יהי $V$ מ"ו. אזי, אם $W \subseteq V$ ו- $W=\{ v \in V|\underbrace{\qquad \qquad \qquad}_{\R{\text{מע' משוואות ליניארית הומו'}}} \}$ , אזי $W$ הינו ת"מ.

תרגיל

V=\mathbb{F}^3

W=\{ (a,b,c)|(a+b)^2+c^2=0 \}

האם $W$ ת"מ?

מעל $\mathbb{R}$ הוא כן ת"מ ומעל $\mathbb{C}$ הוא לא ת"מ.

תרגיל

אוסף כל המטריצות $3\times3$ מדרגה $2\geq$ .
האם זה ת"מ של כל המטריצות $3\times 3$ ?

לא מכיוון שלא סגור לחיבור - ראו בש.ב. בגליון 5, שאלה 5 - הוכחתי את זה שם למקרה קצת שונה.

תרגיל

W=\{ \R{\text{ ש-5 שורש שלהם}} 3\geq \R{\text{כל הפולינומים ממעלה }} \}=\{ p(x) \in \mathbb{F}_{3}[x]|p(5)=0 \}

0 שייך? כן כי $0(5)=0$ .
נקח $p_{2}(x),p_{1}(x)\in W$ . צ"ל: $(\alpha p_{1}+p_{2})(x)\in W$ .
נתון: $p_{1}(5)=p_{2}(5)=0$ . צ"ל: $(\alpha p_{1}+p_{2})(5)=0$ .

\alpha p_{1}(5)+p_{2}(5)=\alpha\cdot0+0=0

לכן, זהו ת"מ.

תרגיל

$V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$ . $W$ ת"מ של $V$ .

U=\{ \underline{v}\in V|\underline{v} \not\in W \}\cup \{\ \underline{0}\ \}

האם $U$ הוא ת"מ של $V$ ?

הוכחה:
נקח מקרה $W=V$ ו- $W=\{\ \underline{0}\ \}$ .
במקרה הראשון, $U=\{\ \underline{0}\ \}$ ⇐ כן ת"מ.
במקרה השני, $U=V$ ⇐ כן ת"מ.
כאשר $W\neq V$ וגם $W \neq \{\ \underline{0}\ \}$ אזי $U$ לעולם לא ת"מ.
מהנתון: $0 \in U$ . $u_{1}\in U$ . האם $\alpha u_{1}\in U$ , $\alpha\neq 0$ ? תשובה: בהכרח כן. נניח בשלילה כי $\alpha u_{1} \not\in U$ ⇐ $\alpha u_{1} \in W$ . מכיוון ש- $W$ ת"מ הוא סגור לכפל בסקלר ולכן $\frac{1}{\alpha}(\alpha u_{1})\in W$ ⇐ $u_{1}\in W$ סתירה.
סגירות לחיבור: נקח $u_{1}\in U$ ו- $w_{1}\in W$ ונוכיח: $w_{1}-u_{1} \in U$ .
הוכחה: נניח בשלילה $w_{1}-u_{1}\in W$ . ז"א, קיים $w_{2} \in W$ כך ש: $w_{1}-u_{1}=w_{2}$ ⇐ $w_{1}-w_{2}=u_{1}\in W$ כי יש סגירות ב- $W$ . סתירה.
∎

השעה השניה

U=\{ (a,b,c,d)|c=a+b,d=2b \}=\{ (a,b,a+b,2b) \}

W=\left\{ \underbrace{\left( x, \frac{1}{2}y,y,2x \right)}_{\R{\text{איבר כללי "יפה"}}} \right\}=\left\{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})| x_{2}=\frac{1}{2}x_{3},x_{4}=2x_{1} \right\}

ניתן גם להציג בצורת ה-span:

הגדרה 1 (פרישה ליניארית)

יהא $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$ כאשר $v_{1},\dots,v_{k}\in V$ .

sp\{ v_{1},\dots,v_{k} \}=\{ \alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{k}v_{k} \}

פרישה היא תמיד מ"ו.

