גליון 6 — אלגברה אמ | תיקיית הסיכומים

תרגיל 1

תרגיל (1 [א])

קבעו האם הטענה נכונה או לא. אם כן, הוכיחו ואם לא, הביאו דוגמה נגדית.

תהי $N=\left\{ v_{1},v_{2},\dots ,v_{m} \right\}$ קבוצה תלויה במ"ו $V$ . נתון כי כל תת קבוצה של $N$ השונה מ- $N$ ( $A \subset N$ ) היא בת"ל.
אזי קיימים סקלרים כולם שונים מאפס, כך ש- $\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=0$ .

הטענה הינה נכונה.
הוכחה:
נניח בשלילה כי אחד המקדמים הינו $0$ . נניח בה"כ כי זה $\alpha_{1}$ . לכן, נקבל כי:

\alpha_{2}v_{2}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=0

לכן, לפי הגדרה, קיימת תת קבוצה $\left\{ v_{2},\dots,v_{m} \right\}$ שהיא ת"ל, בסתירה לנתון.
∎

תרגיל (1 [ב])

קבעו האם הטענה נכונה או לא. אם כן, הוכיחו ואם לא, הביאו דוגמה נגדית.

נתון ש- $\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}$ ו- $\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}$ הם בת"ל ⇐ $\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}$ ו- $\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}$ הם בת"ל.

הטענה הינה נכונה.
הוכחה:
על פי הנתון, לא קיים $\alpha$ כך ש:

\begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \end{pmatrix}=\alpha \begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{pmatrix}

נניח בשלילה כי $\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}$ ו- $\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}$ הם ת"ל ולכן, קיים $\beta$ כך ש:

\begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{pmatrix}=\beta \begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \beta x_{2} \\ \beta y_{2} \\ \beta z_{2} \end{pmatrix}

ראינו כי לא יכול להתקיים סקלר(כמו $\beta$ ) כך שמתקיים $\begin{cases}x_{1}=\beta x_{2}\\y_{1}=\beta y_{2}\end{cases}$ במקביל, ולכן הגענו לסתירה ולכן, $\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}$ ו- $\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}$ בת"ל.
∎

תרגיל (1 [ג])

קבעו האם הטענה נכונה או לא. אם כן, הוכיחו ואם לא, הביאו דוגמה נגדית.

אם $\left\{ u,v,w \right\}$ הם בת"ל אז גם $\left\{ u+v+w,v-w,2w \right\}$ בת"ל.

הטענה הינה נכונה .
הוכחה:
אם $\left\{ u,v,w \right\}$ הינה בת"ל, אזי לא קיימים סקלרים $\alpha_{1},\alpha_{2}$ כך ש- $v=\alpha_{1}u+\alpha_{2}w$ .
נניח בשלילה כי קיימים סקלרים $\beta_{1},\beta_{2}$ כך ש- $\left\{ u+v+w,v-w,2w \right\}$ הוא ת"ל ולכן מתקיים:

u+v+w=\beta_{1}v-\beta_{1}w+2\beta_{2}w

u=v(\beta_{1}-1)+w(2\beta_{2}-\beta_{1}-1)

על פי כללי הסגירות בשדה ומכיוון ש- $\beta_{1},\beta_{2} \in \mathbb{F}$ אזי, $\beta_{1}-1,2\beta_{2}-\beta_{1}-1 \in \mathbb{F}$ ולכן, לפי הנתון, המשוואה אינה יכולה להתקיים, שכן אילו היא מתקיימת, אזי $u,v,w$ ת"ל, בסתירה לנתון.
לכן, $\left\{ u+v+w,v-w,2w \right\}$ בת"ל.
∎

תרגיל 2

תרגיל (2)

נתון $\left\{ v_{1},v_{2},\dots,v_{k} \right\}$ הם וקטורים בת"ל במ"ו $V$ מעל $\mathbb{F}$ .
הוכיחו אם $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ או $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ אזי, קבוצת הוקטורים $S=\left\{ v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},\dots,v_{k-1}+v_{k},v_{k}+v_{1} \right\}$ היא בת"ל ⇔ $k$ הוא אי-זוגי.

