U = { 2 × 2 מטריצות סימטריות } , W = { ( 0 1 − 1 0 ) מתחלפות בכפל עם } U=\{ 2\times2\R{\text{מטריצות סימטריות }} \}, \qquad W=\left\{ \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \R{\text{מתחלפות בכפל עם }} \right\} U = { 2 × 2 מטריצות סימטריות } , W = { ( 0 − 1 1 0 ) מתחלפות בכפל עם } נכתוב בשלושת הדרכים את שתי הקבוצות הללו:
U = { ( a b b c ) } = { ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) x 1 = x 2 } = s p { ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) ⏟ קבוצה פורשת } ⏟ המרחב הנפרש U=\left\{ \begin{pmatrix}
a & b \\
b & c
\end{pmatrix} \right\}=\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}
\end{pmatrix} & x_{1}=x_{2}
\end{array} \right\}=\underbrace{sp\left\{ \underbrace{\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}}_{\R{\text{קבוצה פורשת}}} \right\}}_{\R{\text{המרחב הנפרש}}} U = { ( a b b c ) } = { ( x 1 x 3 x 2 x 4 ) x 1 = x 2 } = המרחב הנפרש s p ⎩ ⎨ ⎧ קבוצה פורשת ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) ⎭ ⎬ ⎫ נסתכל על הקבוצה השנייה:
( a b c d ) ( 0 1 − 1 0 ) = ( 0 1 − 1 0 ) ( a b c d ) \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} ( a c b d ) ( 0 − 1 1 0 ) = ( 0 − 1 1 0 ) ( a c b d ) ( − b a − d c ) = ( c d − a − b ) \begin{pmatrix}
-b & a \\
-d & c
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
c & d \\
-a & -b
\end{pmatrix} ( − b − d a c ) = ( c − a d − b ) { − b = c a = d − d = − a c = b \begin{cases}
-b=c \\
a=d \\
\xcancel{-d=-a} \\
\xcancel{c=b}
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ − b = c a = d − d = − a c = b W = { ( a b − b a ) } = { ( a b c d ) a = d , b = − c } = s p { ( 1 0 0 1 ) , ( 0 1 − 1 0 ) } W=\left\{ \begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix} \right\}=\left\{\begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} & a=d,b=-c
\end{array}\right\}=sp\left\{ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} \right\} W = { ( a − b b a ) } = { ( a c b d ) a = d , b = − c } = s p { ( 1 0 0 1 ) , ( 0 − 1 1 0 ) } נבצע חיתוך וחיבור:
U ∩ W = { ( a b − b a ) b = − b } = { ( a 0 0 a ) } = s p { ( 1 0 0 1 ) } U \cap W=\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}
a&b \\
-b&a
\end{pmatrix} & b=-b
\end{array} \right\}=\left\{ \begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & a
\end{pmatrix} \right\}=sp\left\{ \begin{pmatrix}
1&0 \\
0&1
\end{pmatrix} \right\} U ∩ W = { ( a − b b a ) b = − b } = { ( a 0 0 a ) } = s p { ( 1 0 0 1 ) } U + W = s p { ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) ⏟ קבוצה פורשת של U , ( 1 0 0 1 ) , ( 0 1 − 1 0 ) ⏟ קבוצה פורשת של W } = ↓ נבצע קינון U+W=sp\left\{ \underbrace{\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}}_{\R{\text{קבוצה פורשת של U}}},\underbrace{\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}}_{\R{\text{קבוצה פורשת של W}}} \right\}\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{נבצע}} \\
\R{\text{קינון}}
\end{matrix}}{=} U + W = s p ⎩ ⎨ ⎧ קבוצה פורשת של U ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) , קבוצה פורשת של W ( 1 0 0 1 ) , ( 0 − 1 1 0 ) ⎭ ⎬ ⎫ ↓ נבצע קינון = s p { ( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 1 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } = C 2 × 2 sp\left\{ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right\}=\mathbb{C}^{2\times2} s p { ( 1 0 0 0 ) , ( 0 0 1 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 0 1 ) } = C 2 × 2 האם הסכום הוא ישר?
