0 - פולינומים — אלגברה אמ | תיקיית הסיכומים

נסמן $\mathbb{F}$ שדה

שדות ידועים: $\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{C}$

על שדות נרחיב בשבוע הבא.

הגדרה 1 (פולינום)

פולינום הוא ביטוי מהצורה:

f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}

כאשר $a_{i} \in \mathbb{F}$ וכאשר

המשתנה $x$ מופיע בחזקות טבעיות בלבד( $n \in \mathbb{N}$ )
יש מספר סופי של $a_{i}\neq0$ .
ה- $n$ המקסימלי עבורו $a_{n}\neq0$ נקרא מעלת הפולינום.
אם כל המקדמים $0$ הפולינום נקרא פולינום האפס ומעלתו מוגדרת להיות $-\infty$ (או לא מוגדר).
ה- $a_{n}$ המקסימלי עבורו $a_{n}\neq 0$ נקרא המקדם המוביל ואם הוא 1 הפולינום נקרא מתוקן.
המקדם החופשי הינו $a_{0}$ .
קבוצת כל הפולינומים ממעלה $n\geq$ מעל שדה $\mathbb{F}$ מסומנת $\mathbb{F}_{n}(x)$ .

דוגמה (כמה דוגמות)

א.

8x^5-x^4+\sqrt{ 2 }x+i

זהו פולינום ממעלה 5: $a_{5}=8\quad a_{4}=-1\quad a_{3}=a_{2}=0 \quad a_{1}=\sqrt{ 2 }\quad a_{0}=i\quad$
ב.

8\sqrt{ x }+x

זהו אינו פולינום כי ה- $x$ שלו הינו בחזקת $\frac{1}{2}$ .
ג.

\frac{8}{x}+1

אינו פולינום כי ה- $x$ בחזקת $-1$ .
ד.

f(x)=5

פולינום ממעלה $0$ .

חלוקת פולינומים

משפט

לכל 2 פולינומים $h(x),f(x)$ כך ש: $\deg h(x)\leq \deg f(x)$ קיימים פולינומים $q(x),r(x)$ כך ש-

f(x)=h(x)\cdot q(x)+r(x)

כאשר $q(x)$ היא המנה ו- $r(x)$ היא השארית.
חשוב לציין גם כי $\deg r(x)<\deg h(x)$ .

הערה

אם $r(x)=0$ אז $h(x)$ ו- $q(x)$ נקראים מחלקים של $f(x)$ .

דוגמה

\frac{2x^3+x+1}{x^2-2x}\implies(2x^3+x+1)=(\underbrace{x^2-2x}_{h(x)})(\underbrace{2x+4}_{q(x)})+(\underbrace{9x+1}_{r(x)})

שלבים בחלוקת פולינומים

\frac{f(x)}{h(x)}

נקח את $a_{n}$ המקסימלי ב- $f(x)$ ונחלק אותו ב- $a_{n}$ המקסימלי ב- $h(x)$ .
נכפיל את התוצאה ב- $h(x)$ ונחסר אותה מהמקור.
נחלק באותה הדרך כמו ב-(1) את התוצאה ב- $h(x)$
נוסיף את התוצאה לתוצאה שלנו
נקח את מה שיצא לנו בסעיף 2️ ונחסר ממנו את התוצאה מסעיף 3 ונחזור לסעיף 2.

משפט

השארית בחלוקת $f(x)$ (ממעלה גדולה מ-1) ל- $(x-\alpha)$ היא $f(\alpha)$ .

דוגמה

\frac{x^2-2x+7}{x-1}=(*)+\underbracket{\qquad\qquad\qquad}_{\deg r(x)<\deg (x-\alpha)=1}

כלומר, במצב זה $r(x)$ הינו קבוע, המסומן $r$ .

הוכחה:
נסמן:

f(x)=(x-\alpha)q(x)+r

נציב $\alpha$ :

f(\alpha)=0+r

‎∎
מסקנה:
אם $\alpha$ שורש( $f(\alpha)=0$ ) של $f(x)$ אז $r=0$ .
ז"א $(x-\alpha)$ הוא מחלק של $f(x)$ ⇐

f(x)=(x-\alpha)q(x)

מסקנה:
לפולינום ממעלה $n$ יש בדיוק $n$ שורשים מעל $\mathbb{C}$ .

פירוק פולינום

נסתכל על פירוק פולינומים

f(x)=(x-\alpha)q(x)=(x-\alpha)(x-\alpha_{2})q_{2}(x)=\dots

=(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\dots(x-\alpha_{n})\underbrace{q_{n}(x)}_{a_{n}}

כך נגיע למצב בו יש רק מכפלות ונוכל לעבוד איתן יותר בקלות.

משפט ("ניחוש" שורשים רציונליים)

יהא $f(x)$ פולינום עם מקדמים שונים.
אם $\frac{p}{q}$ שורש רציונלי מצומצם של $f(x)$ אז $p$ מחלק של $a_{0}$ ובנוסף $q$ מחלק של $a_{n}$ .