הוכחה:,
⇐: נתון כי $S$ בת"ל. ⇐ קיימים $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{k}\in \mathbb{F}$ כך שכולם שווים ל- $0$ בלבד ולהם מתקיים:

\alpha_{k}(v_{k}+v_{1})=\alpha_{1}(v_{1}+v_{2})+\alpha_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\alpha_{k-1}(v_{k-1}+v_{k})

0=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{1}v_{2}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{2}v_{3}+\dots+\alpha_{k-1}v_{k-1}+\alpha_{k-1}v_{k}-\alpha_{k}v_{k}-\alpha_{k}v_{1}

0=v_{1}(\alpha_{1}-\alpha_{k})+\sum_{i=2}^{k}v_{i}(\alpha_{i-1}+\alpha_{i})

\begin{cases} \alpha_{1}-\alpha_{k}=0 \implies \alpha_{k}=\alpha_{1} \\ \alpha_{i-1}+\alpha_{i}=0 \implies \alpha_{i}=-\alpha_{i-1} \end{cases}

נראה כי יש לנו כאן תנאי בתצורת אינדוקציה, כאשר הבסיס הוא $\alpha_{1}$ ולכל $1\leq 2\leq k$ מתקיים $\alpha_{i+1}=-\alpha_{i}$ . לכן, לכל $i$ זוגי, נקבל כי $\alpha_{i}=-\alpha_{1}$ ואם הוא אי זוגי, אזי $\alpha_{i}=\alpha_{1}$ . לכן, $k$ חייב להיות אי-זוגי.

⇒: נניח בשלילה כי קיימים $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k-1}\in \mathbb{F}$ כך שכולם לא אפס ויוצא כי $k$ אי זוגי. במצב זה מתקיים כי:

v_{k}+v_{1}=\alpha_{1}(v_{1}+v_{2})+\alpha_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\alpha_{k-1}(v_{k-1}+v_{k})

0=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{1}v_{2}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{2}v_{3}+\dots+\alpha_{k-1}v_{k-1}+\alpha_{k-1}v_{k}-v_{k}-v_{1}

0=v_{1}(\alpha_{1}-1)+v_{k}(\alpha_{k-1}-1)+\sum_{i=2}^{k-1}v_{i}(\alpha_{i-1}+\alpha_{i})

\begin{cases} \alpha_{1}-1=0 \implies \alpha_{1}=1 \\ \alpha_{k-1}-1=0\implies \alpha_{k-1}=1 \\ \alpha_{i-1}+\alpha_{i}=0 \implies \alpha_{i}=-\alpha_{i-1} \end{cases}

במצב זה, נקבל כפי שקיבלנו קודם שלכל $k$ זוגי, נקבל כי $\alpha_{i}=-1$ ולכל $k$ אי-זוגי נקבל $\alpha_{i}=1$ . לכן, במצב זה $\alpha_{k-1}$ הוא אי זוגי ולכן $k$ זוגי - בסתירה לטענה.
∎

תרגיל 3

תרגיל (3)

יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$ , ויהיו $\left\{ v_{1},v_{2},u_{1},u_{2},u_{3} \right\}$ חמישה ווקטורים ב- $V$ .
ידוע כי $\left\{ u_{1},u_{2},u_{3} \right\}$ פורשת את $V$ וכן כי $\left\{ v_{1},v_{2} \right\}$ קבוצה בת"ל ב- $V$ .
הוכיחו כי קיים $1\leq i\leq3$ כך ש: $\left\{ v_{1},u_{i} \right\}$ קבוצה בת"ל.

הוכחה:
נניח בשלילה כי לא קיים $i$ כך ש- $\left\{ v_{1},u_{i} \right\}$ בת"ל ולכן, לכל $1\leq i\leq 3$ הקבוצה ת"ל. לכן, קיימים סקלרים $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} \in \mathbb{F}$ כך שמתקיים:

v_{1}=\alpha_{1}u_{1}=\alpha_{2}u_{2}=\alpha_{3}u_{3}

u_{1}=\frac{v_{1}}{\alpha_{1}},\; u_{2}=\frac{v_{1}}{\alpha_{2}},\; u_{3}=\frac{v_{1}}{\alpha_{3}}

נתון כי $\left\{ u_{1},u_{2},u_{3} \right\}$ הן קבוצה פורשת ולכן קיימים סקלרים $\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3} \in \mathbb{F}$ כך ש:

v_{2}=\beta_{1}u_{1}+\beta_{2}u_{2}+\beta_{3}u_{3}

נתון גם כי $\left\{ v_{1},v_{2} \right\}$ בת"ל ולכן לא קיים סקלר $\gamma \in \mathbb{F}$ כך ש: $v_{1}=\gamma v_{2}$ .
נציב את ה- $u$ -ים שקיבלנו ממקודם לתוך המשוואה:

v_{2}=\left( \frac{\beta_{1}}{\alpha_{1}}+\frac{\beta_{2}}{\alpha_{2}}+\frac{\beta_{3}}{\alpha_{3}} \right)v_{1}

מכיוון שכפל וחיבור הינם סגורים בשדה, אנו יודעים כי $\frac{\beta_{1}}{\alpha_{1}}+\frac{\beta_{2}}{\alpha_{2}}+\frac{\beta_{3}}{\alpha_{3}} \in \mathbb{F}$ ולכן, קיבלנו ש- $\left\{ v_{1},v_{2} \right\}$ ת"ל בסתירה לנתון.
∎

תרגיל 1

תרגיל (1 [א])

קבעו האם הטענה נכונה או לא. אם כן, הוכיחו ואם לא, הביאו דוגמה נגדית.

