15 - קורדינטות ומטריצות הפיכות — אלגברה אמ

הגדרה 1 (קורדינטות)

יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$ ממימד $n$ . יהי $B$ בסיס סדור של $V$ .

B=\left\{ b_{1},b_{2},\dots,b_{n} \right\}

יהי $v \in V$ . ישנו סט סקלרים יחיד $\left\{ a_{1},a_{2},\dots,a_{n} \right\}\subseteq \mathbb{F}$ כך ש:

v=\sum_{k=1}^na_{k}b_{k}

נקרא לסקלרים אלו קורדינטות של $v$ לפי בסיס $B$ ומסמנים:

[v]_{B}=\begin{pmatrix} a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n} \end{pmatrix}\in \mathbb{F}^n

משפט

יהיו $S=\left\{ v_{1},\dots,v_{m} \right\}\in V$ .
$S$ בת"ל ב- $V$ $\iff$ $\left\{ [v_{1}]_{B},[v_{2}]_{B},\dots,[v_{n}]_{B} \right\}$ בת"ל ב- $\mathbb{F}^n$ כאשר $B$ בסיס כלשהו של $V$ .

תרגיל

יהי $V=\mathbb{R}^{2\times2}$ ותהי $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ויהיו בסיסים:

E=\left\{ e_{1}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix},e_{2}=\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix},e_{3}=\begin{pmatrix} 0&0\\1&0 \end{pmatrix},e_{4}=\begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix} \right\}

B=\left\{ b_{1}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix},b_{2}=\begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix},b_{3}=\begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix},b_{4}=\begin{pmatrix} 1&1\\1&0 \end{pmatrix} \right\}

(אין צורך להוכיח כי $B$ בסיס)

א. מצאו $[A]_{B},[A]_{E}$ .
ב. מצאו מטריצה $C \in \mathbb{R}^{2\times2}$ כך ש- $[C]_{B}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}$

פתרון א':

A=1\cdot e_{1}+2\cdot e_{2}+3\cdot e_{3}+4\cdot e_{4}

\Downarrow

[A]_{E}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4

נבטא את $A$ כצ"ל של $\left\{ b_{1},\dots,b_{4} \right\}$ ובשביל זה נפתור מערכת עם $b_{i}$ עמודות מטריצת המקדמים ו- $A$ עמודת החופשיים:

\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 4 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 3 \end{array}\right)

נוכל לפתור את זה ונקבל כי $\begin{cases}x_{4}=-3\\x_{3}=-1\\x_{2}=6\\x_{1}=5\end{cases}$ וכך נקבל כי:

[A]_{B}=\begin{pmatrix} 5\\6\\-1\\-3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4

פתרון ב':
הסקלרים בקודניטה אומרים לנו כמה צריך לקחת מכל $\underline{b}$ .

C=1\cdot b_{1}+0\cdot b_{2}+0\cdot b_{3}+1\cdot b_{4}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

תרגיל

יהי $V=\mathbb{R}^2$ . יהי $v \in V$ כך ש- $[v]_{E}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ .
הוכיחו כי לכל $B$ בסיס של $V$ מתקיים $[v]_{B}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ .

הערה

זה נכון לכל מרחב, נקח $\mathbb{R}^2$ למען נוחות.

הוכחה:

[v]_{E}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \implies v=0\cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}

יהי $B=\left\{ b_{1},b_{2} \right\}$ בסיס ל- $V$ . הוקטורים בבסיס הם בת"ל לפי הגדרת הבסיס ולכן, אם מתקיים $\alpha b_{1}+\beta b_{2}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ אזי $\alpha=\beta=0$ מהגדרת בת"ל ולכן $\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\left[\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right]_{B}$ .
∎

הערה

באופן כללי, לא בהרכח מ- $B_{1}\neq B_{2}$ מתקבל $[v]_{B_{1}}\neq[v]_{B_{2}}$ גם עבור $v\neq0$ .
נניח אם נקח $E_{\mathbb{R}^2}=\left\{ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \right\}$ ואת $B=\left\{ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} \right\}$ . נניח את נקח את $v=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$ אזי נקבל כי:

[v]_{E}=[v]_{B}=\begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}

וזה מתרחש למרות ש- $v\neq 0$ .

