תרגיל 1
נסמן ב-V V V V V V חיבור: p ( x ) ⊕ q ( x ) = p ( x ) + q ( x ) + x 2 p(x)\oplus q(x)=p(x)+q(x)+x^2 p ( x ) ⊕ q ( x ) = p ( x ) + q ( x ) + x 2 כפל בסקלר: α ⊙ p ( x ) = α p ( x ) + ( α − 1 ) x 2 \alpha \odot p(x)=\alpha p(x)+(\alpha-1)x^2 α ⊙ p ( x ) = α p ( x ) + ( α − 1 ) x 2
הוכיחו כי קבוצה זו עם שתי הפעולות שהוגדרו מהווה מרחב וקטורי מעל השדה R \mathbb{R} R
הוכחה: R n [ x ] \mathbb{R}_{n}[x] R n [ x ] R \mathbb{R} R V ⊆ R n [ x ] V \subseteq \mathbb{R}_{n}[x] V ⊆ R n [ x ] V V V 0 ‾ ∈ V \underline{0}\in V 0 ∈ V 0 ‾ + p ( x ) = p ( x ) \underline{0}+p(x)=p(x) 0 + p ( x ) = p ( x ) 0 ‾ \underline{0} 0 − x 2 -x^2 − x 2 R 3 [ x ] \mathbb{R}_{3}[x] R 3 [ x ]
p ( x ) + ( − x 2 ) = p ( x ) + ( − x 2 ) + x 2 = p ( x ) p(x)+(-x^2)=p(x)+(-x^2)+x^2=p(x) p ( x ) + ( − x 2 ) = p ( x ) + ( − x 2 ) + x 2 = p ( x ) ולכן, V V V α ∈ R , p ( x ) , q ( x ) ∈ V \alpha \in \mathbb{R},p(x),q(x)\in V α ∈ R , p ( x ) , q ( x ) ∈ V α p ( x ) + q ( x ) ∈ V \alpha p(x)+q(x)\in V α p ( x ) + q ( x ) ∈ V a , b , c , m , n , k ∈ R a,b,c,m,n,k \in \mathbb{R} a , b , c , m , n , k ∈ R α ( a x 2 + b x + c ) + ( m x 2 + n x + k ) ∈ V \alpha(ax^2+bx+c)+(mx^2+nx+k)\in V α ( a x 2 + b x + c ) + ( m x 2 + n x + k ) ∈ V
α ( a x 2 + b x + c ) + ( α − 1 ) x 2 + ( m x 2 + n x + k ) + x 2 = ↓ קומוטטיביות R וחוקי כפל ב- \alpha(ax^2+bx+c)+(\alpha-1)x^2+(mx^2+nx+k)+x^2\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{קומוטטיביות} \\
\mathbb{R}\R{\text{וחוקי כפל ב-}}
\end{matrix}}{=} α ( a x 2 + b x + c ) + ( α − 1 ) x 2 + ( m x 2 + n x + k ) + x 2 ↓ קומוטטיביות R וחוקי כפל ב- = α a x 2 + α b x + α c + ( α − 1 ) x 2 + m x 2 + n x + k + x 2 = ( α a + α + m ) x 2 + ( α b + n ) x + ( α c + k ) \alpha ax^2+\alpha bx+\alpha c+(\alpha-1)x^2+mx^2+nx+k+x^2=(\alpha a+\alpha+m)x^2+(\alpha b+n)x+(\alpha c+k) α a x 2 + α b x + α c + ( α − 1 ) x 2 + m x 2 + n x + k + x 2 = ( α a + α + m ) x 2 + ( α b + n ) x + ( α c + k ) על פי סגירות לחיבור וכפל ב-R \mathbb{R} R ( α a + α + m ) x 2 + ( α b + n ) x + ( α c + k ) ∈ R 3 [ x ] (\alpha a+\alpha+m)x^2+(\alpha b+n)x+(\alpha c+k) \in \mathbb{R}_{3}[x] ( α a + α + m ) x 2 + ( α b + n ) x + ( α c + k ) ∈ R 3 [ x ] ( α a + α + m ) x 2 + ( α b + n ) x + ( α c + k ) ∈ V (\alpha a+\alpha+m)x^2+(\alpha b+n)x+(\alpha c+k)\in V ( α a + α + m ) x 2 + ( α b + n ) x + ( α c + k ) ∈ V
