19 - מטריצה מייצגת — אלגברה אמ

הגדרה 1 (מטריצה מייצגת)

יהי שדה $\mathbb{F}$ . יהיו $U,V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$ . תהי $T:V\to U$ ט"ל.
יהיו $B=(v_{1},\dots,v_{n}) \subset V$ ו- $C=(u_{1},\dots,u_{m})\subset U$ בסיסים סדורים מעל המ"ו.
לכל $1\leq i\leq n$ :

T(\underline{v}_{i})=a_{i1}u_{1}+a_{i2}u_{2}+\dots+a_{im}u_{m}

[T(v_{i})]_{C}=\begin{pmatrix} a_{i1}\\a_{i2}\\\vdots\\a_{im} \end{pmatrix}

נרשום את הקורדינאטות של התמונות של כל הווקטורים ב- $B$ כעמודות של מטריצה:

[T]_{B}^C=\begin{pmatrix} [T(v_{1})]_{C} & [T(v_{2})]_{C} & \dots & [T(v_{n})]_{C} \end{pmatrix}

זוהי מטריצה מייצגת של $T$ לפי הבסיסים $B$ ו- $C$ .

משפט

[T(v)]_{C}=[T]_{B}^C[v]_{B}

תרגיל

מצאו את המטריצה המייצגת של $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ :

T\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2\\3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}

לפי הבסיס הסטנדארטי של $\mathbb{R}^2$ .

E=\left\{ \underset{e_{1}}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}},\underset{e_{2}}{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \right\}

T(e_{1})=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}=1e_{1}+3e_{2} \implies [T(e_{1})]_{E}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}

T(e_{2})=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}=2e_{1}+4e_{2} \implies [T(e_{2})]_{E}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}

[T]_{E}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

תרגיל

מצאו את המטריצה המייצגת של $T:\mathbb{R}^{2\times2}\to \mathbb{R}^{2\times2}$ :

T(A)=\begin{pmatrix} 1 & 2\\3 & 4 \end{pmatrix}A

לפי הבסיס הסטנדארטי של $\mathbb{R}^{2\times 2}$ .

T(e_{1})=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\implies [T(e_{1})]_{E}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}

[T(e_{2})]_{E}=\left[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right]_{E}=\left[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\right]_{E}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}

[T(e_{3})]_{E}=\left[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 9 \end{pmatrix}\right]_{E}=\left[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\right]_{E}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}

[T(e_{4})]_{E}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}

לכן:

[T]_{E}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}

תרגיל

יהי:

U=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a & b\\b & a \end{pmatrix} & a,b \in \mathbb{R} \end{array} \right\}

ונגדיר $T:U\to U$

T\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3a+b & -a \\ -a & 3a+b \end{pmatrix}

א. מצאו בסיס כלשהו של $U$ , תסמנו אותו $B$ ומצאו את $[T]_{B}$ .
ב. האם $T$ הפיך? אם כן, מצאו את $T^{-1}$ .

פתרון א':

U=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\}

אל מטריצות בת"ל(לא פרופורציונליות) ולכן הן מהוות בסיס. נסמן:

B=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\}

T(b_{1})=T\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}=3b_{1}-b_{2} \implies [T(b_{1})]_{B}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}

T(b_{2})=T\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=b_{1} \implies [T(b_{2})]_{B}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

[T]_{B}=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

פתרון ב':

משפט

יהי $T:V\to V$ אופרטור. $T$ הפיך $\iff$ $[T]_{B}^C$ היא מטריצה הפיכה כאשר $B$ ו- $C$ בסיסים כלשהם.
בנוסף, אם $T$ הפיך אז $[T^{-1}]_{B}=[T]_{B}^{-1}$ .

שתי שורות שיאנן פרופורציונליות $\impliedby$ בת"ל.