סכום של תתי מרחבים יקרא ישר אם יש דרך אחת ויחידה להציג כל איבר מהסכום כסכום של איברים מתתי המרחב.
זהו סכום ישר:
R 3 = { ( a , 0 , 0 ) } ⊕ { ( 0 , b , c ) } \mathbb{R}^3=\left\{ (a,0,0) \right\}\oplus\left\{ (0,b,c) \right\} R 3 = { ( a , 0 , 0 ) } ⊕ { ( 0 , b , c ) } { ( a , 0 , 0 ) } ⊕ { ( 0 , 0 , c ) } \left\{ (a,0,0) \right\}\oplus\left\{ (0,0,c) \right\} { ( a , 0 , 0 ) } ⊕ { ( 0 , 0 , c ) } R 3 = { ( a , a , a ) } ⊕ { ( 0 , b , c ) } \mathbb{R}^3=\left\{ (a,a,a) \right\}\oplus \left\{ (0,b,c) \right\} R 3 = { ( a , a , a ) } ⊕ { ( 0 , b , c ) } זהו סכום שאינו ישר:
R 3 = { ( a , b , 0 ) } + { ( 0 , b , c ) } \mathbb{R}^3=\left\{ (a,b,0) \right\}+\left\{ (0,b,c) \right\} R 3 = { ( a , b , 0 ) } + { ( 0 , b , c ) }
סכום שני תתי מרחבים יהיה ישר ⇔ החיתוך ביניהם הוא רק האפס.
איך בודקים אם ווקטור מסויים w ∈ s p { v 1 , … , v n } w \in sp\left\{ v_{1},\dots,v_{n} \right\} w ∈ s p { v 1 , … , v n }
דרך א': נפתור מערכת משוואות: האם קיממים α 1 , … , α k \alpha_{1},\dots,\alpha _k α 1 , … , α k α 1 v 1 + ⋯ + α k v k = w \alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{k}v_{k}=w α 1 v 1 + ⋯ + α k v k = w
דרך ב': למצוא איבר כללי "יפה" ולראות אם w w w
דרך ג': לסדר את v 1 , … , v k v_{1},\dots,v_{k} v 1 , … , v k w w w w w w
שני קבוצות תפרושנה את אותו מרחב ⇔ הצורה הקנונית שלהן זהה.
האם מתקיים:
( 1 1 1 1 ) ∈ s p { ( 1 2 3 4 ) , ( 5 1 5 7 ) } \begin{pmatrix}
1 & 1\\1 & 1
\end{pmatrix}\in sp\left\{ \begin{pmatrix}
1 & 2\\3 & 4
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
5 & 1\\5 & 7
\end{pmatrix} \right\} ( 1 1 1 1 ) ∈ s p { ( 1 3 2 4 ) , ( 5 5 1 7 ) } נציב במטריצה ונקנן:
( 1 2 3 4 5 1 5 7 1 1 1 1 ) ⟶ נגיד ש ( 1 0 3 0 0 1 5 0 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\5 & 1 & 5 & 7\\1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\overset{\R{\text{נגיד ש}}}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 0\\0 & 1 & 5 & 0\\0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} 1 5 1 2 1 1 3 5 1 4 7 1 ⟶ נגיד ש 1 0 0 0 1 0 3 5 0 0 0 1 ולכן, אנו יודעים כי > ( 1 1 1 1 ) ∉ s p { ( 1 2 3 4 ) , ( 5 1 5 7 ) } > \begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}\not\in sp\left\{ \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5 & 1\\5 & 7\end{pmatrix} \right\} > ( 1 1 1 1 ) ∈ s p { ( 1 3 2 4 ) , ( 5 5 1 7 ) }
יהא V V V A , B A,B A , B V V V A ∩ B = ∅ A \cap B=\emptyset A ∩ B = ∅ s p A ∩ s p B = { 0 } spA \cap spB=\left\{ 0 \right\} s p A ∩ s pB = { 0 }