לכן, V V V R 3 [ x ] \mathbb{R}_{3}[x] R 3 [ x ] ∎
לאילו מספרים ממשיים β \beta β W = { p ( x ) ∈ V ∣ p ( 2 ) = β } W=\{ p(x)\in V|p(2)=\beta \} W = { p ( x ) ∈ V ∣ p ( 2 ) = β } V V V
הוכחה: V V V W ⊆ V W \subseteq V W ⊆ V W W W V V V p ( 2 ) = β p(2)=\beta p ( 2 ) = β W W W V V V 0 ‾ ∈ W \underline{0}\in W 0 ∈ W β \beta β p ( x ) ∈ W p(x)\in W p ( x ) ∈ W 0 ‾ \underline{0} 0 p ( x ) + 0 ‾ = p ( x ) p(x)+\underline{0}=p(x) p ( x ) + 0 = p ( x ) 0 ‾ ( 2 ) = β \underline{0}(2)=\beta 0 ( 2 ) = β
p ( x ) + 0 ‾ = p ( x ) + 0 ‾ + x 2 = לפי הנחה p ( x ) p(x)+\underline{0}=p(x)+\underline{0}+x^2\underset{\R{\text{לפי הנחה}}}{=}p(x) p ( x ) + 0 = p ( x ) + 0 + x 2 לפי הנחה = p ( x ) 0 ‾ ( 2 ) = − 2 2 = − 4 \underline{0}(2)=-2^2=-4 0 ( 2 ) = − 2 2 = − 4 במקרה בו 0 ‾ ( 2 ) = β \underline{0}(2)=\beta 0 ( 2 ) = β − 4 = β -4=\beta − 4 = β 0 ‾ ∈ W \underline{0}\in W 0 ∈ W β = − 4 \beta=-4 β = − 4 β \beta β α ∈ F v , u ∈ W \alpha \in \mathbb{F} \quad v,u \in W α ∈ F v , u ∈ W α v + u ∈ W \alpha v+u \in W αv + u ∈ W v ( 2 ) = − 4 u ( 2 ) = − 4 \begin{matrix}v(2)=-4 \\u(2)=-4\end{matrix} v ( 2 ) = − 4 u ( 2 ) = − 4 α v ( 2 ) = − 4 ( u + v ) ( 2 ) = − 4 \begin{matrix}\alpha v(2)=-4\\ (u+v)(2)=-4\end{matrix} αv ( 2 ) = − 4 ( u + v ) ( 2 ) = − 4
α v ( 2 ) = α v ( 2 ) + ( α − 1 ) ⋅ 4 2 = − 4 α + 4 α − 4 = − 4 \alpha v(2)=\alpha v(2)+(\alpha-1)\cdot 4^2 =-4\alpha+4\alpha-4=-4 αv ( 2 ) = αv ( 2 ) + ( α − 1 ) ⋅ 4 2 = − 4 α + 4 α − 4 = − 4 ( u + v ) ( 2 ) = ( u + v + x 2 ) ( 2 ) = − 4 − 4 + 4 = − 4 (u+v)(2)=(u+v+x^2)(2)=-4-4+4=-4 ( u + v ) ( 2 ) = ( u + v + x 2 ) ( 2 ) = − 4 − 4 + 4 = − 4 לכן, בשביל β = − 4 \beta=-4 β = − 4 W W W V V V ∎
תרגיל 2
בכל אחד מהמקרים הבאים מתקיים W ⊆ V W \subseteq V W ⊆ V W W W V V V
V = R n × n V=\mathbb{R}^{n\times n} V = R n × n = W =W = W
הוכחה:
A = ( 1 2 0 3 ) B = ( 1 0 2 3 ) A=\begin{pmatrix}
1&2 \\
0&3
\end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix}
1&0 \\
2&3
\end{pmatrix} A = ( 1 0 2 3 ) B = ( 1 2 0 3 ) מכפלת כל מטריצה הינה 0, שכן יש איבר השווה ל-0 בכל מטריצה.
