גליון 8 — אלגברה אמ | תיקיית הסיכומים

תרגיל 1

תרגיל (1)

נתון כי קיים מספר $x$ כך שמתקיים $\begin{pmatrix}1&a\\2a&1\end{pmatrix}^{17}\begin{pmatrix}1\\x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ .
מהו ערכו של $a^2$ ?

נסמן $A=\begin{pmatrix}1&a\\2a&1\end{pmatrix}$ ונבדוק האם $r(A)=n=2$ .

\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2a & 1 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{2}=R_{2}-2aR_{1}}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & -2a^2 \end{pmatrix}

המטריצה כעת מדורגת וכפי שניתן לראות, במידה ו- $a\neq 0\impliedby-2a^2\neq 0$ אזי $r(A)=2=n$ ולכן, לפי משפט $A$ הינה מטריצה הפיכה.
על פי משפט, מכיוון ש- $A$ הפיכה, אזי $A\cdot A\cdot A\dots A$ הינה הפיכה ולכן $A^{17}$ הפיכה.
לכן, על פי משפט, $\begin{pmatrix}1\\x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ מה שלא יכול להתקיים ולכן, $A$ אינה הפיכה ולכן $a=0$ ולכן $a^2=0$ .

תרגיל 2

תרגיל (2)

תהי $A \in \mathbb{F}^{m\times n}$ כאשר $m\neq n$ .
הוכיחו שלפחות אחת מהמטריצות $AA^t$ או $A^tA$ לא הפיכה.

הוכחה:
תהי $A$ כאשר $m\neq n$ . על פי משפט, $A$ אינה הופכית ולכן $A^{-1}$ לא קיימת.
נניח בשלילה כי $AA^t$ ו- $A^tA$ הפיכות. נקח אחת מהן, ונראה סתירה.
מכיוון ששתיהן הופכיות, אזי יש לשתיהן מטריצה הופכית.

(A^tA)^{-1}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לפי משפט}} \end{matrix}}{=}A^{-1}(A^t)^{-1}

מכיוון שלא קיימת $A^{-1}$ זוהי סתירה.
∎

תרגיל 3

תרגיל (3 [א])

קבוע האם הטענה הבאה נכונה או לא נכונה. אם היא נכונה, הוכיחו! אם היא אינה נכונה, הביאו דוגמה נגדית.

אם $A,B,C \in \mathbb{F}^{n\times n}$ שונות מאפס ו- $ABC=A$ אז $B=C^{-1}$ .

הטענה אינה נכונה.
נקח מטריצות $A$ ו- $C$ :

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}

נדרג את שתי המטריצות הללו:

A:\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{3}=R_{3}-R_{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{1}=R_{1}-R_{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

C:\; \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{3}=R_{3}-2R_{2}}\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{1}=\frac{1}{2}R_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\overrightarrow{R_{1}=R_{1}-R_{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{2}\leftrightarrow R_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

נשים לב כי שתי המטריצות הללו מקיימות כי $r(A)\neq n$ , ולכן, על פי משפט, מכיוון ש- $r(A)=n$ שקול להיותה של $A$ מטריצה הפיכה, $A$ אינה מטריצה הפיכה וכך גם $C$ .
לכן, לא קיים $C^{-1}$ של $C$ ולכן לא יכול להיות כי $B=C^{-1}$ שכן לא קיימת מטריצה שכזו.

תרגיל (3 [ב])

קבוע האם הטענה הבאה נכונה או לא נכונה. אם היא נכונה, הוכיחו! אם היא אינה נכונה, הביאו דוגמה נגדית.

מרחב המטריצות המשולשות העליונות וממשיות מסדר $3\times3$ אינו ניתן לכתיבה כסכום ישר $U_{1} \oplus U_{2}$ כאשר $U_{1}$ הוא ת"מ שבו כל מטריצה שונה מאפס היא הפיכה ואילו $U_{2}$ הוא ת"מ שבו כל המטריצות אינן הפיכות.
(שימו לב: $U_{1}$ אינו מוגדר כתת המרחב שמכיל את כל ההפיכות!)

הטענה אינה נכונה.
נראה את הדוגמה הנגדית הבאה:

U_{1}=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

U_{2}=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \right\}

על פי משפט, כל $spA$ הוא מ"ו ולכן $U_{1},U_{2}$ הם מ"ו.
כל מטריצה ב- $U_{1}$ היא מטריצה הפיכה(למעט מטריצת האפס) ע"פ משפט. כל מטריצה ב- $U_{2}$ תהא בעלת דרגה $2\geq$ שכן בשורה האחרונה לא יכולים להופיע איברים השונים מאפס. לכן, על פי משפט, כל מטריצה ב- $U_{2}$ אינה הפיכה.
מכיוון שכל מטריצה ב- $U_{1}$ (למעט מטריצת האפס) היא בעלת איבר אחד בשלושת השורות ואילו כל מטריצה ב- $U_{2}$ אין איבר השונה מאפס בשורה האחרונה, החיתוך ביניהם הוא ריק ולכן הסכום שלהם הוא ישר.
לכן, $U_{1},U_{2}$ מתאימים לתנאי השאלה.
נראה כעת, כי סכומם הוא הבסיס הטריוואילי של מרחב המטריצות המשולשות העליונות והממשיות מסדר $3\times3$ .

U_{1} \oplus U_{2}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לפי משפט}} \end{matrix}}{=}sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \right\}

U_{1} \oplus U_{2}=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

שזהו בדיוק הבסיס הטריוויאלי של המרחב אותו אנו מחפשים ולכן $U_{1} \oplus U_{2}$ שווה למרחב הזה, בסתירה לטענה.