מטריצות הפיכות

הגדרה 2 (מטריצה הפיכה)

תהי $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ .
$A$ נקראת הפיכה אם קיימת $B \in \mathbb{F}^{n\times n}$ כך ש- $AB=BA=I_{n}$ .

משפט

אם קיימת מטריצה $B$ כזו, אזי היא יחידה.

לכן, נסמן $B=A^{-1}$ ונקרא לה ההפוכה של $A$ .
אלגוריטם:

\left(\begin{array}{ccc|ccc} & & & & & \\ & A & & & I & \\ & & & & & \end{array}\right)\overunderset{\R{\text{נדרג}}}{\R{\text{לקנונית}}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} & & & & & \\ & I & & & A^{-1} & \\ & & & & & \end{array}\right)

תרגיל

תהי $A \in \mathbb{R}^{3\times3}$ .

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\2 & -1 & 3\\4 & 1 & 8 \end{pmatrix}

א. מצאו את $A^{-1}$ .
ב. רשמו את $A^{-1}$ כמכפלה של מטריצות אלמנטריות.

פתרון א':

\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\overrightarrow{\begin{matrix} (1)\; R_{2}= R_{2}-2R_{1} \\ (2)\; R_{3}=R_{3}-4R_{1} \end{matrix}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right)\overrightarrow{(3)\; R_{2}\leftrightarrow R_{3}}

\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right)\overrightarrow{(4)\; R_{3}=R_{3}+R_{2}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right)\overrightarrow{(5)\; R_{3}=-R_{3}}

\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right)\overrightarrow{(6)\; R_{1}=R_{1}-2R_{3}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right)

ולכן:

A^{-1}=\begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}

פתרון ב':

\begin{matrix} E_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & E_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix} & E_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ E_{4}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} & E_{5}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} & E_{6}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix}

A^{-1}=E_{6}\cdot E_{5}\cdot E_{4}\cdot E_{3}\cdot E_{2}\cdot E_{1}\cdot I

הערה

כל המטריצות האלמנטריות הן הפיכות, שכן הן שקולות שורה ל- $I$ ולכל אחת מהן יש פעולה הפוכה.

כעת, סתם בשביל החברה, נרצה לכתוב את $A$ :

A=(A^{-1})^{-1}=(E_{6}\dots E_{1})^{-1}=E_{1}^{-1}\cdot E_{2}^{-1}\dots E_{6}^{-1}

משפט

אם $A,B$ הפיכות, אז $AB$ הפיכה ומתקיים $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .

משפט

המטריצה הריבועית $A$ הפיכה $\iff$ $r(A)=n$ .

משפט

r(AB)\leq \min\left\{ r(A),r(B) \right\}

תרגיל

יהיו $A,B \in \mathbb{F}^{n\times n}$ .
הוכיחו: $AB$ הפיכה $\iff$ $A,B$ הפיכות.

הוכחה:
⇐: המטריצה $AB$ הפיכה וצ"ל: $A,B$ הפיכות.
המטריצה $AB$ הפיכה ⇐ $r(AB)=n$ ⇐ $n\leq \min\left\{ r(A),r(B) \right\}\leq n$ ⇐ $r(A)=r(B)=n$ ⇐ $A,B$ הפיכות.
⇒: המטריצות $A,B$ הפיכות וצ"ל: $AB$ הפיכה.
המטריצות $A,B$ הפיכות. לכן קיימות מטריצות $A^{-1},B^{-1}$ כך ש:

(AB)B^{-1}A^{-1}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{אסוצ'} \end{matrix}}{=}A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I

ולכן, $AB$ הפיכה לפי הגדרה ומתקיים $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .
∎