A + B = ( 2 2 2 3 ) A+B=\begin{pmatrix}
2&2 \\
2&3
\end{pmatrix} A + B = ( 2 2 2 3 ) במצב זה, לאחר החיבור בין המטריצות, נראה כי אין איבר השווה ל-0 ולכן, מכפלת האיברים תהיה: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 32 ≠ 0 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 =32\neq 0 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 32 = 0 W W W W W W ∎
V = R n × n V=R^{n \times n} V = R n × n = W =W = W
הוכחה:
A = ( 5 6 5 6 ) B = ( 1 2 2 4 ) A=\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
5 & 6
\end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix} A = ( 5 5 6 6 ) B = ( 1 2 2 4 ) שתי המטריצות האלו בעלות דרגה 1 = 1= 1 =
A : ( 5 6 5 6 ) R 2 = R 2 − R 1 → ( 5 6 0 0 ) A:\; \begin{pmatrix}
5 & 6 \\
5 & 6
\end{pmatrix} \overrightarrow{R_{2}=R_{2}-R_{1}}\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
0& 0
\end{pmatrix} A : ( 5 5 6 6 ) R 2 = R 2 − R 1 ( 5 0 6 0 ) B : ( 1 2 2 4 ) R 2 = R 2 − 2 R 1 → ( 1 2 0 0 ) B:\; \begin{pmatrix}
1&2 \\
2&4
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{2}=R_{2}-2R_{1}}\begin{pmatrix}
1&2 \\
0&0
\end{pmatrix} B : ( 1 2 2 4 ) R 2 = R 2 − 2 R 1 ( 1 0 2 0 ) אך כאשר נחבר אותן:
( 5 6 5 6 ) + ( 1 2 2 4 ) = ( 6 8 7 10 ) \begin{pmatrix}
5&6 \\
5&6
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1&2 \\
2&4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
6&8 \\
7&10
\end{pmatrix} ( 5 5 6 6 ) + ( 1 2 2 4 ) = ( 6 7 8 10 ) ננסה לדרג מטריצה זו:
R 1 = 1 6 R 1 → ( 1 8 6 7 10 ) R 2 = R 2 − 7 R 1 → ( 1 8 6 0 2 3 ) \overrightarrow{R_{1}=\frac{1}{6}R_{1}}\begin{pmatrix}
1& \frac{8}{6} \\
7 & 10
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{2}=R_{2}-7R_{1}}\begin{pmatrix}
1 & \frac{8}{6} \\
0& \frac{2}{3}
\end{pmatrix} R 1 = 6 1 R 1 ( 1 7 6 8 10 ) R 2 = R 2 − 7 R 1 ( 1 0 6 8 3 2 ) למטריצה זו r = 2 r=2 r = 2
( 5 6 5 6 ) + ( 1 2 2 4 ) ∉ W \begin{pmatrix}
5&6 \\
5&6
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1&2 \\
2&4
\end{pmatrix} \not\in W ( 5 5 6 6 ) + ( 1 2 2 4 ) ∈ W מה שעומד בניגוד לתכונות המ"ו ולכן W W W ∎