זה לא נכון .A = { ( 1 , 0 ) } B = { ( 2 , 0 ) } \begin{matrix}A=\left\{ (1,0) \right\}\\B=\left\{ (2,0) \right\}\end{matrix} A = { ( 1 , 0 ) } B = { ( 2 , 0 ) } A ∩ B = ∅ A \cap B=\emptyset A ∩ B = ∅ s p A = s p B = { ( x , 0 ) } spA=spB=\left\{ (x,0) \right\} s p A = s pB = { ( x , 0 ) }
יהא V V V A , B A,B A , B V V V A ∩ B = ∅ A \cap B=\emptyset A ∩ B = ∅ s p A ∩ s p B = { 0 } spA \cap spB=\left\{ 0 \right\} s p A ∩ s pB = { 0 }
זה גם לא נכון .A = { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 0 ) } B = { ( 0 , 1 ) , ( 0 , 0 ) } \begin{matrix}A=\left\{ (1,0),(0,0) \right\}\\B=\left\{ (0,1),(0,0) \right\}\end{matrix} A = { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 0 ) } B = { ( 0 , 1 ) , ( 0 , 0 ) } s p A ∩ s p B = { ( 0 , 0 ) } spA \cap spB=\left\{ (0,0) \right\} s p A ∩ s pB = { ( 0 , 0 ) } A ∩ B = { ( 0 , 0 ) } A \cap B=\left\{ (0,0) \right\} A ∩ B = { ( 0 , 0 ) }
0 ∉ A , s p A ∩ s p B = { 0 } ⟹ A ∩ B = ∅ 0 \not\in A, spA \cap spB=\left\{ 0 \right\}\implies A \cap B=\emptyset 0 ∈ A , s p A ∩ s pB = { 0 } ⟹ A ∩ B = ∅ הטענה נכונה .w ∈ A ∩ B w \in A \cap B w ∈ A ∩ B w ∈ s p A , w ∈ s p B w \in spA,w \in spB w ∈ s p A , w ∈ s pB w ∈ s p A ∩ s p B w \in spA \cap spB w ∈ s p A ∩ s pB
אם V 1 ⊕ V 3 = V 1 ⊕ V 2 V_{1} \oplus V_{3}=V_{1} \oplus V_{2} V 1 ⊕ V 3 = V 1 ⊕ V 2 V 2 = V 3 V_{2}=V_{3} V 2 = V 3
הטענה אינה נכונה .
V 1 = { ( x , 0 ) } , V 2 = { ( 0 , y ) } , V 3 = s p { ( 1 , 1 ) } = { ( a , a ) } V_{1}=\left\{ (x,0) \right\},V_{2}=\left\{ (0,y) \right\},V_{3}=sp\left\{ (1,1) \right\}=\left\{ (a,a) \right\} V 1 = { ( x , 0 ) } , V 2 = { ( 0 , y ) } , V 3 = s p { ( 1 , 1 ) } = { ( a , a ) }
V 2 ∩ V 3 = { 0 } , V 1 ∩ V 3 = { 0 } , V 1 ∩ V 2 = { 0 } V_{2} \cap V_{3}=\left\{ 0 \right\},V_{1} \cap V_{3}=\left\{ 0 \right\}, V_{1} \cap V_{2}=\left\{ 0 \right\} V 2 ∩ V 3 = { 0 } , V 1 ∩ V 3 = { 0 } , V 1 ∩ V 2 = { 0 } V 1 + V 2 + V 3 V_{1}+V_{2}+V_{3} V 1 + V 2 + V 3
הטענה אינה נכונה .
V 1 = s p { ( 1 , 1 ) } , V 2 = s p { ( 1 , 0 ) } , V 3 = s p { ( 0 , 1 ) } V_{1}=sp\left\{ (1,1) \right\},V_{2}=sp\left\{ (1,0) \right\},V_{3}=sp\left\{ (0,1) \right\} V 1 = s p { ( 1 , 1 ) } , V 2 = s p { ( 1 , 0 ) } , V 3 = s p { ( 0 , 1 ) } ( 1 , 2 ) = ( 2 , 2 ) + ( 1 , 0 ) + ( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 ) + ( 1 , 0 ) + ( 0 , 2 ) (1,2)=(2,2)+(1,0)+(0,0)=(0,0)+(1,0)+(0,2) ( 1 , 2 ) = ( 2 , 2 ) + ( 1 , 0 ) + ( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 ) + ( 1 , 0 ) + ( 0 , 2 ) אלו שתי צורות ייצוג שונות לאותו הוקטור.
