אז, מה זה מרחב ווקטורי? לכאורה, זה אמור להיות קל - כי זה אותו רעיון כמו שדה רק עם רשימת חוקים אחרת.
הגדרה 1 (מרחב ווקטורי (מ"ו))
קבוצה V V V F \mathbb{F} F
סגירות: ∀ a , b ∈ V : a + b ∈ V \forall a,b \in V:\; a+b \in V ∀ a , b ∈ V : a + b ∈ V
קומוטטיביות: a + b = b + a a+b=b+a a + b = b + a
אסוציאטיביות: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (a+b)+c=a+(b+c) ( a + b ) + c = a + ( b + c )
קיום אדיש חיבור: a + 0 ⃗ = a a+\vec{0}=a a + 0 = a
קיום נגדי: a + ( − a ) = 0 ⃗ a+(-a)=\vec{0} a + ( − a ) = 0
סגירות בכפל סקלר: α ∈ F , a ∈ V : α a ∈ V \alpha \in \mathbb{F},a \in V:\; \alpha a \in V α ∈ F , a ∈ V : α a ∈ V
אסוציאטיביות לכפל בסקלר: ( α β ) a = α ( β a ) (\alpha\beta)a=\alpha(\beta a) ( α β ) a = α ( β a )
דיסטריבוטיביות 1: ( α + β ) a = α a + β a (\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a ( α + β ) a = α a + β a
דיסטריבוטיביות 2: α ( a + b ) = α a + α b \alpha(a+b)=\alpha a+\alpha b α ( a + b ) = α a + α b
איבר אדיש לכפל בסקלר: 1 F ⋅ a = a 1_{\mathbb{F}}\cdot a=a 1 F ⋅ a = a
F = R V = R + = { x ∈ R ∣ x > 0 } \mathbb{F}= \mathbb{R} \qquad V=\mathbb{R}^{+}=\{ x \in \mathbb{R}|x>0 \} F = R V = R + = { x ∈ R ∣ x > 0 } נגדיר חיבור וכפל עם סקלר:
x + y = x y x+y=xy x + y = x y α ⋅ x = x α \alpha\cdot x=x^{\alpha} α ⋅ x = x α האם V V V
סגירות לחיבור: כפל של שני מספרים חיוביים הוא חיובי
קומוטטיביות: מקומוטטיביות ב-R \mathbb{R} R x y = y x xy=yx x y = y x
אסוציאטיביות: ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ↓ ( x y ) z = x ( y z ) \underset{\begin{matrix}\downarrow \\ (xy)z=x(yz)\end{matrix}}{(x+y)+z=x+(y+z)} ↓ ( x y ) z = x ( yz ) ( x + y ) + z = x + ( y + z )
אדיש חיבורי: x + ? = x x+?=x x + ? = x "0" = 1 ∈ R + \text{"0"}=1 \in \mathbb{R}^+ "0" = 1 ∈ R +
הנגדי: x + ( − x ) = 0 x+(-x)=0 x + ( − x ) = 0 x ⋅ ( − x ) = 1 x\cdot (-x)=1 x ⋅ ( − x ) = 1 "-x" = 1 x ∈ R + \text{"-x"}=\frac{1}{x}\in \mathbb{R}^+ "-x" = x 1 ∈ R + x x x
סגירות בכפל סקלר: α ∈ R , x ∈ R + : α x = x α ∈ R + \alpha \in \mathbb{R},x \in \mathbb{R}^+:\; \alpha x=x^\alpha \in \mathbb{R}^+ α ∈ R , x ∈ R + : αx = x α ∈ R +