F = C V = C 3 F=\mathbb{C} \qquad V=\mathbb{C}^3 F = C V = C 3 W = { ( z 1 , z 2 , z 3 ) ∈ V ∣ z 1 + z 2 ‾ = z 3 } W=\{ (z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{1}+\overline{z_{2}}=z_{3} \} W = {( z 1 , z 2 , z 3 ) ∈ V ∣ z 1 + z 2 = z 3 } הוכחה: ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) ( 0 , 0 , 0 )
0 + 0 = 0 0+0=0 0 + 0 = 0 כן - איזה יופי :)
α ( a 1 , a 2 , a 3 ) + ( b 1 , b 2 , b 3 ) = ( α a 1 + b 1 , α a 2 + b 2 , α a 3 + b 3 ) \alpha (a_{1},a_{2},a_{3})+(b_{1},b_{2},b_{3})=(\alpha a_{1}+b_{1},\alpha a_{2}+b_{2},\alpha a_{3}+b_{3}) α ( a 1 , a 2 , a 3 ) + ( b 1 , b 2 , b 3 ) = ( α a 1 + b 1 , α a 2 + b 2 , α a 3 + b 3 ) α a 1 + b 1 + α a 2 + b 2 ‾ = α ( a 1 + a 2 ‾ ) + ( b 1 + b 2 ‾ ) \alpha a_{1}+b_{1}+\overline{\alpha a_{2}+b_{2}}=\alpha (a_{1}+\overline{a_{2}})+(b_{1}+\overline{b_{2}}) α a 1 + b 1 + α a 2 + b 2 = α ( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 ) α a 1 + b 1 + α a 2 ‾ + b 2 ‾ = α a 1 + α a 2 ‾ + b 1 + b 2 ‾ \alpha a_{1}+b_{1}+\alpha\overline{a_{2}}+\overline{b_{2}}=\alpha a_{1}+\alpha \overline{a_{2}}+b_{1}+\overline{b_{2}} α a 1 + b 1 + α a 2 + b 2 = α a 1 + α a 2 + b 1 + b 2 אוקי, יש הוכחה - יאי!
נוכיח כי 0 ‾ ∈ W \underline{0}\in W 0 ∈ W W ≠ ∅ W\neq \emptyset W = ∅
( z 1 , z 2 , z 3 ) + ( 0 , 0 , 0 ) = ( z 1 + 0 , z 2 + 0 , z 3 + 0 ) = ( z 1 , z 2 , z 3 ) (z_{1},z_{2},z_{3})+(0,0,0)=(z_{1}+0,z_{2}+0,z_{3}+0)=(z_{1},z_{2},z_{3}) ( z 1 , z 2 , z 3 ) + ( 0 , 0 , 0 ) = ( z 1 + 0 , z 2 + 0 , z 3 + 0 ) = ( z 1 , z 2 , z 3 ) נבדוק האם תנאי W W W
0 + 0 ‾ = 0 0+\overline{0}=0 0 + 0 = 0 דבר זה מתקיים ולכן, 0 ‾ ∈ W \underline{0}\in W 0 ∈ W W ≠ ∅ W \neq \emptyset W = ∅ v ‾ , u ‾ ∈ W \underline{v},\underline{u} \in W v , u ∈ W α v ‾ + u ‾ ∈ W \alpha \underline{v}+\underline{u} \in W α v + u ∈ W
α ( v 1 , v 2 , v 3 ) + ( u 1 , u 2 , u 3 ) = ( α v 1 + u 1 , α v 2 + u 2 , α v 3 + u 3 ) \alpha(v_{1},v_{2},v_{3})+(u_{1},u_{2},u_{3})=(\alpha v_{1}+u_{1},\alpha v_{2}+u_{2},\alpha v_{3}+u_{3}) α ( v 1 , v 2 , v 3 ) + ( u 1 , u 2 , u 3 ) = ( α v 1 + u 1 , α v 2 + u 2 , α v 3 + u 3 ) נתון: v 1 + v 2 ‾ = v 3 u 1 + u 2 ‾ = u 3 \begin{matrix}v_{1}+\overline{v_{2}}=v_{3}\\ u_{1}+\overline{u_{2}}=u_{3}\end{matrix} v 1 + v 2 = v 3 u 1 + u 2 = u 3 α v 1 + u 1 + α v 2 + u 2 ‾ = α v 3 + u 3 \alpha v_{1}+u_{1}+\overline{\alpha v_{2}+u_{2}}=\alpha v_{3}+u_{3} α v 1 + u 1 + α v 2 + u 2 = α v 3 + u 3