תרגיל

חשבו:

\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0\\0 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0\\-1 & 1 \end{pmatrix}\right)^{2025}

נסתכל על המטריצה השמאלית ונראה שהיא בעצם מטריצה אלמנטרית המייצגת את הפעולה $R_{2}=R_{2}+R_{1}$ ונסתכל על המטריצה הימנית ונראה שגם היא בעצם מטריצה אלמנטרית המייצגת את הפעולה $R_{2}=R_{2}-R_{1}$ . אלו מטריצות הפוכות אחת של השנייה.
נסמן את המטריצה האמצעית כ- $D$ נקבל כי יש לנו $(EDE^{-1})^{2025}$ . נפתח את זה:

(EDE^{-1})^{2025}=EDE^{-1}EDE^{-1}\dots E^{-1}EDE^{-1}

נשים לב כי יש לנו הרבה זוגות של מטריצות הפיכות שיצטמצמו ל- $I$ :

ED^{2025}E^{-1}

כאשר אנו מעלים בחזקה מטריצה אלכסונית, היא נשארת אלכסונית ואנו צריכים להעלות בחזקה את האיברים באלכסון.

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2^{2025} & 0 \\ 0 & 5^{2025} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^{2025} & 0 \\ 2^{2025} & 5^{2025} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

ניתן כעת להסתכל על זה כפעולה על עמודות המטריצה השמאלית, כאשר הפעולה היא חיסור העמודה השניה מהעמודה הראשונה:

=\begin{pmatrix} 2^{2025} & 0 \\ 2^{2025}-5^{2025} & 5^{2025} \end{pmatrix}

וזוהי התשובה.

הערה

\begin{pmatrix} d_{1} & 0 \\ 0 & d_{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d_{1} & 0 \\ 0 & d_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} d_{1}^2 & 0 \\ 0 & d_{2}^2 \end{pmatrix}

תרגיל

כמה מטריצות הפיכות קיימות ב- $(\mathbb{Z}_{5})_{2\times2}$ .

סה"כ ב- $(\mathbb{Z}_{5})_{2\times2}$ יש $5^4=625$ מטריצות.
תהי מטריצה $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ כאשר $a,b,c,d \in \mathbb{Z}_{5}$ . נמצא מהם התנאים המבטיחים ש- $A$ הפיכה $\iff$ $r(A)=2$ .
יהיו $a,b \in \mathbb{Z}_{5}$ . לא יתכן ש- $a=b=0$ . כלומר, יש $5^2-1=24$ אפשרויות שונות לשורה 1.
נתבונן בשורה השנייה $(c,d)$ . לכל $a,b$ שבחרנו $(c,d)$ יכולה להיות כל דבר פרט לכפולה בסקלר $\alpha \in \mathbb{Z}_{5}$ של $(a,b)$ . כלומר, $5^2-5=20$ .
כלומר, סה"כ יש לנו $24\cdot20=480$ מטריצות הפיכות.

תרגיל (נכון/לא נכון)

תהי $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ . אז קיימת $B \in \mathbb{F}^{n\times n}$ הפיכה כך ש- $BA$ משולשת עליונה.

הטענה נכונה.
הוכחה:
כל מטריצה $A$ ניתנת לדירוג. כל מטריצה ריבועית מדורגת היא מטריצה משולשת עליונה. לכל פעולת דירוג(פעולה אלמנטרית) קיימת מטריצה אלמנטרית תואמת. כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה.
סדרת הפעולות שקולה לכפל משמאל במכפלת המטריצות האלמנטריות. נסמן את המכפלה $B$ . כאשר $B$ היא הפיכה כי היא מכפלה של הפיכות.
∎

תרגיל (נכון/לא נכון)

תהי $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ . נתון ש- $A^2=0$ .
אז, $I+A,I-A$ מטריצות הפיכות.

