נדרג ונמצא את פתרון הכללי:

נדרג את מערכת המשוואות ממקודם: $\left(\begin{array}{ccccc|c}1&2&0&-1&1&0\\0&0&1&1&3&0\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right)$ ולכן $r(A)=2$. ⇐ (לפי משפט) $\dim(U \cap W)=n-r(A)=5-2=3$.
מצאנו קבוצה פורשת של 3 וקטורים $dim=3$ ⇐ 3 הוקטורים הם בסיס.
לפי הנתון אנו יודעים כי: $3=\dim(U \cap W)\leq \dim U< \dim W$. לפי הנתון השני ולפי משפט, $W$ אינו המרחב כולו ולכן המימד של $W$ לא יכול להיות 5.
כלומר: $3=\dim(U \cap W)\leq \dim U<\dim W\leq 4$. ולכן, קיבלנו כי $\dim W=4$ וכי $\dim U=3$.
מאי השוויון קיבלנו כי $\dim U=\dim(U \cap W)=3$ ולכן אנו יודעים כי $U \subseteq U \cap W$ ולכן, לפי משפט, נקבל כי $U=U \cap W$. ולכן:

האם $U+W=\mathbb{R}^5$?

אם $U \cap W=U$ ⇐ $U \subseteq W$ ⇐ $U+W=W\neq \mathbb{R}^5$.

נעביר אגפים באי השוויון ונקבל $r(B)\leq n-r(A)$. כעת, נוכיח את זה.
בשביל זה נייצג את $B$ כאוסף של עמודות.

על פי הנתון $A\cdot B_{j}=0$ לכל $1\leq j\leq p$. כלומר, כל $B_{j}$ הינו פתרון של המערכת $Ax=0$.
לכן מתקיים:

כנדרש.

הוכחה:

נתבונן בקבוצת המטריצות $\underbrace{\left\{ A^{n^2},A^{n^2-1},\dots,A,I \right\}}_{\R{\text{ מטריצות}}n^2+1}$. בנוסף, אנו יודעים כי $\dim F^{n\times n}=n^2$ ולכן, לפי משפט, קבוצת המטריצות ת"ל.
⇐ לפי הגדרה, קיימים $\left\{ a_{n^2},a_{n^2-1},\dots,a_{1},a_{0} \right\}\in F$ כאשר לא כולם אפס כך ש-$\sum_{k=0}^{n^2}a_{k}\cdot A^k=0$.
נסמן $p(x)=\sum_{k=0}^{n^2}a_{k}A^k$ זהו פולינום אשר לו $\deg p\leq n^2$. כך $p(A)=0$ כנדרש.
∎

פתרון א':
נשים את וקטורי העמודה הללו בשורות של מטריצה, נדרג את המטריצה ונקח רק את השורות שישארו לאחר דירוג והן יהיו בת"ל ופורשת לפי משפט(שני משפטים שונים במקרה הזה) ולכן בסיס.

מכאן אנו יודעים כי $\dim W=3$ והבסיס של $W$ הינו:

פתרון ב':
לפי המשפט, $\dim\left(\begin{matrix}\R{\text{מרחב הפתרונות של}}\\Ax=0\end{matrix}\right)=n-r(A)=-r(A)$
על פי הנתון $W \subseteq \left(\begin{matrix}\R{\text{מרחב הפתרונות של}}\\Ax=0\end{matrix}\right)$ ⇐ $\dim\left(\begin{matrix}\R{\text{מרחב הפתרונות של}}\\Ax=0\end{matrix}\right)\geq 3$. ⇐ $r(A)\in \left\{ 0,1 \right\}$.
על פי הנתון ש-$Ax=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}$ הינה מערכת פתירה, נקבל כי $r(A)\neq0$ ולכן, $r(A)=1$.
פתרון ג':
לפי משפט, $\dim colA=r(A)=1$ ולכן אנו יודעים כי עלינו למצוא רק וקטור אחד. נזכר במשפט:

על פי הנתון, $\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}\in colA$ ולכן, $B_{col A}=\left\{ \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix} \right\}$.
פתרון ד':
אנו יודעים כי $r(A)=1$ ולכן הצורה הכללית היא: $\begin{pmatrix}a&b&c&d\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ כאשר האיבר המוביל של שורה 1 הוא $1$.
מכיוון ש-$\dim W=3$ וגם $4-1$ אזי $W$ זה כל מרחב הפתרונות. נציב את הוקטורים של $B_{W}$ במשוואה: $ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}+dx_{4}=0$ ונקבל כי:

מכיוון שזוהי לא יכולה להיות שורת אפסים, אזי $d\neq0$ ולכן $a\neq0$ ומכיוון שזוהי מטריצה קנונית, אזי $a=1$ ולכן $d=1$ ולכן: $\begin{cases}b=-\frac{1}{2}\\c=\frac{1}{2}\end{cases}$ וזוהי המטריצה: