה אינו יכול להיות $0$ וזאת מכיוון שאילו $a=0$ נקבל את איבר ה- $0$ שהוא $(0,1)$ שהוא בתכלס, $(0,y)$ . ומכיוון שעל פי הגדרת השדה, אנו מחפשים איבר הופכי לכל איבר שאינו איבר האפס, בסעיף זה ספציפית $a\neq0$ .

את תכונות הפילוג לא נבדוק כרגע כי עבודה שחורה. כמובן שבמבחן או בתרגילי הבית צריך לבדוק.
‎∎

נסתכל על השדה הזה שוב ונראה כי:

\mathbb{F}=\left\{ \frac{a}{b}|a,b \in \mathbb{Z},\ b\neq0 \right\}

נסתכל על חיבור וכפל:

\frac{a_{1}}{b_{1}}+\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}}

\frac{a_{1}}{b_{1}} \frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{1}a_{2}}{b_{1}b_{2}}

נראה כי זה בדיוק אותו שדה, פשוט במקום לעשות אותו עם קו שבר, ביצענו אותו עם שני איברים בסוגריים.
כך, הוכחנו בעצם, ש- $\mathbb{Q}$ הוא שדה.

הערה (מילה על שיעורי הבית)

יפתח דף עבודה היום או מחר. הוא יהיה פתוח.
הם יבדקו שאלה 1 ויתנו 1/0 כדי שלא נרגיש צורך להעתיק בשביל הציון.
חשוב לכתוב את מה שאנחנו חושבים כדי לקבל הערכה אמיתית

אחד התרגילים בשיעורי הבית יהיה:

\{ (a,b)|a,b \in \mathbb{Q} \}

נגדיר כפל וחיבור כך:

(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2})

(a_{1},b_{1})(a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}+2b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})

התרגיל יהיה די פשוט לאור התרגילים שעשינו בתרגול.

הערה (הסוד של התרגיל)

הקבוצה הזו, $\mathbb{F}$ היא בעצם $\{ a+b\sqrt{ 2 }|a,b \in \mathbb{Q} \}$ .
ואז שנגדיר חיבור וכפל נגדיר אותם כך:

(a_{1}+b_{1}\sqrt{ 2 })+(a_{2}+b_{2}\sqrt{ 2 })=a_{1}+a_{2}+(b_{1}+b_{2})\sqrt{ 2 }

(a_{1}+b_{1}\sqrt{ 2 })(a_{2}+b_{2}\sqrt{ 2 })=a_{1}a_{2}+2b_{1}b_{2}+\sqrt{ 2 }(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})

אנו נראה כי בכתיבה הזו יהיה מאוד קשה להוכיח שזה שדה, כי הכל כאילו "ברור". אבל בצורה אבסטקטית יהיה יותר קל.

שיעורי בית (HW)

כדאי להוכיח בשתי הצורות ולא רק בצורה הראשונה.

תכונות של שדה

האדיש החיבורי והאדיש הכפלי הם יחידים
וההופכי והנגדי הם יחידים.
ישנה הבדל בין היחידות של שורה 1 והיחידות של שורה 2:

קיים 1 לכל איברי השדה.
לכל איבר בשדה קיים 1.

8 התכונות של שדות גוררות תכונות נוספות. והן:
0. $ab=ac,\ a\neq 0 \implies b=c$

$\forall a \in \mathbb{F}:\quad a\cdot 0=0$
$(-1)a=-a$
$-ab=(-a)b=a(-b)$
$-(-a)=a$
$-(a+b)=-a+ -b$
$(-a)(-b)=ab$
$(b+c)a=ba+ca$
$(a^{-1})^{-1}=a$
$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$
$ab=0 \iff a=0\ or\ b=0$
מה שאנו מכירים הם: 8 האקסיומות, 10 התכונות הנ"ל.
אם לא באחד מאלו, "ברור שזה קיים" לא תופס ונדרש להוכיח.

נוכיח את 4:
הוכחה:
אם נוכיח ש: $-a+a=0$ אזי, $a$ הוא הנגדי של $-a$ והוא מסומן: $-(-a)$ .

