לכל התרגילים הקרובים נגדיר V V V B = { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } B=\left\{ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \right\} B = { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } V V V
תהי T : V → V T:V\to V T : V → V B I m T = { T ( v 1 ) , T ( v 2 ) } B_{\mathrm{Im}T}=\left\{ T(v_{1}),T(v_{2}) \right\} B Im T = { T ( v 1 ) , T ( v 2 ) } B ker T = { v 3 , v 4 } B_{\ker T}=\left\{ v_{3},v_{4} \right\} B k e r T = { v 3 , v 4 }
הטענה אינה נכונה .דוגמה נגדית: dim V = 4 \dim V=4 dim V = 4 dim I m T = 2 \dim \mathrm{Im}T=2 dim Im T = 2 dim ker T = 4 − 2 = 2 \dim \ker T=4-2=2 dim ker T = 4 − 2 = 2 v 3 , v 4 v_{3},v_{4} v 3 , v 4 ker T \ker T ker T
T ( v 1 ) = v 1 T ( v 2 ) = v 2 T ( v 3 ) = v 1 T ( v 4 ) = v 2 \begin{matrix}
T(v_{1})=v_{1} & T(v_{2})=v_{2} \\
T(v_{3})=v_{1} & T(v_{4})=v_{2}
\end{matrix} T ( v 1 ) = v 1 T ( v 3 ) = v 1 T ( v 2 ) = v 2 T ( v 4 ) = v 2 לכן, הבסיס של I m T \mathrm{Im}T Im T { v 1 , v 2 } = { T ( v 1 ) , T ( v 2 ) } \left\{ v_{1},v_{2} \right\}=\left\{ T(v_{1}),T(v_{2}) \right\} { v 1 , v 2 } = { T ( v 1 ) , T ( v 2 ) } v 3 , v 4 ∉ ker T v_{3},v_{4} \not\in \ker T v 3 , v 4 ∈ ker T
ker T = s p { v 1 − v 3 , v 2 − v 4 } \ker T=sp\left\{ v_{1}-v_{3},v_{2}-v_{4} \right\} ker T = s p { v 1 − v 3 , v 2 − v 4 } לכן הטענה אינה נכונה.
יהי T : V → V T:V\to V T : V → V B ker T = { v 3 , v 4 } B_{\ker T}=\left\{ v_{3},v_{4} \right\} B k e r T = { v 3 , v 4 } B I m T = { T ( v 1 ) , T ( v 2 ) } B_{\mathrm{Im}T}=\left\{ T(v_{1}),T(v_{2}) \right\} B Im T = { T ( v 1 ) , T ( v 2 ) }
הטענה נכונה .הוכחה:
dim I m T = dim T − dim ker T = 4 − 2 = 2 \dim \mathrm{Im}T=\dim T-\dim \ker T=4-2=2 dim Im T = dim T − dim ker T = 4 − 2 = 2 לפי משפט:
I m T = s p { T ( v 1 ) , T ( v 2 ) , T ( v 3 ) ⏟ 0 , T ( v 4 ) ⏟ 0 } = s p { T ( v 1 ) , T ( v 2 ) } \mathrm{Im}T=sp\{ T(v_{1}),T(v_{2}),\underbrace{T(v_{3})}_{0},\underbrace{T(v_{4})}_{0} \}=sp\left\{ T(v_{1}),T(v_{2}) \right\} Im T = s p { T ( v 1 ) , T ( v 2 ) , 0 T ( v 3 ) , 0 T ( v 4 ) } = s p { T ( v 1 ) , T ( v 2 ) } קיבלנו קבוצה פורשת בת 2 וקטורים. המימד של המרחב הוא 2. לכן, לפי משפט, זהו בסיס. ⇐ { T ( v 1 ) , T ( v 2 ) } \left\{ T(v_{1}),T(v_{2}) \right\} { T ( v 1 ) , T ( v 2 ) } I m T \mathrm{Im}T Im T ∎
האם קיימת ט"ל T : R 3 → R 4 T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^4 T : R 3 → R 4
הפרכה: T T T
dim R 3 = dim ker T + dim R 4 = dim ker T + 4 ⟹ dim ker T = − 1 \dim \mathbb{R}^3=\dim \ker T+\dim \mathbb{R}^4=\dim \ker T+4\implies \dim \ker T=-1 dim R 3 = dim ker T + dim R 4 = dim ker T + 4 ⟹ dim ker T = − 1 הדבר לא יתכן ⇐ לא קיימת T T T ∎
האם קיימת ט"ל T : R 3 → R 4 T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^4 T : R 3 → R 4
הוכחה:
dim R 3 = dim ker T ⏟ 0 + dim I m T \dim \mathbb{R}^3=\underbrace{\dim \ker T}_{0}+\dim \mathrm{Im}T dim R 3 = 0 dim ker T + dim Im T dim I m T = 3 \dim \mathrm{Im}T=3 dim Im T = 3 שזה אפשרי.
T ( a , b , c ) = ( a , b , c , 0 ) T(a,b,c)=(a,b,c,0) T ( a , b , c ) = ( a , b , c , 0 ) אז:
T ( a , b , c ) = ( a , b , c , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) T(a,b,c)=(a,b,c,0) =(0,0,0,0) T ( a , b , c ) = ( a , b , c , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) ⇕ \Updownarrow ⇕ a = b = c = 0 a=b=c=0 a = b = c = 0 כלומר ker T = { 0 } \ker T=\left\{ 0 \right\} ker T = { 0 } T T T ∎
האם קיימת T : R 3 → R 3 T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 T : R 3 → R 3 \quad ker T ⊆ I m T \ker T \subseteq \mathrm{Im}T ker T ⊆ Im T \quad I m T = { ( a , b , a ) ∣ a , b ∈ R } \mathrm{Im}T=\left\{ (a,b,a)|a,b \in \mathbb{R} \right\} Im T = { ( a , b , a ) ∣ a , b ∈ R }
הוכחה:
3 = dim R 3 = dim ker T + dim I m T 3=\dim \mathbb{R}^3=\dim \ker T+\dim\mathrm{Im}T 3 = dim R 3 = dim ker T + dim Im T על פי נתון 2 2 2 I m T = s p { ( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 0 ) } ⏟ וקטורים בת"ל כי לא פרופורציונליים \mathrm{Im}T=sp \underbrace{\{(1,0,1),(0,1,0)\}}_{\R{\text{וקטורים בת"ל כי לא פרופורציונליים}}} Im T = s p וקטורים בת"ל כי לא פרופורציונליים {( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 0 )} dim I m T = 2 \dim \mathrm{Im}T=2 dim Im T = 2 dim ker T = 3 − 2 = 1 \dim \ker T=3-2=1 dim ker T = 3 − 2 = 1 T T T
T ( 1 , 0 , 0 ) = ( 1 , 0 , 1 ) T ( 0 , 1 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 ) T ( 0 , 0 , 1 ) = ( 0 , 1 , 0 ) \begin{align*}
& T(1,0,0)=(1,0,1) \\
& T(0,1,0)=(0,0,0) \\
& T(0,0,1)=(0,1,0)
\end{align*} T ( 1 , 0 , 0 ) = ( 1 , 0 , 1 ) T ( 0 , 1 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 ) T ( 0 , 0 , 1 ) = ( 0 , 1 , 0 ) הוקטור האמצעי הוא מהדרישה א' ושני האחרים מדרישה ב'.