הטענה נכונה.
הוכחה:

(I-A)(I+A)=I^2-A+A-A^2=I

ולכן, שתי המטריצות הפיכות ולא רק זה, אלא הן הפוכות אחת של השנייה.
∎

הגדרה 1 (קורדינטות)

יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$ ממימד $n$ . יהי $B$ בסיס סדור של $V$ .

B=\left\{ b_{1},b_{2},\dots,b_{n} \right\}

יהי $v \in V$ . ישנו סט סקלרים יחיד $\left\{ a_{1},a_{2},\dots,a_{n} \right\}\subseteq \mathbb{F}$ כך ש:

v=\sum_{k=1}^na_{k}b_{k}

נקרא לסקלרים אלו קורדינטות של $v$ לפי בסיס $B$ ומסמנים:

[v]_{B}=\begin{pmatrix} a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n} \end{pmatrix}\in \mathbb{F}^n

משפט

תרגיל

יהי $V=\mathbb{R}^{2\times2}$ ותהי $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ויהיו בסיסים:

E=\left\{ e_{1}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix},e_{2}=\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix},e_{3}=\begin{pmatrix} 0&0\\1&0 \end{pmatrix},e_{4}=\begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix} \right\}

B=\left\{ b_{1}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix},b_{2}=\begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix},b_{3}=\begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix},b_{4}=\begin{pmatrix} 1&1\\1&0 \end{pmatrix} \right\}

(אין צורך להוכיח כי $B$ בסיס)

א. מצאו $[A]_{B},[A]_{E}$ .
ב. מצאו מטריצה $C \in \mathbb{R}^{2\times2}$ כך ש- $[C]_{B}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}$

פתרון א':

A=1\cdot e_{1}+2\cdot e_{2}+3\cdot e_{3}+4\cdot e_{4}

\Downarrow

[A]_{E}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4

נבטא את $A$ כצ"ל של $\left\{ b_{1},\dots,b_{4} \right\}$ ובשביל זה נפתור מערכת עם $b_{i}$ עמודות מטריצת המקדמים ו- $A$ עמודת החופשיים:

\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 4 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 3 \end{array}\right)

נוכל לפתור את זה ונקבל כי $\begin{cases}x_{4}=-3\\x_{3}=-1\\x_{2}=6\\x_{1}=5\end{cases}$ וכך נקבל כי:

[A]_{B}=\begin{pmatrix} 5\\6\\-1\\-3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4

פתרון ב':
הסקלרים בקודניטה אומרים לנו כמה צריך לקחת מכל $\underline{b}$ .

C=1\cdot b_{1}+0\cdot b_{2}+0\cdot b_{3}+1\cdot b_{4}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

תרגיל

הערה

זה נכון לכל מרחב, נקח $\mathbb{R}^2$ למען נוחות.

הוכחה:

[v]_{E}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \implies v=0\cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}

הערה

[v]_{E}=[v]_{B}=\begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}

וזה מתרחש למרות ש- $v\neq 0$ .

מטריצות הפיכות

הגדרה 2 (מטריצה הפיכה)

תהי $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ .
$A$ נקראת הפיכה אם קיימת $B \in \mathbb{F}^{n\times n}$ כך ש- $AB=BA=I_{n}$ .

משפט

אם קיימת מטריצה $B$ כזו, אזי היא יחידה.

לכן, נסמן $B=A^{-1}$ ונקרא לה ההפוכה של $A$ .
אלגוריטם:

\left(\begin{array}{ccc|ccc} & & & & & \\ & A & & & I & \\ & & & & & \end{array}\right)\overunderset{\R{\text{נדרג}}}{\R{\text{לקנונית}}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} & & & & & \\ & I & & & A^{-1} & \\ & & & & & \end{array}\right)

תרגיל

תהי $A \in \mathbb{R}^{3\times3}$ .

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\2 & -1 & 3\\4 & 1 & 8 \end{pmatrix}

א. מצאו את $A^{-1}$ .
ב. רשמו את $A^{-1}$ כמכפלה של מטריצות אלמנטריות.

