גליון 7 — אלגברה אמ | תיקיית הסיכומים

תרגיל 1

תרגיל (1 [א])

לפניכם שני תתי מרחבים של $\mathbb{R}^6$ (אין צורך להוכיח שאלו אכן ת"מ):

U=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a \\ b \\c \\ a+b \\ a+c \\ a+b+c \end{pmatrix} & a,b,c \in \mathbb{R} \end{array} \right\} \qquad W=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1\\1\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1\\0\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\4\\1\\4\\5\\4 \end{pmatrix} \right\}

מצאו בסיס לתתי המרחבים $W,U$ .

תחילה נמצא בסיס ל- $W$ . נעביר את הספאן למטריצה:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & 1 & 4 & 5 & 4 \end{pmatrix}

לפי משפט, הדירוג של המטריצה עדיין יפרוש את $W$ ולכן, נדרג את המטריצה

\overrightarrow{R_{4}=R_{4}-R_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{4}=R_{4}-4R_{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

על פי משפט, השורות של מטריצה מדורגת הן בת"ל ולכן השורות הן קבוצה פורשת ובתל של $W$ ולכן זהו בסיס.

W=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\right\}

כעת, נעבור למצוא בסיס ל- $U$ :

U=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a \\ b \\c \\ a+b \\ a+c \\ a+b+c \end{pmatrix} & a,b,c \in \mathbb{R} \end{array} \right\}=a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}

כעת, נעביר למטריצה:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

נשים לב כי המטריצה כבר מדורגת, והיא פורשת את $U$ . כעת, נוכיח כי שורות המטריצה הנ"ל הם בת"ל:
$
\alpha_{1}\begin{pmatrix}
1 \
0 \
0 \
1 \
1 \
1
\end{pmatrix}+\alpha_{2}\begin{pmatrix}
0 \
1 \
0 \
1 \
0 \
1
\end{pmatrix}+\alpha_{3}\begin{pmatrix}
0 \
0 \
1 \
0 \
1 \
1
\end{pmatrix}=0

נעביר לממ"ל:

\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
1 & 1 & 0 & 0 \
1 & 0 & 1 & 0 \
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)

נשים לב לשלושת השורות הראשונות, נראה כי $\alpha_{1}=0,\alpha_{2}=0,\alpha_{3}=0$ ולכן, שורות המטריצה ממקודם בת"ל ולכן, הן בסיס ל-$U$:

U=sp\left{ \begin{pmatrix}
1 \
0 \
0 \
1 \
1 \
1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 \
1 \
0 \
1 \
0 \
1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 \
0 \
1 \
0 \
1 \
1
\end{pmatrix} \right}

> [!exercise|*] 1 [ב] > מצאו בסיס ל-$W+U$. לפי משפט, חיבור הבסיסים הוא איחוד הספאנים ולכן:

W+U=sp\left{ \begin{pmatrix}
1 \
0 \
1 \
0 \
1 \
0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 \
1 \
0 \
1 \
1 \
1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 \
0 \
0 \
1 \
0 \
2
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 \
0 \
0 \
1 \
1 \
1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 \
1 \
0 \
1 \
0 \
1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 \
0 \
1 \
0 \
1 \
1
\end{pmatrix} \right}

לפי משפט, דירוג מטריצה הפורשת מ"ו יוצר מטריצה הפורשת את אותו המ"ו. לכן, נוכל לדרג את המטריצה ללא חשש:

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{4}=R_{4}-R_{1}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{6}\leftrightarrow R_{3}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2
\end{pmatrix}

\overrightarrow{R_{5}=R_{5}-R_{2}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{4}=R_{4}+R_{3}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{6}=R_{6}-R_{4}}

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix}\overrightarrow{\begin{matrix}
R_{6}=R_{6}-R_{5}
\end{matrix}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{5}=-R_{5}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

\overrightarrow{\begin{matrix}
R_{4}=R_{4}-R_{5} \
R_{3}=R_{3}-R_{5} \
R_{2}=R_{2}-R_{5} \
R_{1}=R_{1}-R_{5}
\end{matrix}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\overrightarrow{\begin{matrix}
R_{1}=R_{1}-R_{3} \
R_{2}=R_{2}-R_{4}
\end{matrix}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