T^{-1}\R{\text{לפי משפט, קיים }}\impliedby \R{\text{ הפיכה}} [T]_{B} \impliedby r([T]_{B})=2

[T]_{B}^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

לפי המשפט, זאת גם:

[T^{-1}]_{B}

נמצא את $T^{-1}$ :

\left[T^{-1}\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}\right]_{B}=[T^{-1}]_{B}\left[\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}\right]_{B}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -b \\ a+3b \end{pmatrix}

T^{-1}\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}=-b\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+(a+3b)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -b & a+3b \\ a+3b & -b \end{pmatrix}

תרגיל

יהי $T:\mathbb{R}_{2}[x]\to \mathbb{R}_{2}[x]$

T(ax^2+bx+c)=(a+b+c)x^2+(2a+2b)x+(a+b)

א. יהי $E=\left\{ x^2,x,1 \right\}$ בסיס סטנדארטי. מצאו $[T]_{E}$ .
ב. נגדיר $B=\left\{ 1+x+x^2,1+x,1 \right\}$ ו- $C=\left\{ x+x^2,1+x^2,x^2 \right\}$ בסיסים של $\mathbb{R}_{2}[x]$ . מצאו את $[T]_{B}^C$ .
ג. תהי $S:\mathbb{R}_{2}[x]\to \mathbb{R}_{2}[x]$ כך ש: $[S]_{C}^C=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&2&2\\0&1&0\end{pmatrix}$ . מצאו את $S$ .

פתרון א' - דרך א':

\overset{[T]_{E}}{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}}\overset{[P]_{E}}{\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}}=\underset{[T(p)]_{E}}{\begin{pmatrix} a+b+c \\ 2a+2b \\ a+b \end{pmatrix}}

פתרון א'- דרך ב': לפי ההגדרה.

[T(x^2)]_{E}=[x^2+2x+1]_{E}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

נחזור ככה שלוש פעמים ונקבל:

[T]_{E}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

פתרון ב':

[T(b_{1})]_{C}=[T(1+x+x^2)]_{C}=[3x^2+4x+2]_{E}=[4c_{1}+2c_{2}-3c_{3}]_{C}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

[T(b_{2})]_{C}=[T(1+x)]_{C}=[2x^2+2x+1]_{C}=[2c_{1}+c_{1}-c_{3}]_{C}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

[T(b_{3})]_{C}=[T(1)]_{C}=[x^2]_{C}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

[T]_{B}^C=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}

פתרון ג':

[S(ax^2+bx+c)]_{C} \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{משפט}} \end{matrix}}{=}[S]_{C}[ax^2+bx+c]_{C}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b \\ c \\ a-b-c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b+2c+a-b-c \\ \cancel{2b}+\cancel{2c}+2a-\cancel{2b}-\cancel{2c} \\ c \end{pmatrix}

ולכן

S(ax^2+bx+c)=(a+c)c_{1}+2a\cdot c_{2}+c\cdot c_{3}=(a+c)(x+x^2)+2a(1+x^2)+cx^2

=(3a+2c)x^2+(a+c)x+2a

תרגיל

תהי $T:\mathbb{R}^{2\times2}\to \mathbb{R}_{2}[x]$ ט"ל. יהי $B$ בסיס של $\mathbb{R}^{2\times2}$ .

B=\left\{ \begin{pmatrix} 1&0\\0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 1\\0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0\\1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0\\1 & 1 \end{pmatrix} \right\}

יהי $C$ בסיס של $\mathbb{R}_{2}[x]$ :

C=\left\{ x+x^2,1+x^2,x^2 \right\}

נתון:

[T]_{B}^C=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 & 0\\3 & 3 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

א. מצאו את $T(A)$ עבור $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ .
ב. מצאו את $\ker T$ ואת $\mathrm{Im}T$ .

פתרון א':
לפי משפט:

[T(A)]_{C}=[T]_{B}^C[A]_{B}

A=b_{2}+b_{4}\implies [A]_{B}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

[T(A)]_{C}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}

T(A)=3c_{1}+3c_{2}+c_{3}=3(x+x^2)+3(1+x^2)+x^2=7x^2+3x+3

זוהי התמונה של המטריצה הנתונה תחת ההעתקה $T$ .