אסוציאטיביות לכפל בסקלר: ( α β ) x = α ( β x ) (\alpha\beta)x=\alpha(\beta x) ( α β ) x = α ( β x ) x α β = ( x β ) α x^{\alpha\beta}=(x^{\beta})^{\alpha} x α β = ( x β ) α x α β = x α β x^{\alpha\beta}=x^{\alpha\beta} x α β = x α β
דיסטריבוטיביות 1: ( α + β ) x = α x + β x (\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x ( α + β ) x = αx + β x x α + β = x α x β x^{\alpha+\beta}=x^{\alpha}x^{\beta} x α + β = x α x β
דיסטריבוטיביות 2: α ( x + y ) = α x + α y \alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y α ( x + y ) = αx + α y ( x y ) α = x α y α (xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha ( x y ) α = x α y α
איבר אדיש לכפל בסקלר: 1 ⋅ x = x 1 = x 1 \cdot x=x^{1}=x 1 ⋅ x = x 1 = x
לכן, מכיוון שכל התכונות מתקיימות, V V V R \mathbb{R} R
תכונות של מ"ו
האדיש החיבורי הוא יחיד
0 F ⋅ x V = 0 ⃗ 0_{\mathbb{F}}\cdot x_{_V}=\vec{0} 0 F ⋅ x V = 0 α ⋅ 0 ⃗ = 0 ⃗ \alpha\cdot \vec{0}=\vec{0} α ⋅ 0 = 0 x = 0 ⃗ או a = 0 ⟺ α x = 0 ⃗ x=\vec{0} \R{\text{ או }}a=0 \iff \alpha x=\vec{0} x = 0 או a = 0 ⟺ αx = 0 ( − α ) x = α ( − x ) = − ( α x ) (-\alpha)x=\alpha(-x)=-(\alpha x) ( − α ) x = α ( − x ) = − ( αx )
מ"ו ידועים
הקבוצה F n × m \mathbb{F}^{n\times m} F n × m F ^ \hat{\mathbb{F}} F ^ F ^ \hat{\mathbb{F}} F ^ F \mathbb{F} F R 2 × 3 \mathbb{R}^{2\times3} R 2 × 3 R \mathbb{R} R Q \mathbb{Q} Q C \mathbb{C} C
קבוצת הפולינומים F n [ x ] \mathbb{F}_{n}[x] F n [ x ] F ^ \hat{\mathbb{F}} F ^ R 2 [ x ] \mathbb{R}_{2}[x] R 2 [ x ] 2 ≥ 2\geq 2 ≥ R \mathbb{R} R Q \mathbb{Q} Q
האם Z 3 \mathbb{Z}_{3} Z 3 Z 2 \mathbb{Z}_{2} Z 2
תת שדה היא תת קבוצה לשדה נתון אשר הינה שדה לאותן הפעולות.
הקבוצה Z 2 \mathbb{Z}_{2} Z 2 אינה תת שדה של Z 3 \mathbb{Z}_{3} Z 3 ידוע .
( 1 Z 2 + 1 Z 2 ) ⋅ 1 Z 3 0 Z 2 ⋅ 1 Z 3 = 0 Z 3 = 1 Z 2 ⋅ 1 Z 3 1 Z 3 + 1 Z 2 ⋅ 1 Z 3 1 Z 3 = 2 Z 3 \underset{\underset{=0_{_{\mathbb{Z}_{3}}}}{0_{_{\mathbb{Z}_{2}}}\cdot 1_{_{\mathbb{Z}_{3}}}}}{(1_{_{\mathbb{Z}_{2}}}+1_{_{\mathbb{Z}_{2}}})\cdot 1_{_{\mathbb{Z}_{3}}}}=\underset{=2_{\mathbb{Z}_{3}}}{\underset{1_{_{\mathbb{Z}_{3}}}}{1_{_{\mathbb{Z}_{2}}}\cdot1_{_{\mathbb{Z}_{3}}}}+\underset{1_{_{\mathbb{Z}_{3}}}}{1_{_{\mathbb{Z}_{2}}}\cdot1_{_{\mathbb{Z}_{3}}}}} = 0 Z 3 0 Z 2 ⋅ 1 Z 3 ( 1 Z 2 + 1 Z 2 ) ⋅ 1 Z 3 = = 2 Z 3 1 Z 3 1 Z 2 ⋅ 1 Z 3 + 1 Z 3 1 Z 2 ⋅ 1 Z 3 ולכן, מכיוון ש-0 Z 3 ≠ 2 Z 3 0_{_{\mathbb{Z}_{3}}}\neq 2_{_{\mathbb{Z}_{3}}} 0 Z 3 = 2 Z 3
האם V = { f ( x ) ∈ R 2 [ x ] ∣ f ( 0 ) = f ′ ( 1 ) } V=\{ f(x)\in \mathbb{R}_{2}[x]|f(0)=f'(1) \} V = { f ( x ) ∈ R 2 [ x ] ∣ f ( 0 ) = f ′ ( 1 )} R \mathbb{R} R
נבדוק סגירות לחיבור: נקח f 1 , f 2 ∈ V f_{1},f_{2}\in V f 1 , f 2 ∈ V f 1 + f 2 ∈ V f_{1}+f_{2}\in V f 1 + f 2 ∈ V f 1 ( 0 ) = f 1 ′ ( 1 ) f_{1}(0)=f_{1}'(1) f 1 ( 0 ) = f 1 ′ ( 1 ) f 2 ( 0 ) = f 2 ′ ( 1 ) f_{2}(0)=f_{2}'(1) f 2 ( 0 ) = f 2 ′ ( 1 ) ( f 1 + f 2 ) ( 0 ) = ( f 1 + f 2 ) ′ ( 1 ) (f_{1}+f_{2})(0)=(f_{1}+f_{2})'(1) ( f 1 + f 2 ) ( 0 ) = ( f 1 + f 2 ) ′ ( 1 )
( f 1 + f 2 ) ′ ( 1 ) = ↓ חוקי נגזרת f 1 ′ ( 1 ) + f 2 ′ ( 1 ) = ↓ נתון f 1 ( 0 ) + f 2 ( 0 ) = ↓ חוקי פולינום ( f 1 + f 2 ) ( 0 ) (f_{1}+f_{2})'(1)\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{חוקי נגזרת}}
\end{matrix}}{=}f_{1}'(1)+f_{2}'(1)\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{נתון}}
\end{matrix}}{=}f_{1}(0)+f_{2}(0)\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{חוקי פולינום}}
\end{matrix}}{=}(f_{1}+f_{2})(0) ( f 1 + f 2 ) ′ ( 1 ) ↓ חוקי נגזרת = f 1 ′ ( 1 ) + f 2 ′ ( 1 ) ↓ נתון = f 1 ( 0 ) + f 2 ( 0 ) ↓ חוקי פולינום = ( f 1 + f 2 ) ( 0 ) ולכן, מתקיימת סגירות לחיבור.
נבדוק סגירות לכפל בסקלר: נקח f ∈ V f \in V f ∈ V α f ∈ V \alpha f \in V α f ∈ V f ( 0 ) = f ′ ( 1 ) f(0)=f'(1) f ( 0 ) = f ′ ( 1 ) ( α f ) ( 0 ) = ( α f ) ′ ( 1 ) (\alpha f)(0)=(\alpha f)'(1) ( α f ) ( 0 ) = ( α f ) ′ ( 1 )
( α f ) ′ ( 1 ) = ↓ חוקי נגזרת α ( f ′ ( 1 ) ) = ↓ נתון α f ( 0 ) = ↓ חוקי פולינום ( α f ) ( 0 ) (\alpha f)'(1)\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{חוקי נגזרת}}
\end{matrix}}{=}\alpha(f'(1))\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{נתון}}
\end{matrix}}{=}\alpha f(0)\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{חוקי פולינום}}