מהאקסיומות ידוע כי קיים $\text{"-a"}$ כך ש- $a+\text{"-a"}=0$ .
נשתמש בקומוטטיביות ונקבל: $\text{"-a"}+a=0$ .
‎∎

נוכיח את 9:
נסמן הופכי של $ab$ בתור $x$ . זאת אומרת $(ab)x=1$ .
אנו צריכים להוכיח כי: $x=a^{-1}b^{-1}$
זאת אומרת, צריך להוכיח: $(ab)(a^{-1}b^{-1})=1$
הוכחה:

(ab)(a^{-1}b^{-1})

על פי הקומוטטיביות:

=(ab)(b^{-1}a^{-1})

על פי האסוציאטיביות:

=a(bb^{-1})a^{-1}

לפי הגדרת ההופכי:

=a(1)a^{-1}

לפי האסוציאטיביות:

=(a\cdot1)a^{-1}

לפי תכונת האדיש הכפלי:

=a\cdot a^{-1}

על פי הגדרת ההופכי:

=1

ולכן:

(ab)(a^{-1}b^{-1})=1

‎∎

שדות סופיים

אם נסתכל על הקבוצה:

Z_{n}=\{ 0,1,2,\dots,n-1 \}

לדוגמה:

Z_{7}=\{ 0,1,2,3,4,5,6 \}

נגדיר פעולות חיבור וכפל:

a+b=\text{n-ל a+b תקולחב תיראשה}

a\cdot b=\text{nל ab תקולחב תיראשה}

נניח ב- $Z_{7}$ נראה כי:

\cases{4+5\equiv_{7} 2\\ 4\cdot 5\; \ \equiv_{7} 6}

הערה

בשיעורי הבית נצטרך למצוא שדה בן 4 איברים שצריך להמציא פעולת חיבור וכפל כך שזה יסתדר.
לא ניתן להמציא פעולת חיבור וכפל סתם ככה, אבל בגלל שזה 4 איברים, ניתן ליצור טבלה:
אנו לא נדע מה הפעולה אבל נדע מה בדיוק התוצאה לכל איבר.
לכל שדה חייב להיות איבר אפס ואיבר אחד כך:

$\cdot$	1	a	b
0	0	0	0
1	1	a	b
a	a
b	b

כעת, אחרי ששמנו את כל מה שחייב להתקיים, נוכל למלא את שאר הטבלה: (כאשר אנחנו מוודאים לכל התכונות כגון $ab=ba$ ) הטבלה חייבת להיות סמטרית. תכונה אחרת היא שלא יכול להיות עוד איבר 1/0 כגון, אילו היינו שמים $a$ תחת הכפולה בין $a$ ל- $b$ כי אז יש שני אברי 1 וזה לא שדה. ("באמת סודוקו" - גלית)

משפט

הקבוצה $Z_{p}$ שזה <=> p ראשוני

תרגיל

מצאו את $-5$ ב- $Z_{7}$

איך נמצא אותו?
נסמן: $x=-5$ ונדרוש $5+x=0$ .

5+x=0\equiv_{7}7

2+(5+x)\equiv_{7}7+2

לפי אסוציאטיביות:

(2+5)+x\equiv_{7}2

0+x\equiv_{7}2

x\equiv_{7}2

ולכן, הנגדי של $5$ הוא $2$ .

משפט (נוסחה)

-a\equiv_{p}p-a

תרגיל

מצאו את $5^{-1}$ ב- $Z_{7}$

נסמן: $5^{-1}=x$ ונדרוש: $5x=1$
זה יהיה מאוד קשה למצוא את הנגדי כך ולכן, מכיוון שזו קבוצה סופית, נעבור על איברי $Z_{7}$ ונמצא את הנגדי:

\begin{cases} 5\cdot1\equiv_{7} 5 \\ 5\cdot2\equiv_{7} 3 \\ 5\cdot 3\equiv_{7} 1 \\ 5\cdot 4\equiv_{7} \\ 5\cdot 5\equiv_{7} \\ 5\cdot 6\equiv_{7} \end{cases}

והופה, מצאנו:

5^{-1}=3

דבר אחרון:

תרגיל

פתרו מעל $Z_{7}$ את:

x+y=5

נפתור:
צריך למצוא $x$ ו- $y$ שסכומם הוא בעצם $7k+5$ כאשר $k \in \mathbb{Z}$ . לכן, לאור העובדה שזהו שדה סופי נבצע כך:
נקח $x$ בחירה חופשית ו- $y$ בהתאם:

\{ (0,5),(1,4),(2,3),\dots,(6,6) \}

יהיו 7 פתרונות.

