הגדרה 1 (תלות ליניארית)

$\left\{ v_{1},\dots,v_{n} \right\}$ ת"ל אם קיימים סקלארים לא כולם אפס כך ש:

\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}=\underline{0}

איך בודקים תלות?

שיטה א'

שמים בשורות של מטריצה ומדרגים.
אם שורה מתאפסת, הקבוצה ת"ל.

שיטה ב'

פותרים מערכת משוואות $\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}=0$ .
ואז מקבלים מערכת משוואות הומוגנית שבמטריצת המקדמים יש את הוקטורים בעמודות.

\left(\begin{array}{cccc|c} v_{1} & v_{2} & \dots & v_{n} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \end{array}\right)

ואז, אם למערכת $\infty$ פתרונות אז הקבוצה ת"ל.

הערה

חשוב לא לשכוח את שורת האפסים - אפילו אם יוסי לא כותב אותה.

משפטים

משפט

כל קבוצה שמכילה את וקטור האפס - ת"ל
כל קבוצה בת וקטור אחד ששונה מאפס - בת"ל
שני וקטורים ת"ל ⇔ הם פרופורציונליים.
כל $n+1$ וקטורים(ויותר) ב- $\mathbb{F}^n$ - ת"ל.
בקבוצה ת"ל שלא מכילה את וקטור האפס, יש וקטור שהוא צירוף ליניארי של קודמיו.
בקבוצה ת"ל שלא מכילה את וקטור האפס, יש וקטור שהוא צירוף ליניארי של אלו שאחריו.
כל קבוצה שמוכלת בקבוצה בת"ל, גם בת"ל.
שורות שונות מ- $0$ במטריצה מדורגת, הן בת"ל.

תרגיל (נכון/לא נכון)

\R{\text{ בת"ל}} \left\{ v_{1},v_{2},v_{3} \right\}\impliedby \begin{cases} \R{\text{ בת"ל}}\left\{ v_{1},v_{2} \right\} \\ \R{\text{ בת"ל}}\left\{ v_{1},v_{3} \right\} \\ \R{\text{ בת"ל}}\left\{ v_{2},v_{3} \right\} \end{cases}

הטענה לא נכונה.
נקח דוגמה נגדית:

sp\left\{ (1,0,0),(0,1,0),(2,3,0) \right\}

כל שני וקטורים פה בת"ל, אך הקבוצה כן בת"ל.

\alpha_{1}(1,0,0)+\alpha_{2}(0,1,0)+\alpha_{3}(2,3,0)=(0,0,0)

\begin{cases} \alpha_{1}+2\alpha_{3}=0 \\ \alpha_{2}+3\alpha_{3}=0 \\ 0=0 \end{cases}\implies \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\implies (-2\alpha_{3},-3\alpha_{3},\alpha_{3})

תרגיל

הקבוצה $\left\{ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \right\}$ בת"ל.
עבור איזה ערך של $k$ הקבוצה הבאה ת"ל?

\left\{ v_{1}+v_{2}-v_{4},kv_{1}-v_{3}+v_{4},v_{2}+kv_{3}-2v_{4} \right\}

נתחיל בלכתוב את המשוואה:

\alpha_{1}(\underbracket{v_{1}+v_{2}-v_{4}}_{w_{1}})+\alpha_{2}(\underbracket{kv_{1}-v_{3}+v_{4}}_{w_{2}})+\alpha_{3}(\underbracket{v_{2}+kv_{3}-2v_{4}}_{w_{3}})=0

\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{1}v_{2}-\alpha_{1}v_{4}+\alpha_{2}kv_{1}-\alpha_{2}v_{3}+\alpha_{2}v_{4}+\alpha_{3}v_{2}+\alpha_{3}kv_{3}-\alpha_{3}2v_{4}=0

(\alpha_{1}+\alpha_{2}k)v_{1}+(\alpha_{1}+\alpha_{3})v_{2}+(\alpha_{3}k-\alpha_{2})v_{3}+(\alpha_{2}-2\alpha_{3}-\alpha_{1})v_{4}=0

נתון לנו כי $\left\{ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \right\}$ בת"ל ולכן, המקדמים חייבים להיות שווים ל- $0$ .

\begin{cases} \alpha_{1}+k\alpha_{2}=0 \\ \alpha_{1}+\alpha_{3}=0 \\ k\alpha_{3}-\alpha_{2}=0 \\ \alpha_{2}-2\alpha_{3}-\alpha_{1}=0 \end{cases}

נפתור ממ"ל:

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & k & 0 & 0 \\ 0 & -1 & k & 0 \\ -1 & 1 & -2 & 0 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -k & 0 \\ 0 & 0 & -1+k & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

אם $k\neq1$ יש פתרון יחיד, כלומר: $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0$ .
אם $k=1$ אזי $\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)$ ואז וקטור הפתרונות הינו $(-\alpha_{3},\alpha3,\alpha_{3})$ .
תשובה סופית:

עבור $k=1$ הוקטורים ת"ל. $-w_{1}+w_{2}+w_{3}=0$ .
עבור $k\neq 1$ הוקטורים בת"ל.

