חזור לתיקייה: תרגול

16 - עוד מטריצות הפיכות והעתקות ליניאריות

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • כללי
  • העתקות ליניאריות (ה"ל, ט"ל)

16 - עוד מטריצות הפיכות והעתקות ליניאריות

01040166

אלגברה אמ

רשימות תרגול לקריאה בשבת

עוד מטריצות הפיכות והעתקות ליניאריות

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

תרגיל (נכון/לא נכון)

תהי An×nA_{n\times n}An×n​ ויהי p(x)=x2−3x+5p(x)=x^2-3x+5p(x)=x2−3x+5 כך ש-p(A)=0p(A)=0p(A)=0. ⇐ AAA הפיכה.

הטענה נכונה.
הוכחה:

p(A)=A2−3A+5I=0p(A)=A^2-3A+5I=0p(A)=A2−3A+5I=0 −15(A2−3A)=I-\frac{1}{5}(A^2-3A)=I−51​(A2−3A)=I A[−15(A−3I)] לפי הגדרהA−1=IA \underset{\R{\text{ לפי הגדרה}}A^{-1}}{\left[ -\frac{1}{5}(A-3I) \right]}=IA לפי הגדרהA−1[−51​(A−3I)]​=I

∎

ניתן להכיל את הטענה:

טענה

תהי A∈Fn×nA \in \mathbb{F}^{n\times n}A∈Fn×n ויהי p(x)=∑k=0nakxkp(x)=\sum_{k=0}^n a_{k}x^kp(x)=∑k=0n​ak​xk כאשר a0≠0a_{0}\neq 0a0​=0 וגם n≥1n\geq 1n≥1 אזי,
אם מתקיים p(A)=0p(A)=0p(A)=0 ⇐ AAA הפיכה.

תרגיל (נכון/לא נכון)

תהי A∈Fn×nA \in \mathbb{F}^{n\times n}A∈Fn×n ויהי p(x)=∑k=1nakxkp(x)=\sum_{k=1}^na_{k}x^kp(x)=∑k=1n​ak​xk כאשר a0=0a_{0}=0a0​=0, אזי אם p(A)=0p(A)=0p(A)=0 ⇐ AAA לא הפיכה.

הטענה לא נכונה.
נראה דוגמה נגדית:

p(x)=x2−3xp(x)=x^2-3xp(x)=x2−3x

עבור פולינום זה מתקיים:

p(3I)=(3I)2−3⋅3I=9I2−9I=0p(3I)=(3I)^2-3\cdot3I=9I^2-9I=0p(3I)=(3I)2−3⋅3I=9I2−9I=0

אך 3I3I3I אינה מטריצה הפיכה!

תרגיל (נכון/לא נכון)

יהיו {v1,…,vn}∈Fm\left\{ v_{1},\dots,v_{n} \right\}\in \mathbb{F}^{m}{v1​,…,vn​}∈Fm בת"ל.
תהי Am×m\underset{m\times m}{A}m×mA​ מטריצה הפיכה.
אזי, {Av1,Av2,…,Avn}\left\{ Av_{1},Av_{2},\dots,Av_{n} \right\}{Av1​,Av2​,…,Avn​} בת"ל.

הטענה נכונה.
הוכחה:
נרשום צ"ל של הווקטורים החדשים ונשווה אותם ל-000.

∑k=1nαk(Avk)=0αk∈F1≤k≤n\sum_{k=1}^n \alpha_{k}(Av_{k})=0 \qquad \begin{matrix} \alpha_{k}\in \mathbb{F} \\ 1 \leq k\leq n \end{matrix}k=1∑n​αk​(Avk​)=0αk​∈F1≤k≤n​

נשתמש באסוציאטיביות של כפל בסקלר של מטריצה ונקבל כי:

A(∑k=1nαkvk)=0A\left( \sum_{k=1}^n \alpha_{k}v_{k} \right)=0A(k=1∑n​αk​vk​)=0

מכיוון ש-AAA מטריצה הפיכה, אזי קיימת A−1A^{-1}A−1 ונוכל לכפול בה משמאל כך:

(A−1A)∑k=1nαkvk=A−1⋅0(A^{-1}A)\sum_{k=1}^n \alpha_{k}v_{k}=A^{-1}\cdot 0(A−1A)k=1∑n​αk​vk​=A−1⋅0 ∑k=1nαkvk=0\sum_{k=1}^n \alpha_{k}v_{k}=0k=1∑n​αk​vk​=0

מכיוון ש-{v1,…,vn}\left\{ v_{1},\dots,v_{n} \right\}{v1​,…,vn​} בת"ל, לכל kkk נקבל αk=0\alpha_{k}=0αk​=0 ולכן, על פי הגדרה, גם {Av1,…,Avn}\left\{ Av_{1},\dots,Av_{n} \right\}{Av1​,…,Avn​} בת"ל.
∎

תרגיל (נכון/לא נכון)

נתון כי AAA הפיכה ומתקיים {I,A,A2,A3}\left\{ I,A,A^2,A^3 \right\}{I,A,A2,A3} ת"ל.
אזי, A−1∈sp{I,A,A2}A^{-1}\in sp\left\{ I,A,A^2 \right\}A−1∈sp{I,A,A2}.