\end{matrix}}{=}(\alpha f)(0) ( α f ) ′ ( 1 ) ↓ חוקי נגזרת = α ( f ′ ( 1 )) ↓ נתון = α f ( 0 ) ↓ חוקי פולינום = ( α f ) ( 0 ) תת מרחב ווקטורי
יהא V V V F \mathbb{F} F W W W V V V W W W V V V
W ⊆ V W \subseteq V W ⊆ V V V V W ≠ ∅ W \neq \emptyset W = ∅ α ∈ F , w ∈ W : α w ∈ W \alpha \in \mathbb{F}, w \in W:\; \alpha w \in W α ∈ F , w ∈ W : α w ∈ W w 1 , w 2 ∈ W : w 1 + w 2 ∈ W w_{1},w_{2} \in W:\; w_{1}+w_{2} \in W w 1 , w 2 ∈ W : w 1 + w 2 ∈ W
ניתן לחליף את תכונות ב' ו-ג' בתכונה:
α w 1 + w 2 ∈ W \alpha w_{1}+w_{2} \in W α w 1 + w 2 ∈ W בנוסף, ניתן להחליף את התכונה א' בתכונה: 0 ⃗ ∈ W \vec{0}\in W 0 ∈ W 0 ⃗ \vec{0} 0
האם V = { X ∈ C 2 × 3 ∈ ∣ A 2 × 2 X = X B 3 × 3 } V=\{ X \in \mathbb{C}_{2\times3} \in |A_{2\times2}X=XB_{3\times3} \} V = { X ∈ C 2 × 3 ∈ ∣ A 2 × 2 X = X B 3 × 3 } C \mathbb{C} C
מתקיים V ⊆ C 2 × 3 V \subseteq \mathbb{C}_{2\times3} V ⊆ C 2 × 3 C 2 × 3 \mathbb{C}_{2\times 3} C 2 × 3 C \mathbb{C} C 0 ⃗ ∈ V \vec{0}\in V 0 ∈ V A ⋅ 0 = 0 ⋅ B A\cdot0=0\cdot B A ⋅ 0 = 0 ⋅ B A , B A,B A , B X 1 , X 2 ∈ V X_{1},X_{2} \in V X 1 , X 2 ∈ V α ∈ C \alpha \in \mathbb{C} α ∈ C α X 1 + X 2 ∈ V \alpha X_{1}+X_{2}\in V α X 1 + X 2 ∈ V A X 1 = X 1 B AX_{1}=X_{1}B A X 1 = X 1 B A X 2 = X 2 B AX_{2}=X_{2}B A X 2 = X 2 B A ( α X 1 + X 2 ) = ( α X 1 + X 2 ) B A(\alpha X_{1}+X_{2})=(\alpha X_{1}+X_{2})B A ( α X 1 + X 2 ) = ( α X 1 + X 2 ) B הוכחה:
A ( α X 1 + X 2 ) = ↓ חוקי מטריצות α A X 1 + A X 2 = ↓ נתון α X 1 B + X 2 B = ↓ חוקי מטריצות ( α X 1 + X 2 ) B A(\alpha X_{1}+X_{2})\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{חוקי מטריצות}}
\end{matrix}}{=}\alpha AX_{1}+AX_{2}\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{נתון}}
\end{matrix}}{=}\alpha X_{1}B+X_{2}B\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{חוקי מטריצות}}
\end{matrix}}{=}(\alpha X_{1}+X_{2})B A ( α X 1 + X 2 ) ↓ חוקי מטריצות = α A X 1 + A X 2 ↓ נתון = α X 1 B + X 2 B ↓ חוקי מטריצות = ( α X 1 + X 2 ) B ∎ V V V C 2 × 3 \mathbb{C}_{2\times3} C 2 × 3
כל צירוף ליניארי של פתרון של הומוגנית הוא גם מ"ו.
פתרונות של מערכת הומוגנית הם תמיד מ"ו.