בסיס ומימד

הגדרה 2 (בסיס)

בסיס למרחב וקטורי זה:
$\quad$ קבוצה פורשת מינימלית.
או
$\quad$ קבוצה בת"ל מקסימלית
או
$\quad$ קבוצה פורשת ובת"ל

הגדרה 3 (מימד)

מספר הוקטורים בבסיס.

משפט

הבסיס הוא:

קבוצה פורשת
קבוצה בת"ל
מספר האיברים בקבוצה = מימד

כל שניים, גוררים את השלישי.

משפט (המימדים)

\dim(U+W)=\dim U+\dim W -\dim(U \cap W)

תרגיל

נתון:

W=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{pmatrix} & \begin{matrix} c+d+e=0 \\ a+2b+c+4d+e=0 \\ a+2b+3d=0 \end{matrix} \end{array}\right\}

U=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

א. מצאו בסיס ומימד ל- $U$ , $W$ , $U+W,U \cap W$ .

נתחיל בלמצוא בסיס ל- $U$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

נדרג ונקבל:

U=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

מכיוון שהקבוצה הזו הינה פורשת ובת"ל(נדרש להוכחה, אבל - ברור) היא בסיס ל- $U$ ולכן, המימד $4$ .
המ"ו $W$ הוא בעצם קבוצת הפתרונות של מערכת המשוואות הבאה:

\left(\begin{array}{cccccc|c} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

ישנם איברים חופשיים והם יהיו: $b,d,e,f$ . לכן, הפתרון לממ"ל הוא:

(-2b-3d,b,-d-e,d,e,f)

מימד מרחב הפתרונות הוא $n-r(A)=6-2=4$ .

W=sp\left\{ \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -3 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

כעת, נעבור ל- $U \cap W$ :

U \cap W=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} -2b-3d & b & -d-e \\ d & e & f \end{pmatrix} & d=b,e=b \end{array} \right\}=\left\{ \begin{pmatrix} -5b & b & -2b \\ b & b & f \end{pmatrix} \right\}

המימד הינו מספר האותיות באיבר הכללי ולכן, המימד הוא $2$ .

U \cap W= sp\left\{ \begin{pmatrix} -5 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

זוהי קבוצה פורשת מינימלית ולכן זהו בסיס.
על פי משפט המימדים הראשון:

\dim(U+W)=\underbrace{\dim U}_{4}+\underbrace{\dim W}_{4}-\underbrace{\dim (U \cap W)}_{2}=6

מכיוון שמספר האיברים במטריצה $2\times 3$ כללית הוא 6, כל שישיית מטריצות בת"ל פורשת את $U+W$ .

U+W=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}

תשובה סופית:

\begin{array}{c|c} \R{\text{איבר כללי}} & \R{\text{מימד}} & \R{\text{בסיס}} \\ \hline \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \beta & \beta & \delta \end{pmatrix} & 4 & \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix} & U \\ \hline \begin{pmatrix} -2\alpha-3\beta & \alpha & -\beta-\gamma \\ \beta & \gamma & \delta \end{pmatrix} & 4 & \begin{matrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} -3 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix} & W \\ \hline \begin{pmatrix} -5\alpha & \alpha & -2\alpha \\ \alpha & \alpha & \beta \end{pmatrix} & 2 & \begin{matrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix} & U \cap W \\ \hline \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} & 6 & \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix} & U+W \\ \hline \end{array}

משפט

מימד $\mathbb{F}^{n\times m}$ = $m\times n$ (מעל $\mathbb{F}$ )
מימד $\mathbb{F}_{n}[x]$ = $n+1$ (מעל $\mathbb{F}$ )

למרחב ממימד $n$ , יש $\infty$ ת"מ ממימד $n>$ (וגדול מאפס).
יש ת"מ אחד ממימד $n$ והוא המרחב עצמו.
יש ת"מ אחד ממימד $0$ והוא המרחב $\left\{ 0 \right\}$ .

תרגיל (המשך של הקודם)

ב. מצאו ת"מ $Z$ כך ש: $Z \oplus U=\mathbb{F}^{2 \times3}$ .