T ( a , b , c ) = a T ( 1 , 0 , 0 ) + b T ( 0 , 1 , 0 ) + c T ( 0 , 0 , 1 ) = a ( 1 , 0 , 1 ) + b ( 0 , 0 , 0 ) + c ( 0 , 1 , 0 ) = ( a , c , a ) T(a,b,c)=aT(1,0,0)+bT(0,1,0)+cT(0,0,1)=a(1,0,1)+b(0,0,0)+c(0,1,0)=(a,c,a) T ( a , b , c ) = a T ( 1 , 0 , 0 ) + b T ( 0 , 1 , 0 ) + c T ( 0 , 0 , 1 ) = a ( 1 , 0 , 1 ) + b ( 0 , 0 , 0 ) + c ( 0 , 1 , 0 ) = ( a , c , a ) אז I m T = { ( a , c , a ) } \mathrm{Im}T=\left\{ \begin{pmatrix}a,c,a\end{pmatrix} \right\} Im T = { ( a , c , a ) } ker T = { ( 0 , b , 0 ) } ⊆ I m T \ker T=\left\{ (0,b,0) \right\}\subseteq \mathrm{Im}T ker T = { ( 0 , b , 0 ) } ⊆ Im T ∎
יהי V V V T : V → V T:V\to V T : V → V
dim ( ker T 2 ) = dim ker T + dim ( ker T ∩ I m T ) \dim(\ker T^2)=\dim \ker T+\dim(\ker T \cap \mathrm{Im}T) dim ( ker T 2 ) = dim ker T + dim ( ker T ∩ Im T ) הוכחה:
האסטרטגיה בתרגילים האלו היא לרשום את כל משפטי המימדים שאפשר.
ההעתקה T 2 T^2 T 2 T 2 : V → V T^2:V\to V T 2 : V → V
dim V = dim ker T + dim I m T \dim V=\dim \ker T+\dim \mathrm{Im}T dim V = dim ker T + dim Im T dim V = dim ker T 2 + dim I m T 2 \dim V=\dim \ker T^2+\dim \mathrm{Im}T^2 dim V = dim ker T 2 + dim Im T 2 ⇓ \Downarrow ⇓ ( 1 ) dim ker T 2 = dim ker T + dim I m T − dim I m T 2 (1)\; \dim \ker T^2=\dim \ker T+\dim \mathrm{Im}T-\dim \mathrm{Im}T^2 ( 1 ) dim ker T 2 = dim ker T + dim Im T − dim Im T 2 נגדיר ט"ל חדשה:
T ∣ I m T : I m T → V T \vert_{_{\mathrm{Im}T}}: \mathrm{Im}T\to V T ∣ Im T : Im T → V אשר לכל u ∈ I m T u \in \mathrm{Im}T u ∈ Im T T ∣ I m T ( u ) = T ( u ) T \vert_{_{\mathrm{Im}T}}(u)=T(u) T ∣ Im T ( u ) = T ( u )
הקו הזה מסמל שזוהי טרנספורמציה מצומצמת ל-I m T \mathrm{Im}T Im T I m T \mathrm{Im}T Im T V V V
זאת גם ט"ל. לכן, גם עבורה מתקיים משפט המימדים:
dim I m T = dim I m ( T ∣ I m T ) ⏟ dim I m T 2 + dim ker ( T ∣ I m T ) ⏟ dim ( ker T ∩ I m T ) \dim\mathrm{Im}T=\underbrace{\dim \mathrm{Im}(T \vert_{_{\mathrm{Im}T}})}_{\dim \mathrm{Im}T^2}+\underbrace{\dim \ker(T \vert_{_{\mathrm{Im}T}})}_{\dim( \ker T \cap \mathrm{Im}T)} dim Im T = d i m Im T 2 dim Im ( T ∣ Im T ) + d i m ( k e r T ∩ Im T ) dim ker ( T ∣ Im T ) הגרעין של T ∣ I m T T \vert_{_{\mathrm{Im}T}} T ∣ Im T v ∈ I m T v \in \mathrm{Im}T v ∈ Im T T ∣ I m T ( v ) = T ( v ) = 0 T \vert_{_{\mathrm{Im}T}}(v)=T(v)=0 T ∣ Im T ( v ) = T ( v ) = 0 v ∈ ker T v \in \ker T v ∈ ker T v ∈ I m T v \in \mathrm{Im}T v ∈ Im T
dim I m T − dim I m T 2 = dim ( ker T ∩ I m T ) \dim \mathrm{Im}T-\dim \mathrm{Im}T^2=\dim(\ker T \cap \mathrm{Im}T) dim Im T − dim Im T 2 = dim ( ker T ∩ Im T ) נציב ב-( 1 ) (1) ( 1 )
dim ker T 2 = dim ker T + dim ( ker T ∩ I m T ) \dim \ker T^2=\dim \ker T+\dim (\ker T \cap \mathrm{Im}T ) dim ker T 2 = dim ker T + dim ( ker T ∩ Im T ) ∎