דוגמה

חשבו את $sp\{ (1,1,2),(2,5,1),(1,2,1) \}$ .

sp\{ \dots \}=\left\{\alpha(1,1,2)+\beta(2,5,1)+\gamma(1,2,1)\right\}=\left\{(\alpha+2\beta+\gamma,\alpha+5\beta+2\gamma,2\alpha+\beta+\gamma)\right\}

זהו אינו איבר יפה ולכן לא באמת נוכל לדלות מידע מהאיבר הזה.

הגדרה 2

מרחב שורה של מטריצה = המרחב שנפרש על ידי שורות המטריצה.

דוגמה

הsp ממקודם הוא מרחב השורה של המטריצה $\begin{pmatrix}1&1&2\\2&5&1\\1&2&1\end{pmatrix}$ .

משפט

מרחב השורה של מטריצה לא משתנה על ידי פעולות דירוג.

נשתמש במשפט על הדוגמה ממקודם ונקבל:

=sp\{ (1,0,3),(0,1,-1) \}=\{ (\alpha,\beta,3\alpha-\beta) \}=\{ (x,y,z)|z=3x-y \}

כעת, נראה את הsp של שני המ"ו מתחילת השעה:

U=sp\left\{ (1,0,1,0),(0,1,1,2) \right\}

W=sp\left\{ \begin{array}{c} (1,0,0,2),(0, \frac{1}{2},1,0) \end{array} \right\}

נסתכל כעת על חיתוך וחיבור בין המרחבים הווקטוריים מתחילת השעה השנייה:
הדרך הראשונה שנראה היא הדרך בה יוסי עובד.

U \cap W=\left\{ (a,b,c,d)|c=a+b,d=2b,b= \frac{1}{2}c, d=2a \right\}

ניתן גם לעבוד בדרך הבאה, שבה גלית עובדת בה אנו מציבים איבר כללי של אחד מהם ושמים את התנאים של השני כך:

U \cap W=\left\{ \begin{array}{c|c} \left( x, \frac{1}{2}y,y,2x \right) & y=x+\frac{1}{2}y,2x=2 \frac{1}{2}y \end{array} \right\}

\begin{cases} \frac{1}{2}y=x \\ 2x=y \end{cases}

U \cap W=\left\{ \left( x, x,2x,2x \right) \right\}

כעת, נסתכל על סכום של מרחבים וקטורים.

U+W=\left\{ (a,b,a+b,2b)+\left( x, \frac{1}{2}y,y,2x \right) \right\}=\left\{\left( a+x,b+\frac{1}{2}y,a+b+y,2b+2x \right)\right\}

הערה

שימו לב כי צריך להקפיד על אותיות אחרות במרחב השני.

נתקלנו בבאג, שכן זהו אינו סוף התרגיל - נדרש למצוא איבר כללי "יפה".
נהפוך את האיבר לsp:

=\{\begin{array}{c} a(1,0,1,0)+x(1,0,0,2)+b(0,1,1,2)+y(0, \frac{1}{2}, 1,0) \end{array} \}

=sp\{ \begin{array}{c} (1,0,1,0),(1,0,0,2),(0,1,1,2),(0, \frac{1}{2},1,0) \end{array} \}

כעת, על פי משפט, נוכל לקנן ולקחת את השורות של המטריצה הקנונית:

\begin{pmatrix} 1&0&1&0 \\ 1&0&0&2 \\ 0&1&1&2 \\ 0& \frac{1}{2}&1&0 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1&0&0&2 \\ 0&1&0&4 \\ 0&0&1&-2 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}

לכן:

=sp\{ (1,0,0,2),(0,1,0,4),(0,0,1,-2) \}=\{ (a,b,c,2a+4b-2c) \}

וכך הגענו לאיבר כללי "יפה" של חיבור המרחבים הווקטוריים.
נשים לב כי הסכום הוא בדיוק האיחוד של הקבוצות הפורשות.