הטענה הינה נכונה.
הוכחה:
נניח בשלילה כי אחד המקדמים הינו $0$ . נניח בה"כ כי זה $\alpha_{1}$ . לכן, נקבל כי:

\alpha_{2}v_{2}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=0

לכן, לפי הגדרה, קיימת תת קבוצה $\left\{ v_{2},\dots,v_{m} \right\}$ שהיא ת"ל, בסתירה לנתון.
∎

תרגיל (1 [ב])

קבעו האם הטענה נכונה או לא. אם כן, הוכיחו ואם לא, הביאו דוגמה נגדית.

הטענה הינה נכונה.
הוכחה:
על פי הנתון, לא קיים $\alpha$ כך ש:

\begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \end{pmatrix}=\alpha \begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{pmatrix}

נניח בשלילה כי $\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}$ ו- $\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}$ הם ת"ל ולכן, קיים $\beta$ כך ש:

\begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{pmatrix}=\beta \begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \beta x_{2} \\ \beta y_{2} \\ \beta z_{2} \end{pmatrix}

תרגיל (1 [ג])

קבעו האם הטענה נכונה או לא. אם כן, הוכיחו ואם לא, הביאו דוגמה נגדית.

אם $\left\{ u,v,w \right\}$ הם בת"ל אז גם $\left\{ u+v+w,v-w,2w \right\}$ בת"ל.

u+v+w=\beta_{1}v-\beta_{1}w+2\beta_{2}w

u=v(\beta_{1}-1)+w(2\beta_{2}-\beta_{1}-1)

תרגיל 2

תרגיל (2)

הוכחה:,
⇐: נתון כי $S$ בת"ל. ⇐ קיימים $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{k}\in \mathbb{F}$ כך שכולם שווים ל- $0$ בלבד ולהם מתקיים:

\alpha_{k}(v_{k}+v_{1})=\alpha_{1}(v_{1}+v_{2})+\alpha_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\alpha_{k-1}(v_{k-1}+v_{k})

0=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{1}v_{2}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{2}v_{3}+\dots+\alpha_{k-1}v_{k-1}+\alpha_{k-1}v_{k}-\alpha_{k}v_{k}-\alpha_{k}v_{1}

0=v_{1}(\alpha_{1}-\alpha_{k})+\sum_{i=2}^{k}v_{i}(\alpha_{i-1}+\alpha_{i})

\begin{cases} \alpha_{1}-\alpha_{k}=0 \implies \alpha_{k}=\alpha_{1} \\ \alpha_{i-1}+\alpha_{i}=0 \implies \alpha_{i}=-\alpha_{i-1} \end{cases}

⇒: נניח בשלילה כי קיימים $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k-1}\in \mathbb{F}$ כך שכולם לא אפס ויוצא כי $k$ אי זוגי. במצב זה מתקיים כי:

v_{k}+v_{1}=\alpha_{1}(v_{1}+v_{2})+\alpha_{2}(v_{2}+v_{3})+\dots+\alpha_{k-1}(v_{k-1}+v_{k})

0=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{1}v_{2}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{2}v_{3}+\dots+\alpha_{k-1}v_{k-1}+\alpha_{k-1}v_{k}-v_{k}-v_{1}

0=v_{1}(\alpha_{1}-1)+v_{k}(\alpha_{k-1}-1)+\sum_{i=2}^{k-1}v_{i}(\alpha_{i-1}+\alpha_{i})

\begin{cases} \alpha_{1}-1=0 \implies \alpha_{1}=1 \\ \alpha_{k-1}-1=0\implies \alpha_{k-1}=1 \\ \alpha_{i-1}+\alpha_{i}=0 \implies \alpha_{i}=-\alpha_{i-1} \end{cases}

תרגיל 3

תרגיל (3)

v_{1}=\alpha_{1}u_{1}=\alpha_{2}u_{2}=\alpha_{3}u_{3}

u_{1}=\frac{v_{1}}{\alpha_{1}},\; u_{2}=\frac{v_{1}}{\alpha_{2}},\; u_{3}=\frac{v_{1}}{\alpha_{3}}

נתון כי $\left\{ u_{1},u_{2},u_{3} \right\}$ הן קבוצה פורשת ולכן קיימים סקלרים $\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3} \in \mathbb{F}$ כך ש:

v_{2}=\beta_{1}u_{1}+\beta_{2}u_{2}+\beta_{3}u_{3}

v_{2}=\left( \frac{\beta_{1}}{\alpha_{1}}+\frac{\beta_{2}}{\alpha_{2}}+\frac{\beta_{3}}{\alpha_{3}} \right)v_{1}