כדי שהסכום יהיה סכם ישר, נדרש כי החיתוך בין $Z$ ל- $U$ יהיה $0$ ולכן, נדרוש שאף שורה לא תתאפס. לכן, לפי משפט המימדים הראשון, נדרש שהמימד של $Z$ יהיה $2$ . לכן, נבחר את $Z$ להיות:

Z=sp\left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right\}

ולכן, זוהי התשובה ל-ב'.

הגדרה 1 (תלות ליניארית)

$\left\{ v_{1},\dots,v_{n} \right\}$ ת"ל אם קיימים סקלארים לא כולם אפס כך ש:

\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}=\underline{0}

איך בודקים תלות?

שיטה א'

שמים בשורות של מטריצה ומדרגים.
אם שורה מתאפסת, הקבוצה ת"ל.

שיטה ב'

\left(\begin{array}{cccc|c} v_{1} & v_{2} & \dots & v_{n} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \end{array}\right)

ואז, אם למערכת $\infty$ פתרונות אז הקבוצה ת"ל.

הערה

חשוב לא לשכוח את שורת האפסים - אפילו אם יוסי לא כותב אותה.

משפטים

משפט

כל קבוצה שמכילה את וקטור האפס - ת"ל
כל קבוצה בת וקטור אחד ששונה מאפס - בת"ל
שני וקטורים ת"ל ⇔ הם פרופורציונליים.
כל $n+1$ וקטורים(ויותר) ב- $\mathbb{F}^n$ - ת"ל.
בקבוצה ת"ל שלא מכילה את וקטור האפס, יש וקטור שהוא צירוף ליניארי של קודמיו.
בקבוצה ת"ל שלא מכילה את וקטור האפס, יש וקטור שהוא צירוף ליניארי של אלו שאחריו.
כל קבוצה שמוכלת בקבוצה בת"ל, גם בת"ל.
שורות שונות מ- $0$ במטריצה מדורגת, הן בת"ל.

תרגיל (נכון/לא נכון)

\R{\text{ בת"ל}} \left\{ v_{1},v_{2},v_{3} \right\}\impliedby \begin{cases} \R{\text{ בת"ל}}\left\{ v_{1},v_{2} \right\} \\ \R{\text{ בת"ל}}\left\{ v_{1},v_{3} \right\} \\ \R{\text{ בת"ל}}\left\{ v_{2},v_{3} \right\} \end{cases}

הטענה לא נכונה.
נקח דוגמה נגדית:

sp\left\{ (1,0,0),(0,1,0),(2,3,0) \right\}

כל שני וקטורים פה בת"ל, אך הקבוצה כן בת"ל.

\alpha_{1}(1,0,0)+\alpha_{2}(0,1,0)+\alpha_{3}(2,3,0)=(0,0,0)

\begin{cases} \alpha_{1}+2\alpha_{3}=0 \\ \alpha_{2}+3\alpha_{3}=0 \\ 0=0 \end{cases}\implies \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\implies (-2\alpha_{3},-3\alpha_{3},\alpha_{3})

תרגיל

הקבוצה $\left\{ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \right\}$ בת"ל.
עבור איזה ערך של $k$ הקבוצה הבאה ת"ל?

\left\{ v_{1}+v_{2}-v_{4},kv_{1}-v_{3}+v_{4},v_{2}+kv_{3}-2v_{4} \right\}

נתחיל בלכתוב את המשוואה:

\alpha_{1}(\underbracket{v_{1}+v_{2}-v_{4}}_{w_{1}})+\alpha_{2}(\underbracket{kv_{1}-v_{3}+v_{4}}_{w_{2}})+\alpha_{3}(\underbracket{v_{2}+kv_{3}-2v_{4}}_{w_{3}})=0

\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{1}v_{2}-\alpha_{1}v_{4}+\alpha_{2}kv_{1}-\alpha_{2}v_{3}+\alpha_{2}v_{4}+\alpha_{3}v_{2}+\alpha_{3}kv_{3}-\alpha_{3}2v_{4}=0

(\alpha_{1}+\alpha_{2}k)v_{1}+(\alpha_{1}+\alpha_{3})v_{2}+(\alpha_{3}k-\alpha_{2})v_{3}+(\alpha_{2}-2\alpha_{3}-\alpha_{1})v_{4}=0

נתון לנו כי $\left\{ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \right\}$ בת"ל ולכן, המקדמים חייבים להיות שווים ל- $0$ .

\begin{cases} \alpha_{1}+k\alpha_{2}=0 \\ \alpha_{1}+\alpha_{3}=0 \\ k\alpha_{3}-\alpha_{2}=0 \\ \alpha_{2}-2\alpha_{3}-\alpha_{1}=0 \end{cases}

נפתור ממ"ל:

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & k & 0 & 0 \\ 0 & -1 & k & 0 \\ -1 & 1 & -2 & 0 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -k & 0 \\ 0 & 0 & -1+k & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

עבור $k=1$ הוקטורים ת"ל. $-w_{1}+w_{2}+w_{3}=0$ .
עבור $k\neq 1$ הוקטורים בת"ל.