משפט

U+W=sp\{ \R{\text{איחוד הקבוצות הפורשות}} \}

תרגיל

מצאו:

sp\{ x^2+x+2,2x^2+5x+1,x^2+2x+1 \}

נבצע קינון על מטריצת המקדמים:

\begin{pmatrix} 1&1&2 \\ 2&5&1 \\ 1&2&1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1&0&3 \\ 0&1&-1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}

=sp\{ x^2+3,x-1 \}=\{ a(x^2+3)+b(x-1) \}=\{ ax^2+bx+3a-b \}

=\{ \alpha x^2+\beta x+\gamma|\gamma=3\alpha-\beta \}

תרגיל

חשבו:

sp\left\{ \begin{pmatrix} 1&1\\0&2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2&5\\0&1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&2\\0&1 \end{pmatrix} \right\}

נתרגם כל מטריצה לוקטור(נזכור כי בסוף צריך להחזיר לצורה המקורית).

\begin{pmatrix} 1&1&0&2 \\ 2&5&0&1 \\ 1&2&0&1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1&0&0&3 \\ 0&1&0&-1 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}

=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&-1 \end{pmatrix} \right\}=sp\left\{ \begin{pmatrix} a& b \\ 0&3a-b \end{pmatrix} \right\}

יהי $V$ מ"ו. אזי, אם $W \subseteq V$ ו- $W=\{ v \in V|\underbrace{\qquad \qquad \qquad}_{\R{\text{מע' משוואות ליניארית הומו'}}} \}$ , אזי $W$ הינו ת"מ.

תרגיל

V=\mathbb{F}^3

W=\{ (a,b,c)|(a+b)^2+c^2=0 \}

האם $W$ ת"מ?

מעל $\mathbb{R}$ הוא כן ת"מ ומעל $\mathbb{C}$ הוא לא ת"מ.

תרגיל

אוסף כל המטריצות $3\times3$ מדרגה $2\geq$ .
האם זה ת"מ של כל המטריצות $3\times 3$ ?

לא מכיוון שלא סגור לחיבור - ראו בש.ב. בגליון 5, שאלה 5 - הוכחתי את זה שם למקרה קצת שונה.

תרגיל

W=\{ \R{\text{ ש-5 שורש שלהם}} 3\geq \R{\text{כל הפולינומים ממעלה }} \}=\{ p(x) \in \mathbb{F}_{3}[x]|p(5)=0 \}

0 שייך? כן כי $0(5)=0$ .
נקח $p_{2}(x),p_{1}(x)\in W$ . צ"ל: $(\alpha p_{1}+p_{2})(x)\in W$ .
נתון: $p_{1}(5)=p_{2}(5)=0$ . צ"ל: $(\alpha p_{1}+p_{2})(5)=0$ .

\alpha p_{1}(5)+p_{2}(5)=\alpha\cdot0+0=0

לכן, זהו ת"מ.

תרגיל

$V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$ . $W$ ת"מ של $V$ .

U=\{ \underline{v}\in V|\underline{v} \not\in W \}\cup \{\ \underline{0}\ \}

האם $U$ הוא ת"מ של $V$ ?

השעה השניה

U=\{ (a,b,c,d)|c=a+b,d=2b \}=\{ (a,b,a+b,2b) \}

W=\left\{ \underbrace{\left( x, \frac{1}{2}y,y,2x \right)}_{\R{\text{איבר כללי "יפה"}}} \right\}=\left\{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})| x_{2}=\frac{1}{2}x_{3},x_{4}=2x_{1} \right\}

ניתן גם להציג בצורת ה-span:

הגדרה 1 (פרישה ליניארית)

יהא $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$ כאשר $v_{1},\dots,v_{k}\in V$ .

sp\{ v_{1},\dots,v_{k} \}=\{ \alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{k}v_{k} \}

פרישה היא תמיד מ"ו.

דוגמה

חשבו את $sp\{ (1,1,2),(2,5,1),(1,2,1) \}$ .

sp\{ \dots \}=\left\{\alpha(1,1,2)+\beta(2,5,1)+\gamma(1,2,1)\right\}=\left\{(\alpha+2\beta+\gamma,\alpha+5\beta+2\gamma,2\alpha+\beta+\gamma)\right\}

זהו אינו איבר יפה ולכן לא באמת נוכל לדלות מידע מהאיבר הזה.

הגדרה 2

מרחב שורה של מטריצה = המרחב שנפרש על ידי שורות המטריצה.

דוגמה

הsp ממקודם הוא מרחב השורה של המטריצה $\begin{pmatrix}1&1&2\\2&5&1\\1&2&1\end{pmatrix}$ .

משפט

מרחב השורה של מטריצה לא משתנה על ידי פעולות דירוג.