α v 1 + u 1 + α v 2 + u 2 ‾ = ↓ לפי חוקי מספר צמוד α v 1 + α v 2 ‾ + u 1 + u 2 ‾ = α ( v 1 + v 2 ‾ ) + ( u 1 + u 2 ‾ ) \alpha v_{1}+u_{1}+\overline{\alpha v_{2}+u_{2}}\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לפי חוקי}} \\
\R{\text{מספר צמוד}}
\end{matrix}}{=}\alpha v_{1}+\alpha \overline{v_{2}}+u_{1}+\overline{u_{2}}=\alpha(v_{1}+\overline{v_{2}})+(u_{1}+\overline{u_{2}}) α v 1 + u 1 + α v 2 + u 2 ↓ לפי חוקי מספר צמוד = α v 1 + α v 2 + u 1 + u 2 = α ( v 1 + v 2 ) + ( u 1 + u 2 ) α ( v 1 + v 2 ‾ ) + ( u 1 + u 2 ‾ ) = ↓ לפי נתון α v 3 + u 3 \alpha(v_{1}+\overline{v_{2}})+(u_{1}+\overline{u_{2}})\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לפי נתון}}
\end{matrix}}{=}\alpha v_{3}+u_{3} α ( v 1 + v 2 ) + ( u 1 + u 2 ) ↓ לפי נתון = α v 3 + u 3 ולכן מתקיים: α v 1 + u 1 + α v 2 + u 2 ‾ = α v 3 + u 3 \alpha v_{1}+u_{1}+\overline{\alpha v_{2}+u_{2}}=\alpha v_{3}+u_{3} α v 1 + u 1 + α v 2 + u 2 = α v 3 + u 3 α ( v 1 , v 2 , v 3 ) + ( u 1 , u 2 , u 3 ) ∈ W \alpha(v_{1},v_{2},v_{3})+(u_{1},u_{2},u_{3})\in W α ( v 1 , v 2 , v 3 ) + ( u 1 , u 2 , u 3 ) ∈ W W W W V V V ∎
תרגיל 3
יהא V V V F \mathbb{F} F W W W V V V v 1 , v 2 v_{1},v_{2} v 1 , v 2 V V V V V V
T 1 = { v 1 + w ∣ w ∈ W } T 2 = { v 2 + w ∣ w ∈ W } T_{1}=\{ v_{1}+w|w \in W \} \qquad T_{2}=\{ v_{2}+w|w \in W \} T 1 = { v 1 + w ∣ w ∈ W } T 2 = { v 2 + w ∣ w ∈ W } נתון כי T 1 ∩ T 2 ≠ ∅ T_{1} \cap T_{2}\neq\emptyset T 1 ∩ T 2 = ∅ v ∈ V v \in V v ∈ V v ∈ T 1 ∩ T 2 v \in T_{1} \cap T_{2} v ∈ T 1 ∩ T 2 T 1 = T 2 T_{1}=T_{2} T 1 = T 2
הוכחה: T 1 ∩ T 2 ≠ ∅ T_{1} \cap T_{2}\neq \emptyset T 1 ∩ T 2 = ∅ w 1 , w 2 ∈ W w_{1},w_{2} \in W w 1 , w 2 ∈ W
v 1 + w 1 = v 2 + w 2 v_{1}+w_{1}=v_{2}+w_{2} v 1 + w 1 = v 2 + w 2 מכיוון ש-W W W w ∈ W w \in W w ∈ W w 1 w_{1} w 1 ( − w 1 ) (-w_{1}) ( − w 1 )