כעת, מכיוון שהמטריצה מדורגת, לפי משפט, השורות השונות מאפס הן בת"ל. לכן, הבסיס ל-$U+W$ הינו:

U+W=sp\left{ \begin{pmatrix}
1 \ 0\0\0\0\0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\1\0\0\0\1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\0\1\0\0\1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\0\0\1\0\2
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\0\0\0\1\0
\end{pmatrix} \right}

> [!exercise|*] 1 [ג] > מצאו בסיס ל-$W \cap U$. נמצא איבר כללי של $W$:

W=\left{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}
\alpha \
\beta \
\alpha \
\gamma \
\alpha+\beta \
-\beta+2\gamma
\end{pmatrix} & \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}
\end{array} \right}=\left{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}
a \
b \
c \
d \
e \
f
\end{pmatrix} & \begin{matrix}
c=a \
e=a+b \
f=-b+2d
\end{matrix}
\end{array} \right}

כעת, נאחד את התנאים:

W \cap U=\left{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}
a \
b \
c \
a+b \
a+c \
a+b+c
\end{pmatrix} & \begin{matrix}
c=a \
a+c=a+b \
a+b+c=2a+b
\end{matrix}
\end{array} \right}=\left{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}
a \
b \
c \
a+b \
a+c \
a+b+c
\end{pmatrix} & \begin{matrix}
a=c \
a=b
\end{matrix}
\end{array}\right}

W \cap U=\left{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}
a \
a \
a \
2a \
2a \
3a
\end{pmatrix} & a,b,c \in \mathbb{R}
\end{array} \right}=\left{ a\begin{pmatrix}
1 \
1 \
1 \
2 \
2 \
3
\end{pmatrix} \right}=sp\left{ \begin{pmatrix}
1 \
1 \
1 \
2 \
2 \
3
\end{pmatrix} \right}

לפי משפט, קבוצה בעלת וקטור יחיד היא בת"ל ולכן:

W \cap U=sp\left{ \begin{pmatrix}
1 \
1 \
1 \
2 \
2 \
3
\end{pmatrix} \right}

> [!exercise|*] 1 [ד] > מצאו בסיס לתת מרחב $U_{1}$ של $\mathbb{R}^6$ כך שיתקיים השוויון: > $$ > W+U=U_{1}\oplus(U \cap W) > $$ לפי משפט, המימדים של תתי מרחבים שווים - שווים ולכן:

\underbracket{\dim(W+U)}{5}=\dim U{1}+\underbracket{\dim(U \cap W)}_{1}

ולכן $\dim U_{1}=4$. כעת, אנו יודעים כי חיבור הוא איחוד הספאנים, אזי אם נקח $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4} \in \mathbb{R}^6$ כאשר $U_{1}=sp\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4} \right\}$ נקבל כי:

sp\left{ \begin{pmatrix}
1 \ 0\0\0\0\0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\1\0\0\0\1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\0\1\0\0\1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\0\0\1\0\2
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\0\0\0\1\0
\end{pmatrix} \right}=sp\left{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},\begin{pmatrix}
1\1\1\2\2\3
\end{pmatrix} \right}

נשים לב כי מכיוון ש-$\begin{pmatrix}1\\1\\1\\2\\2\\3\end{pmatrix}$ הוא האיבר היחיד בקבוצה הפורשת את $W \cap U$ אזי הוא צ"ל של $B_{U}$ וצ"ל של $B_{W}$. לכן ומכיוון שזהו סכום ישר, נדרש למצוא 4 מטריצות שאינן יוצרות יחדיו צ"ל השווה למטריצה הנ"ל. לכן, נוכל לבחור $2$ מ-$U$ ו-$2$ מ-$W$ ולוודא כי התנאי מתרחש:

U_{1}=sp\left{ \begin{pmatrix}
1 \
0 \
1 \
0 \
1 \
0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 \
1 \
0 \
1 \
1 \
1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 \
0 \
0 \
1 \
1 \
1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 \
1 \
0 \
1 \
0 \
1
\end{pmatrix} \right}

נציב אותם במטריצה ונדרג:

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\overrightarrow{\begin{matrix}
R_{3}=R_{3}-R_{1} \
R_{4}=R_{4}-R_{2}
\end{matrix}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 2 & -1 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{3}=R_{3}-2R_{2}}