הטענה נכונה.
הוכחה:
נתון שהקבוצה ת"ל ולכן קיימים α0,α1,α2,α3∈F\alpha_{0},\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\in \mathbb{F}α0​,α1​,α2​,α3​∈F לא כולם אפס כך ש:

α0I+α1A+α2A2+α3A3=0\alpha_{0}I+\alpha_{1}A+\alpha_{2}A^2+\alpha_{3}A^3=0α0​I+α1​A+α2​A2+α3​A3=0

נכפול את הכל ב-A−1A^{-1}A−1.

α0A−1+α1I+α2A+α3A2=0\alpha_{0}A^{-1}+\alpha_{1}I+\alpha_{2}A+\alpha_{3}A^2=0α0​A−1+α1​I+α2​A+α3​A2=0

אם α0=0\alpha_{0}=0α0​=0, אז נקבל כי A−1=−1α0(α1I+α2A+α3A2)A^{-1}=-\frac{1}{\alpha_{0}}(\alpha_{1}I+\alpha_{2}A+\alpha_{3}A^2)A−1=−α0​1​(α1​I+α2​A+α3​A2) כנדרש.
אם α0=0\alpha_{0}=0α0​=0, אז נקבל α1I+α2A+α3A2=0\alpha_{1}I+\alpha_{2}A+\alpha_{3}A^2=0α1​I+α2​A+α3​A2=0, שוב נכפול ב-A−1A^{-1}A−1 ונקבל:

α1A−1+α2I+α3A=0\alpha_{1}A^{-1}+\alpha_{2}I+\alpha_{3}A=0α1​A−1+α2​I+α3​A=0

אם α1≠0\alpha_{1}\neq0α1​=0 אז A−1=−1α1(α2I+α3A)A^{-1}=-\frac{1}{\alpha_{1}}(\alpha_{2}I+\alpha_{3}A)A−1=−α1​1​(α2​I+α3​A).
אם α1=0\alpha_{1}=0α1​=0, אז נמשיך עוד פעם.
מכיוון שלא כל הסקלרים שווים לאפס, אזי קיים לפחות סקלר אחד שאינו אפס ולכן זה יעבוד.
∎

העתקות ליניאריות (ה"ל, ט"ל)

הגדרה 1

יהיו U,WU,WU,W מ"ו מעל F\mathbb{F}F.
העתקה T:U→WT:U\to WT:U→W נקראת ליניארית אם:

  1. לכל u1,u2∈Uu_{1},u_{2} \in Uu1​,u2​∈U מתקיים T(u1+u2)=T(u1)+T(u2)T(u_{1}+u_{2})=T(u_{1})+T(u_{2})T(u1​+u2​)=T(u1​)+T(u2​).
  2. לכל α∈F\alpha \in \mathbb{F}α∈F ו-u∈Uu \in Uu∈U מתקיים T(αu)=αT(u)T(\alpha u)=\alpha T(u)T(αu)=αT(u).
משפט (הגדרה שקולה)

העתקה TTT תקרא ליניארית   ⟺  \iff⟺ לכל u1,u2∈Uu_{1},u_{2} \in Uu1​,u2​∈U ולכל α∈F\alpha \in \mathbb{F}α∈F מתקיים:

T(αu1+u2)αT(u1)+T(u2)T(\alpha u_{1}+u_{2})\alpha T(u_{1})+T(u_{2})T(αu1​+u2​)αT(u1​)+T(u2​)
משפט

אם TTT ט"ל, אזי:
א. T(0U)=0WT(0_{U})=0_{W}T(0U​)=0W​.
ב. T(−u)=−T(u)T(-u)=-T(u)T(−u)=−T(u) ∀u∈U:  \forall u \in U:\;∀u∈U:.