v 1 = v 2 + w 2 + ( − w 1 ) v_{1}=v_{2}+w_{2}+(-w_{1}) v 1 = v 2 + w 2 + ( − w 1 ) מכיוון ש-W W W ( w 2 + ( − w 1 ) ) ∈ W (w_{2}+(-w_{1}))\in W ( w 2 + ( − w 1 )) ∈ W v 2 + ( w 2 + ( − w 1 ) ) ∈ T 2 v_{2}+(w_{2}+(-w_{1}))\in T_{2} v 2 + ( w 2 + ( − w 1 )) ∈ T 2 v 1 ∈ T 2 v_{1}\in T_{2} v 1 ∈ T 2 t ∈ T 1 t \in T_{1} t ∈ T 1 t ∈ T 2 t \in T_{2} t ∈ T 2 T 1 ⊆ T 2 T_{1} \subseteq T_{2} T 1 ⊆ T 2 T 2 T_{2} T 2 w ∈ W w \in W w ∈ W v 2 + w = v 1 v_{2}+w=v_{1} v 2 + w = v 1 v 2 = v 1 + ( − w ) v_{2}=v_{1}+(-w) v 2 = v 1 + ( − w ) v 2 ∈ T 1 v_{2} \in T_{1} v 2 ∈ T 1 t ∈ T 2 t \in T_{2} t ∈ T 2 t ∈ T 1 t \in T_{1} t ∈ T 1 T 2 ⊆ T 1 T_{2} \subseteq T_{1} T 2 ⊆ T 1 T 1 = T 2 T_{1}=T_{2} T 1 = T 2 ∎
תרגיל 4
יהא V V V U U U V V V U ≠ V , U ≠ { 0 } U\neq V,U\neq \{ 0 \} U = V , U = { 0 } v 0 ∈ V v_{0} \in V v 0 ∈ V v ∈ V , v ∉ U v \in V,v \not\in U v ∈ V , v ∈ U v ∈ s p { v 0 } v \in sp\{ v_{0} \} v ∈ s p { v 0 }
הוכחה: v 0 ∈ V v_{0}\in V v 0 ∈ V v ∈ U v \in U v ∈ U v ∈ s p { v 0 } v \in sp\{ v_{0} \} v ∈ s p { v 0 } 0 ⋅ v 0 = 0 ‾ 0 \cdot v_{0}=\underline{0} 0 ⋅ v 0 = 0 U U U V V V 0 0 0 0 0 0 V V V v ∈ s p { v 0 } v \in sp\{ v_{0} \} v ∈ s p { v 0 } v = α v 0 v=\alpha v_{0} v = α v 0 α ∈ F \alpha \in \mathbb{F} α ∈ F α = 0 \alpha=0 α = 0 v = 0 ‾ v=\underline{0} v = 0 v ∈ U v \in U v ∈ U ∎
תרגיל 5
יהא V = R 2 × 2 V=\mathbb{R}^{2\times2} V = R 2 × 2 A = ( 1 − 2 − 1 1 ) A=\begin{pmatrix}1&-2\\ -1&1\end{pmatrix} A = ( 1 − 1 − 2 1 ) V V V W = { B ∈ V : A B = B A } , U = s p { ( 0 0 1 1 ) , ( 3 − 2 0 4 ) } W=\{ B \in V:\; AB=BA \},\quad U=sp\left\{ \begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3&-2\\ 0&4\end{pmatrix} \right\} W = { B ∈ V : A B = B A } , U = s p { ( 0 1 0 1 ) , ( 3 0 − 2 4 ) }
מצאו איבר כללי של U ∩ W U \cap W U ∩ W
תחילה, נראה כיצד נראה איבר כללי ב-U U U
s p { ( 0 0 1 1 ) , ( 3 − 2 0 4 ) } = α ( 0 0 1 1 ) + β ( 3 − 2 0 4 ) sp\left\{ \begin{pmatrix}
0&0 \\
1&1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
3&-2 \\
0&4
\end{pmatrix} \right\}=\alpha \begin{pmatrix}
0&0 \\
1&1
\end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix}
3&-2 \\
0&4
\end{pmatrix} s p { ( 0 1 0 1 ) , ( 3 0 − 2 4 ) } = α ( 0 1 0 1 ) + β ( 3 0 − 2 4 ) כאשר α , β ∈ R \alpha,\beta \in \mathbb{R} α , β ∈ R U U U
( 3 β − 2 β α α + 4 β ) \begin{pmatrix}
3\beta&-2\beta \\
\alpha&\alpha+4\beta
\end{pmatrix} ( 3 β α − 2 β α + 4 β ) כעת, נראה איך נראה איבר כללי ב-W W W