האם V = { ( a , b , c , d ) ∈ R 4 ∣ a + b − 2 c = 0 , b + a = 0 } V=\{ (a,b,c,d)\in \mathbb{R}^4|a+b-2c=0,b+a=0 \} V = {( a , b , c , d ) ∈ R 4 ∣ a + b − 2 c = 0 , b + a = 0 }
מתקיים V ⊆ R 1 × 4 V \subseteq \mathbb{R}^{1\times4} V ⊆ R 1 × 4 0 ⃗ ∈ V \vec{0}\in V 0 ∈ V ( 0 , 0 , 0 , 0 ) (0,0,0,0) ( 0 , 0 , 0 , 0 ) v 1 , v 2 ∈ V v_{1},v_{2} \in V v 1 , v 2 ∈ V α v 1 + v 2 ∈ V \alpha v_{1}+v_{2} \in V α v 1 + v 2 ∈ V ( α a 1 + a 2 , α b 1 + b 2 , α c 1 + c 2 , α d 1 + d 2 ) ∈ V (\alpha a_{1}+a_{2},\alpha b_{1}+b_{2},\alpha c_{1}+c_{2},\alpha d_{1}+d_{2}) \in V ( α a 1 + a 2 , α b 1 + b 2 , α c 1 + c 2 , α d 1 + d 2 ) ∈ V a 1 + b 1 − 2 c 1 = 0 b 1 + a 1 = 0 a 2 + b 2 − 2 c 2 = 0 b 2 + a 2 = 0 \begin{matrix}a_{1}+b_{1}-2c_{1}=0 & b_{1}+a_{1}=0\\ a_{2}+b_{2}-2c_{2}=0&b_{2}+a_{2}=0\end{matrix} a 1 + b 1 − 2 c 1 = 0 a 2 + b 2 − 2 c 2 = 0 b 1 + a 1 = 0 b 2 + a 2 = 0 { ( α a 1 + a 2 ) + ( α b 1 + b 2 ) − 2 ( α c 1 + c 2 ) = 0 ( α b 1 + b 2 ) + ( α a 1 + a 2 ) = 0 \begin{cases}(\alpha a_{1}+a_{2})+(\alpha b_{1}+b_{2})-2(\alpha c_{1}+c_{2})=0\\ (\alpha b_{1}+b_{2})+(\alpha a_{1}+a_{2})=0\end{cases} { ( α a 1 + a 2 ) + ( α b 1 + b 2 ) − 2 ( α c 1 + c 2 ) = 0 ( α b 1 + b 2 ) + ( α a 1 + a 2 ) = 0
האם V = { b ∈ F n ∣ יש פתרון A m × n x = b למע’ } V=\{ b \in \mathbb{F^n}|\R{\text{ יש פתרון}} A_{m\times n}x=b \R{\text{למע' }} \} V = { b ∈ F n ∣ יש פתרון A m × n x = b למע’ }
מתקיים 0 ⃗ ∈ V \vec{0}\in V 0 ∈ V A x = 0 Ax=0 A x = 0 b 1 , b 2 ∈ V b_{1},b_{2}\in V b 1 , b 2 ∈ V α b 1 + b 2 ∈ V \alpha b_{1}+b_{2} \in V α b 1 + b 2 ∈ V { ∃ y : A y = b 1 ∃ z : A z = b 2 \begin{cases}\exists y:\; Ay=b_{1}\\ \exists z:\; Az=b_{2}\end{cases} { ∃ y : A y = b 1 ∃ z : A z = b 2 ∃ w : A w = α b 1 + b 2 \exists w:\; Aw=\alpha b_{1}+b_{2} ∃ w : A w = α b 1 + b 2 הוכחה: w = α y + z w=\alpha y+z w = α y + z
A w = A ( α y + z ) = ↓ חוקי מטריצות α A y + A z = ↓ נתון α b 1 + b 2 Aw=A(\alpha y+z)\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{חוקי מטריצות}}
\end{matrix}}{=}\alpha Ay+Az\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{נתון}}
\end{matrix}}{=}\alpha b_{1}+b_{2} A w = A ( α y + z ) ↓ חוקי מטריצות = α A y + A z ↓ נתון = α b 1 + b 2 ∎ V V V