תרגיל

האם ההעתקה ליניארית?
א. T:R3→R2×2T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^{2\times2}T:R3→R2×2 כך ש: T(x,y,z)=(x+2zy+1xy∣y∣)T(x,y,z)=\begin{pmatrix}x+2z&y+1\\xy&|y|\end{pmatrix}T(x,y,z)=(x+2zxy​y+1∣y∣​).
ב. T:R→VT:\mathbb{R}\to VT:R→V כך ש-T(x)=exT(x)=e^xT(x)=ex כאשר VVV הוא R+\mathbb{R}^+R+ עם הפעולות {x⊕y=x⋅yk⊙x=xk\begin{cases}x \oplus y=x\cdot y\\ k \odot x=x^k\end{cases}{x⊕y=x⋅yk⊙x=xk​ (הוכחנו שזה מ"ו מעל R\mathbb{R}R).
ג. T:C2→C2T:\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}^2T:C2→C2 כך ש-T(z1,z2)=(z1,z2‾)T(z_{1},z_{2})=(z_{1},\overline{z_{2}})T(z1​,z2​)=(z1​,z2​​).
ד. אותה ההעתקה רק שהפעם T:CR2→CR2T:\mathbb{C}^2_{\mathbb{R}}\to \mathbb{C}^2_{\mathbb{R}}T:CR2​→CR2​.

פתרון א':
נשים לב כי אם נקח את וקטור האפס של R3\mathbb{R}^3R3 נקבל:

T(0,0,0)=(0100)T(0,0,0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}T(0,0,0)=(00​10​)

מה שאינו וקטור האפס של R2×2\mathbb{R}^{2\times2}R2×2 ולכן זוהי לא ט"ל.
בנוסף נשים לב כי בגלל האיבר xyxyxy ההעתקה לא תעבור את החיבור ואת הנגדי.
בנוסך, האיבר ∣y∣|y|∣y∣ לא יעבור חיבור, כפל בסקלר שלילי ונגדי.

פתרון ב':
נבדוק לפי הגדרה: יהיו x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}x,y∈R:

T(x+y)=ex+y=exey=ex⊕ey=T(x)⊕T(y)T(x+y)=e^{x+y}=e^xe^y=e^x\oplus e^y=T(x)\oplus T(y)T(x+y)=ex+y=exey=ex⊕ey=T(x)⊕T(y)

יהי k∈Rk \in \mathbb{R}k∈R ו-x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R.

T(kx)=ekx=(ex)k=k⊙ex=k⊙T(x)T(kx)=e^{kx}=(e^{x})^k=k \odot e^x=k \odot T(x)T(kx)=ekx=(ex)k=k⊙ex=k⊙T(x)

שני התנאים מתקיימים ולכן TTT היא ט"ל.

פתרון ג':
זוהי אינה העתקה ליניארית. למשל עבור:

v=(1,1)∈C2α=i∈Cv=(1,1) \in \mathbb{C}^2 \qquad \alpha=i \in \mathbb{C}v=(1,1)∈C2α=i∈C

מתקיים:

T(αv)=T(i(1,1))=T(i,i)=(i,−i)T(\alpha v)=T(i(1,1))=T(i,i)=(i,-i)T(αv)=T(i(1,1))=T(i,i)=(i,−i) αT(v)=iT(1,1)=i(1,1)=(i,i)\alpha T(v)=iT(1,1)=i(1,1)=(i,i)αT(v)=iT(1,1)=i(1,1)=(i,i)

ולכן, T(αv)≠αT(v)T(\alpha v)\neq \alpha T(v)T(αv)=αT(v). לכן, TTT איננו העתקה ליניארית.

פתרון ד':
זוהי אכן העתקה ליניארית. נראה לפי הגדרה בנוסח של צ"ל:
יהי α∈R\alpha \in \mathbb{R}α∈R ו-v1=(z1,z2),v2=(w1,w2)∈C2v_{1}=(z_{1},z_{2}),v_{2}=(w_{1},w_{2})\in \mathbb{C}^2v1​=(z1​,z2​),v2​=(w1​,w2​)∈C2.

T(α(z1,z2)+(w1,w2))=T(αz1+w1,αz2+w2)=(αz1+w1,αz2+w2‾)T(\alpha(z_{1},z_{2})+(w_{1},w_{2}))=T(\alpha z_{1}+w_{1},\alpha z_{2}+w_{2})=(\alpha z_{1}+w_{1},\overline{\alpha z_{2}+w_{2}})T(α(z1​,z2​)+(w1​,w2​))=T(αz1​+w1​,αz2​+w2​)=(αz1​+w1​,αz2​+w2​​) =(αz1+w1,αz2‾+w2‾)=αT(z1,z2)+T(w1,w2)=(\alpha z_{1}+w_{1},\alpha \overline{z_{2}}+\overline{w_{2}})=\alpha T(z_{1},z_{2})+T(w_{1},w_{2})=(αz1​+w1​,αz2​​+w2​​)=αT(z1​,z2​)+T(w1​,w2​)