פתרון א':

\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\overrightarrow{\begin{matrix} (1)\; R_{2}= R_{2}-2R_{1} \\ (2)\; R_{3}=R_{3}-4R_{1} \end{matrix}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right)\overrightarrow{(3)\; R_{2}\leftrightarrow R_{3}}

\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right)\overrightarrow{(4)\; R_{3}=R_{3}+R_{2}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right)\overrightarrow{(5)\; R_{3}=-R_{3}}

\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right)\overrightarrow{(6)\; R_{1}=R_{1}-2R_{3}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right)

ולכן:

A^{-1}=\begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}

פתרון ב':

\begin{matrix} E_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & E_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix} & E_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ E_{4}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} & E_{5}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} & E_{6}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix}

A^{-1}=E_{6}\cdot E_{5}\cdot E_{4}\cdot E_{3}\cdot E_{2}\cdot E_{1}\cdot I

הערה

כל המטריצות האלמנטריות הן הפיכות, שכן הן שקולות שורה ל- $I$ ולכל אחת מהן יש פעולה הפוכה.

כעת, סתם בשביל החברה, נרצה לכתוב את $A$ :

A=(A^{-1})^{-1}=(E_{6}\dots E_{1})^{-1}=E_{1}^{-1}\cdot E_{2}^{-1}\dots E_{6}^{-1}

משפט

אם $A,B$ הפיכות, אז $AB$ הפיכה ומתקיים $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .

משפט

המטריצה הריבועית $A$ הפיכה $\iff$ $r(A)=n$ .

משפט

r(AB)\leq \min\left\{ r(A),r(B) \right\}

תרגיל

יהיו $A,B \in \mathbb{F}^{n\times n}$ .
הוכיחו: $AB$ הפיכה $\iff$ $A,B$ הפיכות.

(AB)B^{-1}A^{-1}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{אסוצ'} \end{matrix}}{=}A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I

ולכן, $AB$ הפיכה לפי הגדרה ומתקיים $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .
∎

תרגיל

חשבו:

\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0\\0 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0\\-1 & 1 \end{pmatrix}\right)^{2025}

(EDE^{-1})^{2025}=EDE^{-1}EDE^{-1}\dots E^{-1}EDE^{-1}

נשים לב כי יש לנו הרבה זוגות של מטריצות הפיכות שיצטמצמו ל- $I$ :

ED^{2025}E^{-1}

כאשר אנו מעלים בחזקה מטריצה אלכסונית, היא נשארת אלכסונית ואנו צריכים להעלות בחזקה את האיברים באלכסון.

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2^{2025} & 0 \\ 0 & 5^{2025} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^{2025} & 0 \\ 2^{2025} & 5^{2025} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

ניתן כעת להסתכל על זה כפעולה על עמודות המטריצה השמאלית, כאשר הפעולה היא חיסור העמודה השניה מהעמודה הראשונה:

=\begin{pmatrix} 2^{2025} & 0 \\ 2^{2025}-5^{2025} & 5^{2025} \end{pmatrix}

וזוהי התשובה.

הערה

\begin{pmatrix} d_{1} & 0 \\ 0 & d_{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d_{1} & 0 \\ 0 & d_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} d_{1}^2 & 0 \\ 0 & d_{2}^2 \end{pmatrix}

תרגיל

כמה מטריצות הפיכות קיימות ב- $(\mathbb{Z}_{5})_{2\times2}$ .

תרגיל (נכון/לא נכון)

תהי $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ . אז קיימת $B \in \mathbb{F}^{n\times n}$ הפיכה כך ש- $BA$ משולשת עליונה.

תרגיל (נכון/לא נכון)

תהי $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ . נתון ש- $A^2=0$ .
אז, $I+A,I-A$ מטריצות הפיכות.

הטענה נכונה.
הוכחה:

(I-A)(I+A)=I^2-A+A-A^2=I

ולכן, שתי המטריצות הפיכות ולא רק זה, אלא הן הפוכות אחת של השנייה.
∎