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & -1 & -1 & -2 & -1\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix}\overrightarrow{\begin{matrix}
R_{3}=-R_{3} \
R_{4}=-R_{4}
\end{matrix}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}

לכן, קיבלנו קבוצה שהיא פורשת ולפי משפט בת"ל ולכן היא בסיס ולכן:

B_{U_{1}}=\left{ \begin{pmatrix}
1\0\1\0\1\0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\1\0\1\1\1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\0\1\1\2\1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\0\0\0\1\0
\end{pmatrix} \right}

תרגיל 1

תרגיל (1 [א])

לפניכם שני תתי מרחבים של $\mathbb{R}^6$ (אין צורך להוכיח שאלו אכן ת"מ):

U=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a \\ b \\c \\ a+b \\ a+c \\ a+b+c \end{pmatrix} & a,b,c \in \mathbb{R} \end{array} \right\} \qquad W=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1\\1\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1\\0\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\4\\1\\4\\5\\4 \end{pmatrix} \right\}

מצאו בסיס לתתי המרחבים $W,U$ .

תחילה נמצא בסיס ל- $W$ . נעביר את הספאן למטריצה:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & 1 & 4 & 5 & 4 \end{pmatrix}

לפי משפט, הדירוג של המטריצה עדיין יפרוש את $W$ ולכן, נדרג את המטריצה

\overrightarrow{R_{4}=R_{4}-R_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{4}=R_{4}-4R_{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

על פי משפט, השורות של מטריצה מדורגת הן בת"ל ולכן השורות הן קבוצה פורשת ובתל של $W$ ולכן זהו בסיס.

W=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\right\}

כעת, נעבור למצוא בסיס ל- $U$ :

U=\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} a \\ b \\c \\ a+b \\ a+c \\ a+b+c \end{pmatrix} & a,b,c \in \mathbb{R} \end{array} \right\}=a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}

כעת, נעביר למטריצה:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

נעביר לממ"ל:

\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
1 & 1 & 0 & 0 \
1 & 0 & 1 & 0 \
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)

נשים לב לשלושת השורות הראשונות, נראה כי $\alpha_{1}=0,\alpha_{2}=0,\alpha_{3}=0$ ולכן, שורות המטריצה ממקודם בת"ל ולכן, הן בסיס ל-$U$:

U=sp\left{ \begin{pmatrix}
1 \
0 \
0 \
1 \
1 \
1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 \
1 \
0 \
1 \
0 \
1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 \
0 \
1 \
0 \
1 \
1
\end{pmatrix} \right}

> [!exercise|*] 1 [ב] > מצאו בסיס ל-$W+U$. לפי משפט, חיבור הבסיסים הוא איחוד הספאנים ולכן:

לפי משפט, דירוג מטריצה הפורשת מ"ו יוצר מטריצה הפורשת את אותו המ"ו. לכן, נוכל לדרג את המטריצה ללא חשש:

כעת, מכיוון שהמטריצה מדורגת, לפי משפט, השורות השונות מאפס הן בת"ל. לכן, הבסיס ל-$U+W$ הינו:

> [!exercise|*] 1 [ג] > מצאו בסיס ל-$W \cap U$. נמצא איבר כללי של $W$:

כעת, נאחד את התנאים:

לפי משפט, קבוצה בעלת וקטור יחיד היא בת"ל ולכן:

W \cap U=sp\left{ \begin{pmatrix}
1 \
1 \
1 \
2 \
2 \
3
\end{pmatrix} \right}

> [!exercise|*] 1 [ד] > מצאו בסיס לתת מרחב $U_{1}$ של $\mathbb{R}^6$ כך שיתקיים השוויון: > $$ > W+U=U_{1}\oplus(U \cap W) > $$ לפי משפט, המימדים של תתי מרחבים שווים - שווים ולכן:

\underbracket{\dim(W+U)}{5}=\dim U{1}+\underbracket{\dim(U \cap W)}_{1}

ולכן $\dim U_{1}=4$. כעת, אנו יודעים כי חיבור הוא איחוד הספאנים, אזי אם נקח $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4} \in \mathbb{R}^6$ כאשר $U_{1}=sp\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4} \right\}$ נקבל כי:

נשים לב כי מכיוון ש-$\begin{pmatrix}1\\1\\1\\2\\2\\3\end{pmatrix}$ הוא האיבר היחיד בקבוצה הפורשת את $W \cap U$ אזי הוא צ"ל של $B_{U}$ וצ"ל של $B_{W}$. לכן ומכיוון שזהו סכום ישר, נדרש למצוא 4 מטריצות שאינן יוצרות יחדיו צ"ל השווה למטריצה הנ"ל. לכן, נוכל לבחור $2$ מ-$U$ ו-$2$ מ-$W$ ולוודא כי התנאי מתרחש:

נציב אותם במטריצה ונדרג:

לכן, קיבלנו קבוצה שהיא פורשת ולפי משפט בת"ל ולכן היא בסיס ולכן:

B_{U_{1}}=\left{ \begin{pmatrix}
1\0\1\0\1\0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\1\0\1\1\1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\0\1\1\2\1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0\0\0\0\1\0
\end{pmatrix} \right}

<div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div> ## תרגיל 2 > [!exercise|*] 2 > יהיו $U$ ו-$W$ ת"מ של מ"ו $V$. נתון כי $\left\{ v_{1},v_{2} \right\}$ הוא בסיס ל-$U \cap W$, $\left\{ v_{1},v_{2},u_{1} \right\}$ הוא בסיס ל-$U$ ו-$\left\{ v_{1},v_{2},w_{1},w_{2} \right\}$ הוא בסיס ל-$W$. > מצאו בסיס ל-$U+W$ והוכיחו שזהו בסיס. **הוכחה:** לפי משפט: $U+W$ הוא איחוד הספאנים שלהם ולכן:

U+W=sp\left{ v_{1},v_{2},u_{1},v_{1},v_{2},w_{1},w_{2} \right}=sp\left{ v_{1},v_{2},u_{1},w_{1},w_{2} \right}

על פי משפט המימדים הראשון:

\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U \cap W)

נתון לנו כי: $\begin{cases}\dim U=3\\ \dim W=4\\ \dim (U \cap W)=2\end{cases}$ ולכן: $\dim(U+W)=5$. לכן, מכיוון ש-$U+W$ הינה קבוצה פורשת לה $5$ איברים, היא פורשת מינימלית ולכן, לפי משפט, בסיס. <span class="halmos">∎</span> <div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div> ## תרגיל 3 > [!exercise|*] 3 [א] > קבעו אם הטענה היא נכונה או לא. אם היא נכונה, הוכיחו. אם היא לא, הביאו דוגמה נגדית. > > מרחב ווקטורי הנפרש ע"י מטריצות מאותו הסדר שדרגת כל אחת מהן קטנה ממש מ-$n$ מכיל רק מטריצות מדרגה קטנה ממש מ-$n$. הטענה **נכונה**. **הוכחה:** נמסן את המרחב הוקטורי המדובר ב-$V$. נגדיר $V=spA$. נתון לנו כי לכל $B \in A$ מתקיים כי $r(B)=n$. לכן, נציב את כולן כשורות של מטריצה ונדרג אותן ונחזיר אותן בחזרה למטריצות, ונקבל קבוצה $A'$ אשר הינה פורשת לפי משפט ובת"ל לפי משפט אחר, שכן כל שורות אשר גרמו ל-$A$ להיות ת"ל נהפכו לשורות אפס בדירוג. כך, נקבל בסיס ל-$V$ שבו כל מטריצה היא בעלת דרגה קטנה ממש מ-$n$, נניח כי קיימת מטריצה בעלת הדרגה $n-1$ כאשר מסקנותינו יוכלו לעבוד גם במידה ולא תהיה מטריצה שכזו, אלא רק מטריצות מדרגה נמוכה מהנ"ל. אזי, כל צ"ל שניצור המטריצות ב-$A$ יתן לנו מטריצה בעלת דרגה שווה או קטנה ממש מ-$n-1$, כלומר, דרגה קטנה ממש מ-$n$. לכן, מכיוון שזהו בסיס המרחב $V$, כל מטריצה במרחב $V$ תהיה צ"ל של הקבוצה הפורשת $A'$ ולכן, כל המטריצות במרחב יהיו בעלות דרגה הקטנה ממש מ-$n$. <span class="halmos">∎</span> > [!exercise|*] 3 [ב] > קבעו אם הטענה היא נכונה או לא. אם היא נכונה, הוכיחו. אם היא לא, הביאו דוגמה נגדית. > > למרחב המטריצות $\mathbb{R}^{n\times n}$ כאשר $n>1$, לא קיים בסיס המורכב מ-$n^2$ מטריצות שכולן מתחלפות בכפל(כלומר כך שלכל שתי מטריצות $A,B$ מהבסיס מתקיים $AB=BA$) הטענה **נכונה**. **הוכחה:** נקח שתי מטריצות כלליות ב-$\mathbb{R}^{n\times n}$ כך:

X=\sum_{i}\alpha_{i}B_{i} \qquad Y=\sum_{j}\beta_{j}B_{j}

כאשר $B_{i}/B_{j}$ הן מטריצות מהבסיס ו-$\alpha_{i},\beta_{j}\in \mathbb{R}$ סקלרים. כעת, נניח בשלילה כי קיים בסיס שכזה ולכן מתקיים כי:

XY=\left( \sum_{i}\alpha_{i}B_{i} \right)\left( \sum_{j}\beta_{j}B_{j} \right)=\sum_{i}\sum_{j}\alpha_{i}\beta_{j}(B_{i}B_{j})

מכיוון שכל שתי מטריצות מתחלפות בכפל מתקיים כי:

XY=\sum_{i}\sum_{j}\beta_{j}\alpha_{i}(B_{j}B_{i})=\left( \sum_{j}\beta_{j}B_{j} \right)\left( \sum_{i}\alpha_{i}B_{i} \right)=YX

ולכן, כל שתי מטריצות ב-$\mathbb{R}^{n\times n}$ מתחלפות בכפל, וזוהי סתירה לתכונות המטריצה. <span class="halmos">∎</span> > [!exercise|*] 3 [ג] > יהא $V$ מ"ו ממימד $3$ ו-$\left\{ v_{1},v_{2} \right\}$ שני וקטורים במרחב. נגדיר $=W$ אוסף כל הוקטורים **שלא משלימים** את $\left\{ v_{1},v_{2} \right\}$ לבסיס של $V$, ז"א: $W=\left\{ v_{3}|\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\}\text{ is not a basis of V} \right\}$ אז $W$ ת"מ וקטורי. הטענה **נכונה**. **הוכחה:** בסיס של מ"ו הוא בת"ל מינימלית. במרחב בעל מימד 3 כמו זה הנתון לנו, בסיס יהיה קבוצה בעלת 3 וקטורים שהיא בת"ל. לכן, לכל $\left\{ v_{1},v_{2},v_{3} \right\}$ שאינם בסיס ל-$V$ אנו יודעים בוודאות שהם ת"ל. כלומר, $v_{3}$ הינו צ"ל של $\left\{ v_{1},v_{2} \right\}$. לכן, לפי הגדרה הניתנה לנו והגדרת $span$ נקבל כי:

W=sp\left{ v_{1},v_{2} \right}

ולכן, $W$ הינו ת"מ. <span class="halmos">∎</span> <div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div> ## תרגיל 4 > [!exercise|*] 4 > יהא $V$ מ"ו ממימד $n$ ויהיו $U$ ו-$W$ שני ת"מ **שונים** שהמימד של כל אחד מהם הוא $n-1$. > מצאו את המימד של $U \cap W$ והוכיחו כי זהו אכן המימד. **הוכחה:** לפי משפט, כל ת"מ של $V$ יהיה בעל מימד קטן או שווה ל-$n$. בנוסף, לפי משפט, $W+U$ גם הוא ת"מ. לכן, $\dim(W+U)<\dim V=n$. נתון לנו כי $\dim W=\dim U=n-1$ ולכן, $\dim(W+U)\in \left\{ n-1,n \right\}$. אם $\dim(W+U)=n-1$ אזי $W=U$ שכן לא נוספו איברים חדשים - זוהי סתירה לנתון ולכן $\dim(W+U)=n$. לפי משפט המימדים הראשון $\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U \cap W)$ ולכן:

\dim(U \cap W)=\dim U+\dim W-\dim(U+W)=n-1+n-1-n = n-2

<span class="halmos">∎</span> <div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div> ## תרגיל 5 > [!exercise|*] 5 [א] > יהא $V=\mathbb{R}_{4}[x]$ (מרחב הפולינומים הממשיים ממעלה קטנה או שווה 4) > נגדיר ל-$V$ שני ת"מ: $i=\sqrt{ -1 }, \qquad U=\left\{ p(x)\in \mathbb{R}_{4}[x]|p(i)=0 \right\}$ > ועבור $t \in \mathbb{R}$ מסויים מתקיים: > $$ > W=sp\left\{ x^3,x^3+x^2-t,-x^2+x+t \right\} > $$ > > מצאו בסיס ומימד ל-$U$. **הוכחה:** נסמן: $p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ על פי הנתון:

p(i)=0=a-bi-c+di+e \implies e=(c-a)+(b-d)i

לכן:

U=\left{ ax^4+bx^3+cx^2+dx+(c-a)+(b-d)i | a,b,c,d \in \mathbb{R} \right}

מכיוון ש-$U \subseteq V$ מתקיים כי $b-d=0$ ולכן $b=d$. לכן:

=\left{ ax^4+bx^3+cx^2+bx+(c-a)|a,b,c \in \mathbb{R} \right}

=\left{ a(x^4-1)+b(x^3+x)+c(x^2+1)|a,b,c \in \mathbb{R} \right}

=sp\left{ x^4-1,x^3+x,x^2+1 \right}

נציב בשורות של מטריצה ונקבל כי $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ היא מטריצה מדורגת ולכן, לפי משפט, שורתיה בת"ל ולכן:

B_{U}=\left{ x^4-1,x^3+x,x^2+1 \right}

ולכן, לפי הגדרה: $\dim U=3$. <span class="halmos">∎</span> > [!exercise|*] 5 [ב] > $(i)$ נתון ש-$U+W\neq V$. מצאו את המימד $U \cap W$. > $(ii)$ מצאו את ערכו של $t$ כאשר $U+W\neq V$. **הוכחה:** תחילה, נמצא בסיס ל-$W$ ע"י הצבה במטריצה ודירוג:

\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0 & -t \
0 & 0 & -1 & 1 & t
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{2}=R_{2}-R_{1}}\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & -t \
0 & 0 & -1 & 1 & t
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{3}=R_{3}+R_{2}}\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & -t \
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}

לפי משפט, שורות המטריצה בת"ל ולכן:

B_{W}=\left{ x^3,x^2-t,x \right}

לכן, $\dim W=3$. נתבונן כעת בבסיס הטריוויאלי ל-$\mathbb{R}_{4}[x]$:

\mathbb{R}_{4}[x]=sp\left{ x^4,x^3,x^2,x,1 \right}

לכן, $\dim V=4$. לפי משפט, חיבור בסיסים הוא איחוד הספאנים ולכן:

U+W=sp\left{ x^4-1,x^3+x,x^2+1,x^3,x^2-t,x \right}

נציב בשורות מטריצה ונדרג:

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -1 \
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & -t \
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\overrightarrow{\begin{matrix}
R_{4}=R_{4}-R_{2} \
R_{5}=R_{5}-R_{3} \
R_{6}=R_{6}-R_{2}
\end{matrix}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -1 \
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & -t-1 \
0 & -1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\overrightarrow{\begin{matrix}
R_{6}=-R_{6} \
R_{5}=-R_{5} \
R_{4}=-R_{4}
\end{matrix}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -1 \
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & t+1 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

\overrightarrow{\begin{matrix}
R_{2}=R_{2}-R_{6} \
\end{matrix}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & t+1 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{2}=R_{2}-R_{4}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & t+1 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{2}\leftrightarrow R_{6}}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -1 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & t+1
\end{pmatrix}

לפי משפט, כל השורות השונות מאפס של מטריצה מדורגת הינן בת"ל. לכן, במידה ו-$t+1$ שונה מאפס, נדע כי $\dim U+W=4$. זוהי סתירה לנתון ש-$U+W\neq V$, שכן לפי משפט במידה והמימד של ת"מ שווה למימד של המרחב הם שווים. לכן, $t+1=0$ ולכן $t=-1$ (**פתרון ל-$(ii)$**) ולכן, $\dim U+W=3$. לכן, לפי משפט המימדים הראשון מתקיים כי:

\dim U+W=\dim U+\dim W-\dim(U \cap W)

\dim(U \cap W)=\underbracket{\dim U}{3}+\underbracket{\dim W}{3}-\underbracket{\dim(U+W)}_{3}=3

<span class="halmos">∎</span>