סכום של k k k
∀ w i : w i ∩ ( w 1 + w 2 + ⋯ + w i − 1 + w i + 1 + ⋯ + w k ) = { 0 } \forall w_{i}:\; w_{i}\cap(w_{1}+w_{2}+\dots+w_{i-1}+w_{i+1}+\dots+w_{k})=\left\{ 0 \right\} ∀ w i : w i ∩ ( w 1 + w 2 + ⋯ + w i − 1 + w i + 1 + ⋯ + w k ) = { 0 } תלות ליניארית
קבוצת ווקטורים { v 1 , … , v k } \left\{ v_{1},\dots ,v_{k} \right\} { v 1 , … , v k } תלויה ליניארית אם קיים בה ווקטור שהוא צירוף ליניארי של האחרים.או: α 1 v 1 + α 2 v 2 + ⋯ + α k v k = 0 ‾ \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\dots+\alpha_{k}v_{k}=\underline{0} α 1 v 1 + α 2 v 2 + ⋯ + α k v k = 0
האם הקבוצה הבאה ת"ל?
{ ( 1 , 1 , 2 ) , ( 2 , 8 , 1 ) , ( 1 , 3 , 1 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } \left\{ (1,1,2),(2,8,1),(1,3,1),(0,0,1) \right\} { ( 1 , 1 , 2 ) , ( 2 , 8 , 1 ) , ( 1 , 3 , 1 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } { α 1 + 2 α 2 + α 3 = 0 α 1 + 8 α 2 + 3 α 3 = 0 2 α 1 + α 2 + α 3 + α 4 = 0 \begin{cases}
\alpha_{1}+2\alpha_{2}+\alpha_{3}=0 \\
\alpha_{1}+8\alpha_{2}+3\alpha_{3}=0 \\
2\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=0
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ α 1 + 2 α 2 + α 3 = 0 α 1 + 8 α 2 + 3 α 3 = 0 2 α 1 + α 2 + α 3 + α 4 = 0 נשים אותם במטריצה ונקנן. אם למערכת יש פתרון יחיד, אזי הקבוצה בת"ל(בלתי תלויה ליניארית). אם יש ∞ \infty ∞
( 1 2 1 0 1 8 3 0 2 1 1 1 ) … → ( 1 0 1 3 0 0 1 1 3 0 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 8 & 3 & 0 \\
2 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\overrightarrow{\dots}\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\
0 & 1 & \frac{1}{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} 1 1 2 2 8 1 1 3 1 0 0 1 … 1 0 0 0 1 0 3 1 3 1 0 0 0 1 יש ∞ \infty ∞
שיטה שנייה לבדיקת תלות:
לסדר את הווקטורים הנתונים בשורות של מטריצה.
לדרג את המטריצה.
אם שורה התאפסה, אז הקבוצה ת"ל.
בדקו אם הקבוצה הבאה ת"ל.
{ ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 2 , 1 , 0 , − 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 ) } \left\{ (1,2,3,4),(2,1,0,-1),(1,1,1,1) \right\} { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 2 , 1 , 0 , − 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 ) } אופציה ב': נסדר בשורות של מטריצה ונבדוק האם אחת השורות מתאפסת.