נשתמש במשפט על הדוגמה ממקודם ונקבל:

=sp\{ (1,0,3),(0,1,-1) \}=\{ (\alpha,\beta,3\alpha-\beta) \}=\{ (x,y,z)|z=3x-y \}

כעת, נראה את הsp של שני המ"ו מתחילת השעה:

U=sp\left\{ (1,0,1,0),(0,1,1,2) \right\}

W=sp\left\{ \begin{array}{c} (1,0,0,2),(0, \frac{1}{2},1,0) \end{array} \right\}

U \cap W=\left\{ (a,b,c,d)|c=a+b,d=2b,b= \frac{1}{2}c, d=2a \right\}

ניתן גם לעבוד בדרך הבאה, שבה גלית עובדת בה אנו מציבים איבר כללי של אחד מהם ושמים את התנאים של השני כך:

U \cap W=\left\{ \begin{array}{c|c} \left( x, \frac{1}{2}y,y,2x \right) & y=x+\frac{1}{2}y,2x=2 \frac{1}{2}y \end{array} \right\}

\begin{cases} \frac{1}{2}y=x \\ 2x=y \end{cases}

U \cap W=\left\{ \left( x, x,2x,2x \right) \right\}

כעת, נסתכל על סכום של מרחבים וקטורים.

U+W=\left\{ (a,b,a+b,2b)+\left( x, \frac{1}{2}y,y,2x \right) \right\}=\left\{\left( a+x,b+\frac{1}{2}y,a+b+y,2b+2x \right)\right\}

הערה

שימו לב כי צריך להקפיד על אותיות אחרות במרחב השני.

נתקלנו בבאג, שכן זהו אינו סוף התרגיל - נדרש למצוא איבר כללי "יפה".
נהפוך את האיבר לsp:

=\{\begin{array}{c} a(1,0,1,0)+x(1,0,0,2)+b(0,1,1,2)+y(0, \frac{1}{2}, 1,0) \end{array} \}

=sp\{ \begin{array}{c} (1,0,1,0),(1,0,0,2),(0,1,1,2),(0, \frac{1}{2},1,0) \end{array} \}

כעת, על פי משפט, נוכל לקנן ולקחת את השורות של המטריצה הקנונית:

\begin{pmatrix} 1&0&1&0 \\ 1&0&0&2 \\ 0&1&1&2 \\ 0& \frac{1}{2}&1&0 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1&0&0&2 \\ 0&1&0&4 \\ 0&0&1&-2 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}

לכן:

=sp\{ (1,0,0,2),(0,1,0,4),(0,0,1,-2) \}=\{ (a,b,c,2a+4b-2c) \}

וכך הגענו לאיבר כללי "יפה" של חיבור המרחבים הווקטוריים.
נשים לב כי הסכום הוא בדיוק האיחוד של הקבוצות הפורשות.

משפט

U+W=sp\{ \R{\text{איחוד הקבוצות הפורשות}} \}

תרגיל

מצאו:

sp\{ x^2+x+2,2x^2+5x+1,x^2+2x+1 \}

נבצע קינון על מטריצת המקדמים:

\begin{pmatrix} 1&1&2 \\ 2&5&1 \\ 1&2&1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1&0&3 \\ 0&1&-1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}

=sp\{ x^2+3,x-1 \}=\{ a(x^2+3)+b(x-1) \}=\{ ax^2+bx+3a-b \}

=\{ \alpha x^2+\beta x+\gamma|\gamma=3\alpha-\beta \}

תרגיל

חשבו:

sp\left\{ \begin{pmatrix} 1&1\\0&2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2&5\\0&1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&2\\0&1 \end{pmatrix} \right\}

נתרגם כל מטריצה לוקטור(נזכור כי בסוף צריך להחזיר לצורה המקורית).

\begin{pmatrix} 1&1&0&2 \\ 2&5&0&1 \\ 1&2&0&1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1&0&0&3 \\ 0&1&0&-1 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}

=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&-1 \end{pmatrix} \right\}=sp\left\{ \begin{pmatrix} a& b \\ 0&3a-b \end{pmatrix} \right\}

11 - תתי מרחבים וקטוריים

אלגברה אמ

תתי מרחבים וקטוריים

11 - תתי מרחבים וקטוריים

אלגברה אמ

תתי מרחבים וקטוריים

השעה השניה

השעה השניה