תרגיל 4

תרגיל

תהא $A$ מטריצה שאינה $0$ , שכל השורות שלה הן כפולות בסקלר של השורה הראשונה. האם קיימת מטריצה הפיכה $P$ כך שלמטריצה $PA$ יש רק שורה אחת שונה מ- $0$ ?
אם לדעתכם התשובה חיובית, הוכיחו! והראו כיצד מוצאים את המטריצה $P$ .
אם לדעתכם אין מטריצה $P$ כזו, יש להוכיח שאכן אין כזו.

הוכחה:
תהא $\underset{n\times m}{A}$ מטריצה שבה כל השורות הן כפולות בסקלר של השורה הראשונה. נבצע פעולות דירוג על מנת למצוא את $r(A)$ :

\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{m} \\ \alpha_{2}a_{1} & \alpha_{2}a_{2} & \dots & \alpha_{2}a_{m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha_{n}a_{1} & \alpha_{n}a_{2} & \dots & \alpha_{n}a_{m} \end{pmatrix}\overrightarrow{\begin{matrix} R_{2}=R_{2}-\alpha_{2}R_{1} \\ \vdots \\ R_{n}=R_{n}-\alpha_{n}R_{1} \end{matrix}}\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{m} \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}

לכן, $r(A)=1$ . כעת, נסתכל על המטריצה $\underset{n\times m}{A}$ שוב ונחלק ל-2 מקרים:
א. $n=1$ : אזי $A$ הינה מטריצה הפיכה שכן $r(A)=n=1$ וע"פ משפט, $r(A)=n \iff \R{\text{ הפיכה}}A$ . לכן, קיימת מטריצה $P=(1)$ כך ש- $PA=(a_{11})$ ולכן $r(PA)=1$ .
ב. $n>1$ : אזי $A$ אינה מטריצה הפיכה שכן $r(A)=1\neq n$ וע"פ משפט, $r(A)=n \iff \R{\text{ הפיכה}}A$ . תהי $B$ מטריצה אשר יש לה רק שורה אחת שונה מאפס והיא שקולת שורות ל- $A$ . היא קיימת שכן $r(A)=1$ ולכן קיימת מטריצה לאחר פעולות דירוג אשר בה יש רק שורה אחת והיא, על פי הגדרה, שקולת שורות ל- $A$ .
לכן, על פי משפט, קיימת מטריצה הפיכה $P$ כך ש- $B=PA$ .
∎

תרגיל 1

תרגיל (1)

נתון כי קיים מספר $x$ כך שמתקיים $\begin{pmatrix}1&a\\2a&1\end{pmatrix}^{17}\begin{pmatrix}1\\x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ .
מהו ערכו של $a^2$ ?

נסמן $A=\begin{pmatrix}1&a\\2a&1\end{pmatrix}$ ונבדוק האם $r(A)=n=2$ .

\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2a & 1 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{2}=R_{2}-2aR_{1}}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & -2a^2 \end{pmatrix}

תרגיל 2

תרגיל (2)

תהי $A \in \mathbb{F}^{m\times n}$ כאשר $m\neq n$ .
הוכיחו שלפחות אחת מהמטריצות $AA^t$ או $A^tA$ לא הפיכה.

(A^tA)^{-1}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לפי משפט}} \end{matrix}}{=}A^{-1}(A^t)^{-1}

מכיוון שלא קיימת $A^{-1}$ זוהי סתירה.
∎

תרגיל 3

תרגיל (3 [א])

קבוע האם הטענה הבאה נכונה או לא נכונה. אם היא נכונה, הוכיחו! אם היא אינה נכונה, הביאו דוגמה נגדית.

אם $A,B,C \in \mathbb{F}^{n\times n}$ שונות מאפס ו- $ABC=A$ אז $B=C^{-1}$ .

הטענה אינה נכונה.
נקח מטריצות $A$ ו- $C$ :

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}

נדרג את שתי המטריצות הללו:

A:\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{3}=R_{3}-R_{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{1}=R_{1}-R_{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

C:\; \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{3}=R_{3}-2R_{2}}\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{1}=\frac{1}{2}R_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\overrightarrow{R_{1}=R_{1}-R_{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{2}\leftrightarrow R_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

תרגיל (3 [ב])

קבוע האם הטענה הבאה נכונה או לא נכונה. אם היא נכונה, הוכיחו! אם היא אינה נכונה, הביאו דוגמה נגדית.

הטענה אינה נכונה.
נראה את הדוגמה הנגדית הבאה:

U_{1}=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

U_{2}=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \right\}

U_{1} \oplus U_{2}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{לפי משפט}} \end{matrix}}{=}sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \right\}

U_{1} \oplus U_{2}=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

שזהו בדיוק הבסיס הטריוויאלי של המרחב אותו אנו מחפשים ולכן $U_{1} \oplus U_{2}$ שווה למרחב הזה, בסתירה לטענה.

תרגיל 4

תרגיל

\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{m} \\ \alpha_{2}a_{1} & \alpha_{2}a_{2} & \dots & \alpha_{2}a_{m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha_{n}a_{1} & \alpha_{n}a_{2} & \dots & \alpha_{n}a_{m} \end{pmatrix}\overrightarrow{\begin{matrix} R_{2}=R_{2}-\alpha_{2}R_{1} \\ \vdots \\ R_{n}=R_{n}-\alpha_{n}R_{1} \end{matrix}}\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{m} \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}