דוגמה

f(x)=2x^5-8x^4+11x^3-8x^2+5x-2

נפרק את הפולינום למכפלות הגורמים שלו.

\frac{p}{q}\in \left\{ \pm \frac{1,2}{1,2} \right\}=\left\{ \frac{a_{0}\ \text{לש םיקלחמה} }{a_{n}\ \text{לש םיקלחמה}} \right\}

=\left\{ \pm1,\pm \frac{1}{2},\pm 2 \right\}

נציב ונבדוק:

f(1)=2-8+11-8+5-2=0

f(2)=0

f(-1)\neq0

הוכחה:
נתון $\frac{p}{q}$ שורש רציונלי מצומצם של $f(x)$ עם מקדמים שונים. כלומר: $f\left( \frac{p}{q} \right)=0$ .
נציב בפולינום:

a_{n}\left( \frac{p}{q} \right)^n+a_{n-1}\left( \frac{p}{q} \right)^{n-1}+\dots+a_{1} \frac{p}{q}+a_{0}=0

נכפיל הכל ב- $q^n$ :

0=a_{n}p^n+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^2+\dots+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^n

\underbrace{a_{n}p^n+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^2+\dots+a_{1}pq^{n-1}}_{\text{divisible by p}}=-a_{0}q^n

מכייון שצד שמאל מתחלק ב- $p$ , $a_{n}q^n$ גם הוא מתחלק ב- $p$ , אבל $p,q$ זרים.
לכן, $p$ מחלק של $a_{0}$ .

באותה הדרך:

-a_{n}p^n=\underbrace{a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^2+\dots+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^n}_{\text{divisible by q}}

מכיוון שאגף ימין מתחלק ב- $q$ , אנו יודעים כי גם $a_{n}p^n$ מתחלק ב- $q$ . $p,q$ זרים ולכן $a_{n}$ מתחלק ב- $p$ .
‎∎

משפט

יהא $f(x)$ פולינום.
אם $\alpha$ שורש מריבוי $k$ של $f(x)$ אז:

f(\alpha)=0 \qquad f'(\alpha)=0 f''(\alpha)=0 \; \dots\; f^{(k-1)}(\alpha)=0

דוגמה

f(x)=(x-1)^3(x-2)

f(x)=(x-1)(x-1)(x-1)(x-2)

המספר "1" שורש מריבוי 3 בעוד "2" שורש מריבוי 1.

משפט (וויאטה המורחב)

\sum \alpha_{i}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}}

\sum \alpha_{i}\alpha_{j}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}}

\sum \alpha_{i}\alpha_{j}\alpha_{k}=-\frac{a_{n-3}}{a_{n}}

\prod^{n}_{i=1}\alpha_{i}=\frac{a_{0}}{a_{n}}(-1)^n

נסמן $\mathbb{F}$ שדה

שדות ידועים: $\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{C}$

על שדות נרחיב בשבוע הבא.

הגדרה 1 (פולינום)

פולינום הוא ביטוי מהצורה:

f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}

כאשר $a_{i} \in \mathbb{F}$ וכאשר

המשתנה $x$ מופיע בחזקות טבעיות בלבד( $n \in \mathbb{N}$ )
יש מספר סופי של $a_{i}\neq0$ .
ה- $n$ המקסימלי עבורו $a_{n}\neq0$ נקרא מעלת הפולינום.
אם כל המקדמים $0$ הפולינום נקרא פולינום האפס ומעלתו מוגדרת להיות $-\infty$ (או לא מוגדר).
ה- $a_{n}$ המקסימלי עבורו $a_{n}\neq 0$ נקרא המקדם המוביל ואם הוא 1 הפולינום נקרא מתוקן.
המקדם החופשי הינו $a_{0}$ .
קבוצת כל הפולינומים ממעלה $n\geq$ מעל שדה $\mathbb{F}$ מסומנת $\mathbb{F}_{n}(x)$ .

דוגמה (כמה דוגמות)

א.

8x^5-x^4+\sqrt{ 2 }x+i

זהו פולינום ממעלה 5: $a_{5}=8\quad a_{4}=-1\quad a_{3}=a_{2}=0 \quad a_{1}=\sqrt{ 2 }\quad a_{0}=i\quad$
ב.

8\sqrt{ x }+x

זהו אינו פולינום כי ה- $x$ שלו הינו בחזקת $\frac{1}{2}$ .
ג.

\frac{8}{x}+1

אינו פולינום כי ה- $x$ בחזקת $-1$ .
ד.

f(x)=5

פולינום ממעלה $0$ .

חלוקת פולינומים

משפט

לכל 2 פולינומים $h(x),f(x)$ כך ש: $\deg h(x)\leq \deg f(x)$ קיימים פולינומים $q(x),r(x)$ כך ש-

f(x)=h(x)\cdot q(x)+r(x)

כאשר $q(x)$ היא המנה ו- $r(x)$ היא השארית.
חשוב לציין גם כי $\deg r(x)<\deg h(x)$ .

הערה

אם $r(x)=0$ אז $h(x)$ ו- $q(x)$ נקראים מחלקים של $f(x)$ .