תרגיל

\mathbb{F}=\{ (a,b)|a,b \in \mathbb{Z},b\neq 0,(a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})\iff a_{1}b_{2}=b_{1}a_{2} \}

נגדיר חיבור וכפל כך:

(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2},b_{1}b_{2})

(a_{1},b_{1})(a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2})

האם $\mathbb{F}$ הינו שדה?

(a,b)+(x,y)=(a,b)

(ay+bx,by)=(a,b)

כעת נשווה בין האיברים כפי שנתון לנו:

(ay+bx)b=(by)a

(ay+bx)\cancel{b}=(\cancel{b}y)a \implies \cancel{ay}+bx=\cancel{ay} \implies bx=0,\; b\neq0

נראה פה כי $y$ יכול להיות כל מספר אבל:

\text{"0"}=(0,y)

נשים לב כי:

\forall y_{1}y_{0}\neq0:\; (0,y_{1})=(0,y_{2})

ולכן, ישנו רק איבר $0$ אחד:

\text{"0"}=(0,1)

נחפש את הנגדי:

\text{"-(a,b)"}=(x,y)

כעת נציב:

(a,b)+(x,y)=(0,1)

כעת נחבר:

(ay+bx,by)=(0,1)

נשווה לפי הוראת ההשוואה הנתונה:

(ay+bx)1=by0 \implies ay+bx=0\implies ay=bx \implies x=\frac{ay}{b}

\text{"-(a,b)"}=\left( -\frac{ay}{b},y \right)

נשים לב כי:

\left( -\frac{ay_{1}}{b},y_{1} \right)=\left( -\frac{ay_{2}}{b},y_{2} \right)

ולכן זהו הנגדי, אבל הוא איננו נציג טוב כי אנו לא יודעים אם הוא בתוך הקבוצה:

=\left( -\frac{a}{b},1 \right)

נמצא נציג טוב ע"י הכפלה ב-b:

\text{"-(a,b)"}=(-a,b)

נמצא אדיש כפלי:
נסמן:

\text{"1"}=(x,y)

נדרוש:

(a,b)(x,y)=(a,b)

נעבוד לפי הגדרת הכפל:

(ax,by)=(a,b)

על פי הגדרת השוויון:

(ax)b=(by)a

x=y

נוודא בשבילנו כי $(x,x)=(y,y)$ :

xy=xy \implies 0=0

נכתוב את האדיש הכפלי שלנו כך:

\text{"1"}=(1,1)

נחפש הופכי לכל איבר חוץ מאיבר ה-0:
נסמן: $(a,b)^{-1}=(x,y)$
נדרוש:

(a,b)(x,y)=(1,1)

נחשב:

(ax,by)=(1,1)

(ax)\cdot1=(by)\cdot 1

נבחר $x$ חופשי ונקבל

y=\frac{ax}{b}

זאת אומרת:

(a,b)^{-1}=\cancel{\left( x, \frac{a}{b}x \right)}

נבדוק האם יש רק איבר אחד שכזה:

\left( x_{1}, \frac{a}{b}x_{1} \right)=\left( x_{2}, \frac{a}{b}x_{2} \right)

ולכן, נבחר נציג כדי לייצג את ההופכי:

(a,b)^{-1}=(b,a)

הערה

את תכונות הפילוג לא נבדוק כרגע כי עבודה שחורה. כמובן שבמבחן או בתרגילי הבית צריך לבדוק.
‎∎

נסתכל על השדה הזה שוב ונראה כי:

\mathbb{F}=\left\{ \frac{a}{b}|a,b \in \mathbb{Z},\ b\neq0 \right\}

נסתכל על חיבור וכפל:

\frac{a_{1}}{b_{1}}+\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}}

\frac{a_{1}}{b_{1}} \frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{1}a_{2}}{b_{1}b_{2}}

הערה (מילה על שיעורי הבית)

אחד התרגילים בשיעורי הבית יהיה:

\{ (a,b)|a,b \in \mathbb{Q} \}

נגדיר כפל וחיבור כך:

(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2})

(a_{1},b_{1})(a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}+2b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})

התרגיל יהיה די פשוט לאור התרגילים שעשינו בתרגול.