בסיס ומימד

הגדרה 2 (בסיס)

בסיס למרחב וקטורי זה:
$\quad$ קבוצה פורשת מינימלית.
או
$\quad$ קבוצה בת"ל מקסימלית
או
$\quad$ קבוצה פורשת ובת"ל

הגדרה 3 (מימד)

מספר הוקטורים בבסיס.

משפט

הבסיס הוא:

קבוצה פורשת
קבוצה בת"ל
מספר האיברים בקבוצה = מימד

כל שניים, גוררים את השלישי.

משפט (המימדים)

\dim(U+W)=\dim U+\dim W -\dim(U \cap W)

תרגיל

נתון:

W=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{pmatrix} & \begin{matrix} c+d+e=0 \\ a+2b+c+4d+e=0 \\ a+2b+3d=0 \end{matrix} \end{array}\right\}

U=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

א. מצאו בסיס ומימד ל- $U$ , $W$ , $U+W,U \cap W$ .

נתחיל בלמצוא בסיס ל- $U$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

נדרג ונקבל:

U=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

\left(\begin{array}{cccccc|c} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

ישנם איברים חופשיים והם יהיו: $b,d,e,f$ . לכן, הפתרון לממ"ל הוא:

(-2b-3d,b,-d-e,d,e,f)

מימד מרחב הפתרונות הוא $n-r(A)=6-2=4$ .

W=sp\left\{ \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -3 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

כעת, נעבור ל- $U \cap W$ :

U \cap W=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} -2b-3d & b & -d-e \\ d & e & f \end{pmatrix} & d=b,e=b \end{array} \right\}=\left\{ \begin{pmatrix} -5b & b & -2b \\ b & b & f \end{pmatrix} \right\}

המימד הינו מספר האותיות באיבר הכללי ולכן, המימד הוא $2$ .

U \cap W= sp\left\{ \begin{pmatrix} -5 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

זוהי קבוצה פורשת מינימלית ולכן זהו בסיס.
על פי משפט המימדים הראשון:

\dim(U+W)=\underbrace{\dim U}_{4}+\underbrace{\dim W}_{4}-\underbrace{\dim (U \cap W)}_{2}=6

מכיוון שמספר האיברים במטריצה $2\times 3$ כללית הוא 6, כל שישיית מטריצות בת"ל פורשת את $U+W$ .

U+W=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}

תשובה סופית:

\begin{array}{c|c} \R{\text{איבר כללי}} & \R{\text{מימד}} & \R{\text{בסיס}} \\ \hline \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \beta & \beta & \delta \end{pmatrix} & 4 & \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix} & U \\ \hline \begin{pmatrix} -2\alpha-3\beta & \alpha & -\beta-\gamma \\ \beta & \gamma & \delta \end{pmatrix} & 4 & \begin{matrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} -3 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix} & W \\ \hline \begin{pmatrix} -5\alpha & \alpha & -2\alpha \\ \alpha & \alpha & \beta \end{pmatrix} & 2 & \begin{matrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix} & U \cap W \\ \hline \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} & 6 & \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix} & U+W \\ \hline \end{array}

משפט

מימד $\mathbb{F}^{n\times m}$ = $m\times n$ (מעל $\mathbb{F}$ )
מימד $\mathbb{F}_{n}[x]$ = $n+1$ (מעל $\mathbb{F}$ )

תרגיל (המשך של הקודם)

ב. מצאו ת"מ $Z$ כך ש: $Z \oplus U=\mathbb{F}^{2 \times3}$ .

Z=sp\left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right\}

ולכן, זוהי התשובה ל-ב'.

13 - עוד קצת תל ובתל וגם בסיס ומימד

אלגברה אמ

עוד קצת תל ובתל וגם בסיס ומימד

13 - עוד קצת תל ובתל וגם בסיס ומימד

אלגברה אמ

עוד קצת תל ובתל וגם בסיס ומימד

איך בודקים תלות?

שיטה א'

שיטה ב'

משפטים

בסיס ומימד

איך בודקים תלות?

שיטה א'

שיטה ב'

משפטים

בסיס ומימד