דוגמה

\frac{2x^3+x+1}{x^2-2x}\implies(2x^3+x+1)=(\underbrace{x^2-2x}_{h(x)})(\underbrace{2x+4}_{q(x)})+(\underbrace{9x+1}_{r(x)})

שלבים בחלוקת פולינומים

\frac{f(x)}{h(x)}

נקח את $a_{n}$ המקסימלי ב- $f(x)$ ונחלק אותו ב- $a_{n}$ המקסימלי ב- $h(x)$ .
נכפיל את התוצאה ב- $h(x)$ ונחסר אותה מהמקור.
נחלק באותה הדרך כמו ב-(1) את התוצאה ב- $h(x)$
נוסיף את התוצאה לתוצאה שלנו
נקח את מה שיצא לנו בסעיף 2️ ונחסר ממנו את התוצאה מסעיף 3 ונחזור לסעיף 2.

משפט

השארית בחלוקת $f(x)$ (ממעלה גדולה מ-1) ל- $(x-\alpha)$ היא $f(\alpha)$ .

דוגמה

\frac{x^2-2x+7}{x-1}=(*)+\underbracket{\qquad\qquad\qquad}_{\deg r(x)<\deg (x-\alpha)=1}

כלומר, במצב זה $r(x)$ הינו קבוע, המסומן $r$ .

הוכחה:
נסמן:

f(x)=(x-\alpha)q(x)+r

נציב $\alpha$ :

f(\alpha)=0+r

‎∎
מסקנה:
אם $\alpha$ שורש( $f(\alpha)=0$ ) של $f(x)$ אז $r=0$ .
ז"א $(x-\alpha)$ הוא מחלק של $f(x)$ ⇐

f(x)=(x-\alpha)q(x)

מסקנה:
לפולינום ממעלה $n$ יש בדיוק $n$ שורשים מעל $\mathbb{C}$ .

פירוק פולינום

נסתכל על פירוק פולינומים

f(x)=(x-\alpha)q(x)=(x-\alpha)(x-\alpha_{2})q_{2}(x)=\dots

=(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\dots(x-\alpha_{n})\underbrace{q_{n}(x)}_{a_{n}}

כך נגיע למצב בו יש רק מכפלות ונוכל לעבוד איתן יותר בקלות.

משפט ("ניחוש" שורשים רציונליים)

דוגמה

f(x)=2x^5-8x^4+11x^3-8x^2+5x-2

נפרק את הפולינום למכפלות הגורמים שלו.

\frac{p}{q}\in \left\{ \pm \frac{1,2}{1,2} \right\}=\left\{ \frac{a_{0}\ \text{לש םיקלחמה} }{a_{n}\ \text{לש םיקלחמה}} \right\}

=\left\{ \pm1,\pm \frac{1}{2},\pm 2 \right\}

נציב ונבדוק:

f(1)=2-8+11-8+5-2=0

f(2)=0

f(-1)\neq0

הוכחה:
נתון $\frac{p}{q}$ שורש רציונלי מצומצם של $f(x)$ עם מקדמים שונים. כלומר: $f\left( \frac{p}{q} \right)=0$ .
נציב בפולינום:

a_{n}\left( \frac{p}{q} \right)^n+a_{n-1}\left( \frac{p}{q} \right)^{n-1}+\dots+a_{1} \frac{p}{q}+a_{0}=0

נכפיל הכל ב- $q^n$ :

0=a_{n}p^n+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^2+\dots+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^n

\underbrace{a_{n}p^n+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^2+\dots+a_{1}pq^{n-1}}_{\text{divisible by p}}=-a_{0}q^n

מכייון שצד שמאל מתחלק ב- $p$ , $a_{n}q^n$ גם הוא מתחלק ב- $p$ , אבל $p,q$ זרים.
לכן, $p$ מחלק של $a_{0}$ .

באותה הדרך:

-a_{n}p^n=\underbrace{a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^2+\dots+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^n}_{\text{divisible by q}}

מכיוון שאגף ימין מתחלק ב- $q$ , אנו יודעים כי גם $a_{n}p^n$ מתחלק ב- $q$ . $p,q$ זרים ולכן $a_{n}$ מתחלק ב- $p$ .
‎∎

משפט

יהא $f(x)$ פולינום.
אם $\alpha$ שורש מריבוי $k$ של $f(x)$ אז:

f(\alpha)=0 \qquad f'(\alpha)=0 f''(\alpha)=0 \; \dots\; f^{(k-1)}(\alpha)=0

דוגמה

f(x)=(x-1)^3(x-2)

f(x)=(x-1)(x-1)(x-1)(x-2)

המספר "1" שורש מריבוי 3 בעוד "2" שורש מריבוי 1.

משפט (וויאטה המורחב)

\sum \alpha_{i}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}}

\sum \alpha_{i}\alpha_{j}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}}

\sum \alpha_{i}\alpha_{j}\alpha_{k}=-\frac{a_{n-3}}{a_{n}}

\prod^{n}_{i=1}\alpha_{i}=\frac{a_{0}}{a_{n}}(-1)^n