הערה (הסוד של התרגיל)

הקבוצה הזו, $\mathbb{F}$ היא בעצם $\{ a+b\sqrt{ 2 }|a,b \in \mathbb{Q} \}$ .
ואז שנגדיר חיבור וכפל נגדיר אותם כך:

(a_{1}+b_{1}\sqrt{ 2 })+(a_{2}+b_{2}\sqrt{ 2 })=a_{1}+a_{2}+(b_{1}+b_{2})\sqrt{ 2 }

(a_{1}+b_{1}\sqrt{ 2 })(a_{2}+b_{2}\sqrt{ 2 })=a_{1}a_{2}+2b_{1}b_{2}+\sqrt{ 2 }(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})

אנו נראה כי בכתיבה הזו יהיה מאוד קשה להוכיח שזה שדה, כי הכל כאילו "ברור". אבל בצורה אבסטקטית יהיה יותר קל.

שיעורי בית (HW)

כדאי להוכיח בשתי הצורות ולא רק בצורה הראשונה.

תכונות של שדה

קיים 1 לכל איברי השדה.
לכל איבר בשדה קיים 1.

8 התכונות של שדות גוררות תכונות נוספות. והן:
0. $ab=ac,\ a\neq 0 \implies b=c$

$\forall a \in \mathbb{F}:\quad a\cdot 0=0$
$(-1)a=-a$
$-ab=(-a)b=a(-b)$
$-(-a)=a$
$-(a+b)=-a+ -b$
$(-a)(-b)=ab$
$(b+c)a=ba+ca$
$(a^{-1})^{-1}=a$
$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$
$ab=0 \iff a=0\ or\ b=0$
מה שאנו מכירים הם: 8 האקסיומות, 10 התכונות הנ"ל.
אם לא באחד מאלו, "ברור שזה קיים" לא תופס ונדרש להוכיח.

נוכיח את 4:
הוכחה:
אם נוכיח ש: $-a+a=0$ אזי, $a$ הוא הנגדי של $-a$ והוא מסומן: $-(-a)$ .

מהאקסיומות ידוע כי קיים $\text{"-a"}$ כך ש- $a+\text{"-a"}=0$ .
נשתמש בקומוטטיביות ונקבל: $\text{"-a"}+a=0$ .
‎∎

(ab)(a^{-1}b^{-1})

על פי הקומוטטיביות:

=(ab)(b^{-1}a^{-1})

על פי האסוציאטיביות:

=a(bb^{-1})a^{-1}

לפי הגדרת ההופכי:

=a(1)a^{-1}

לפי האסוציאטיביות:

=(a\cdot1)a^{-1}

לפי תכונת האדיש הכפלי:

=a\cdot a^{-1}

על פי הגדרת ההופכי:

=1

ולכן:

(ab)(a^{-1}b^{-1})=1

‎∎

שדות סופיים

אם נסתכל על הקבוצה:

Z_{n}=\{ 0,1,2,\dots,n-1 \}

לדוגמה:

Z_{7}=\{ 0,1,2,3,4,5,6 \}

נגדיר פעולות חיבור וכפל:

a+b=\text{n-ל a+b תקולחב תיראשה}

a\cdot b=\text{nל ab תקולחב תיראשה}

נניח ב- $Z_{7}$ נראה כי:

\cases{4+5\equiv_{7} 2\\ 4\cdot 5\; \ \equiv_{7} 6}

הערה

$\cdot$	1	a	b
0	0	0	0
1	1	a	b
a	a
b	b

משפט

הקבוצה $Z_{p}$ שזה <=> p ראשוני

תרגיל

מצאו את $-5$ ב- $Z_{7}$

איך נמצא אותו?
נסמן: $x=-5$ ונדרוש $5+x=0$ .

5+x=0\equiv_{7}7

2+(5+x)\equiv_{7}7+2

לפי אסוציאטיביות:

(2+5)+x\equiv_{7}2

0+x\equiv_{7}2

x\equiv_{7}2

ולכן, הנגדי של $5$ הוא $2$ .

משפט (נוסחה)

-a\equiv_{p}p-a

תרגיל

מצאו את $5^{-1}$ ב- $Z_{7}$

\begin{cases} 5\cdot1\equiv_{7} 5 \\ 5\cdot2\equiv_{7} 3 \\ 5\cdot 3\equiv_{7} 1 \\ 5\cdot 4\equiv_{7} \\ 5\cdot 5\equiv_{7} \\ 5\cdot 6\equiv_{7} \end{cases}

והופה, מצאנו:

5^{-1}=3

דבר אחרון:

תרגיל

פתרו מעל $Z_{7}$ את:

x+y=5

\{ (0,5),(1,4),(2,3),\dots,(6,6) \}

יהיו 7 פתרונות.