פתרון ב':

\ker T=\left\{ A \in \mathbb{R}^{2\times2}|T(A)=0 \right\}=\left\{ A \in \mathbb{R}^{2\times2}|[T(A)]_{C}=[T]_{B}^C[A]_{B}=0 \right\}

\ker T=\left\{ A \in \mathbb{R}^{2\times2}\ |\ [T]_{B}^C\R{\text{ שייכות למרחב הפתרונות של }}[A]_{B}\R{\text{כך ש }} \right\}

\ker T=\left\{ \begin{array}{c|c} A \in \mathbb{R}^{2\times2} & [A]_{B} \in sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\} \end{array} \right\}=\left\{ A \in \mathbb{R}^{2\times2}|A=sp\left\{ b_{1}-b_{2},b_{3}-b_{4} \right\} \right\}

\ker T=sp\left\{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\}

לפי משפט המימדים:

\dim\mathrm{Im}T=\dim \mathbb{R}^{2\times2}-\dim \ker T=4-2=2

התמונה נפרשת ע"י התמונות של וקטורי הבסיס $\iff$ הקורדינטות של התמונה נפרשות ע"י העמודות של $[T]$ .

\mathrm{Im}T=\left\{ \begin{array}{c|c} p(x) \in \mathbb{R}_{2}[x] & [p(x)]_{C} \in sp\left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{array} \right\}=\left\{ \begin{array}{c|c} p(x) \in sp\left\{ 3c_{1}+3c_{2},c_{3} \right\} \end{array} \right\}

\mathrm{Im}T=sp\left\{ \begin{array}{c|c} 3(2x^2+x+1),x^2 \end{array} \right\}

הווקטורים בקבוצה הפורשת הם בת"ל ולכן בסיס של $\mathrm{Im}T$ .

תרגיל

יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$ . $\dim V=2$ .
יהא $T:V\to V$ אופרטור ליניארי כף ש- $T^2=0,T\neq 0$ .

הוכיחו כי קיים בסיס $B$ של $V$ כך ש- $[T]_{B}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ .

הערה

קחו דוגמה של החברה :) $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ כך ש: $T\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\0\end{pmatrix}$ במצב זה $T\neq 0$ אך:

T^2\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=T\begin{pmatrix} y\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}

הוכחה:
נתון ש- $T\neq 0$ לכן קיים $0\neq v \in V$ כך ש- $T(v)=u$ ו- $0\neq u \in V$ .
נתבונן ב- $\left\{ u,v \right\}$ ונראה שהם בת"ל.
נניח בשלילה כי הוקטורים ת"ל ולכן, מכיוון ש- $u,v \neq 0$ ⇐ קיים $0\neq\alpha \in \mathbb{F}$ כך ש- $u=\alpha v$ .
נפעיל את $T$ :

0=T^2(v)=T(u)=\alpha T(v)

T(v)=0

בסתירה לבחירת $u,v$ . לכן $\left\{u,v \right\}$ בת"ל, נתון כי $\dim V=2$ ⇐ $\left\{ u,v \right\}$ בת"ל מקסימלית ולכן בסיס.
נסמן $B=\left\{ u,v \right\}$ . אז:

[T(u)]_{B}=[T^2(v)]_{B}=[0]_{B}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

[T(v)]_{B}=[u]_{B}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

[T]_{B}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

∎

תרגיל

יהי $V=\mathbb{R}^3$ .

B=\left\{ (0,1,2),(1,-1,0),(1,1,1) \right\}

יהי אופרטור ליניארי $T:V\to V$ כך ש-

[T]_{B}=\begin{pmatrix} a & 1 & 1-a \\ 1-a & 0 & b \\ 0 & b & b \end{pmatrix}

נתון גם $\dim \ker T> \dim \mathrm{Im}T$ .
מצאו את $\ker T,\mathrm{Im}T,a,b$ .

הטרנספורמציה שונה מאפס כי המטריצה המייצגת שלה שונה מאפס זהותית ולכן $\dim \mathrm{Im}T\geq 1$ . נשתמש במשפט המימדים:

3=\dim \mathbb{R}^3=\dim\mathrm{Im}T+\dim \ker T

נתון לנו כי $\dim \ker T> \dim \mathrm{Im}T$ ולכן:

\dim\mathrm{Im}T=1 \qquad \dim \ker T=2

מכיוון ש- $\dim\mathrm{Im}T=1$ במטריצה המייצגת יש רק עמודה אחת בת"ל ולכן $a=1,b=0$