( 1 2 3 4 2 1 0 − 1 1 1 1 1 ) R 2 = R 2 − 2 R 1 R 3 = R 3 − R 1 → ( 1 2 3 4 0 − 3 − 6 − 9 0 − 1 − 2 − 3 ) R 3 = R 3 − 1 3 R 2 → ( 1 2 3 4 0 − 3 − 6 − 9 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 1 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\overrightarrow{\begin{matrix}
R_{2}=R_{2}-2R_{1} \\
R_{3}=R_{3}-R_{1}
\end{matrix}}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -3 & -6 & -9 \\
0 & -1 & -2 & -3
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{3}=R_{3}-\frac{1}{3}R_{2}}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -3 & -6 & -9 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} 1 2 1 2 1 1 3 0 1 4 − 1 1 R 2 = R 2 − 2 R 1 R 3 = R 3 − R 1 1 0 0 2 − 3 − 1 3 − 6 − 2 4 − 9 − 3 R 3 = R 3 − 3 1 R 2 1 0 0 2 − 3 0 3 − 6 0 4 − 9 0 שורה התאפסה ולכן הקבוצה הינה ת"ל.
אופציה א': לסדר בעמודות ולפתור מערכת משוואות. השאלה: פתרון יחיד/∞ \infty ∞
( 1 2 1 2 1 1 3 0 1 4 − 1 1 ) → … \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 1 \\
4 & -1 & 1
\end{pmatrix}\to\dots 1 2 3 4 2 1 0 − 1 1 1 1 1 → …
{ v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } \left\{ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \right\} { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } k k k
{ ( v 1 + v 2 − v 4 , k v 1 − v 3 + v 4 , v 2 + k v 3 − 2 v 4 ) } \left\{ (v_{1}+v_{2}-v_{4},kv_{1}-v_{3}+v_{4},v_{2}+kv_{3}-2v_{4}) \right\} { ( v 1 + v 2 − v 4 , k v 1 − v 3 + v 4 , v 2 + k v 3 − 2 v 4 ) } חייבים ללכת לפי הגדרה. השיטה השנייה לא תעבוד פה.
α 1 ( v 1 + v 2 − v 4 ) + α 2 ( k v 1 − v 3 + v 4 ) + α 3 ( v 2 + k v 3 − 2 v 4 ) = 0 \alpha_{1}(v_{1}+v_{2}-v_{4})+\alpha_{2}(kv_{1}-v_{3}+v_{4})+\alpha_{3}(v_{2}+kv_{3}-2v_{4})=0 α 1 ( v 1 + v 2 − v 4 ) + α 2 ( k v 1 − v 3 + v 4 ) + α 3 ( v 2 + k v 3 − 2 v 4 ) = 0 ונבדוק האם למערכת פתרון יחיד/∞ \infty ∞
v 1 ( α 1 + k α 2 ) + v 2 ( α 1 + α 3 ) + v 3 ( k α 3 − α 2 ) + v 4 ( − α 1 + α 2 − 2 α 3 ) = 0 v_{1}(\alpha_{1}+k\alpha_{2})+v_{2}(\alpha_{1}+\alpha_{3})+v_{3}(k\alpha_{3}-\alpha_{2})+v_{4}(-\alpha_{1}+\alpha_{2}-2\alpha_{3})=0 v 1 ( α 1 + k α 2 ) + v 2 ( α 1 + α 3 ) + v 3 ( k α 3 − α 2 ) + v 4 ( − α 1 + α 2 − 2 α 3 ) = 0 מכיוון שהקבוצה בת"ל, אנו יודעים כי כל המקדמים 0.
{ α 1 + k α 2 = 0 α 1 + α 3 = 0 k α 3 − α 2 = 0 α 2 − α 1 − 2 α 3 = 0 \begin{cases}
\alpha_{1}+k\alpha_{2}=0 \\
\alpha_{1}+\alpha_{3}=0 \\
k\alpha_{3}-\alpha_{2}=0 \\
\alpha_{2}-\alpha_{1}-2\alpha_{3}=0
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ α 1 + k α 2 = 0 α 1 + α 3 = 0 k α 3 − α 2 = 0 α 2 − α 1 − 2 α 3 = 0 ( 1 k 0 0 1 0 1 0 0 − 1 k 0 − 1 1 − 2 0 ) → … \begin{pmatrix}
1 & k & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & k & 0 \\
-1 & 1 & -2 & 0
\end{pmatrix}\to \dots 1 1 0 − 1 k 0 − 1 1 0 1 k − 2 0 0 0 0 → …