( a b c d ) ∈ R 2 : ( 1 − 2 − 1 1 ) ( a b c d ) = ( a b c d ) ( 1 − 2 − 1 1 ) \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2:\; \begin{pmatrix}
1&-2 \\
-1&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&-2 \\
-1&1
\end{pmatrix} ( a c b d ) ∈ R 2 : ( 1 − 1 − 2 1 ) ( a c b d ) = ( a c b d ) ( 1 − 1 − 2 1 ) ( a − 2 c b − 2 d c − a d − b ) = ( a − b b − 2 a c − d d − 2 c ) \begin{pmatrix}
a-2c & b-2d \\
c-a&d-b
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a-b & b-2a \\
c-d & d-2c
\end{pmatrix} ( a − 2 c c − a b − 2 d d − b ) = ( a − b c − d b − 2 a d − 2 c ) { a − 2 c = a − b ⟹ b = 2 c b − 2 d = b − 2 a ⟹ a = d c − a = c − d ⟹ a = d d − b = d − 2 c ⟹ b = 2 c \begin{cases}
a-2c=a-b \implies b=2c \\
b-2d=b-2a\implies a=d \\
c-a=c-d \implies a=d \\
d-b=d-2c \implies b=2c
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a − 2 c = a − b ⟹ b = 2 c b − 2 d = b − 2 a ⟹ a = d c − a = c − d ⟹ a = d d − b = d − 2 c ⟹ b = 2 c נראה כי איבר כללי ב-W W W
( a 2 c c a ) \begin{pmatrix}
a&2c \\
c&a
\end{pmatrix} ( a c 2 c a ) לכן, נראה כי באיבר כללי ב-U ∩ W U \cap W U ∩ W 2 α = − 2 β 2\alpha=-2\beta 2 α = − 2 β α = − β \alpha=-\beta α = − β איבר כללי ב-U ∩ W U \cap W U ∩ W ( − 3 β 2 β β − 3 β ) \begin{pmatrix}-3\beta & 2\beta \\\beta & -3\beta\end{pmatrix} ( − 3 β β 2 β − 3 β ) β ∈ R \beta \in \mathbb{R} β ∈ R
מצאו איבר כללי של U + W U+W U + W
לאחר שנזכר מהאיברים הכללים של U , W U,W U , W
( 3 β − 2 β α α + 4 β ) + ( a 2 c c a ) = ( 3 β + a 2 c − 2 β α + c α + 4 β + a ) \begin{pmatrix}
3\beta&-2\beta \\
\alpha&\alpha+4\beta
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a&2c \\
c&a
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3\beta+a & 2c-2\beta \\
\alpha+c&\alpha+4\beta+a
\end{pmatrix} ( 3 β α − 2 β α + 4 β ) + ( a c 2 c a ) = ( 3 β + a α + c 2 c − 2 β α + 4 β + a ) = { α ( 0 , 0 , 1 , 1 ) + β ( 3 , − 2 , 0 , 4 ) + a ( 1 , 0 , 0 , 1 ) + c ( 0 , 2 , 1 , 0 ) } = s p { ( 0 , 0 , 1 , 1 ) , ( 3 , − 2 , 0 , 4 ) , ( 1 , 0 , 0 , 1 ) , ( 0 , 2 , 1 , 0 ) } =\{ \alpha(0,0,1,1)+\beta(3,-2,0,4)+a(1,0,0,1)+c(0,2,1,0) \}=sp\{ (0,0,1,1),(3,-2,0,4),(1,0,0,1),(0,2,1,0) \} = { α ( 0 , 0 , 1 , 1 ) + β ( 3 , − 2 , 0 , 4 ) + a ( 1 , 0 , 0 , 1 ) + c ( 0 , 2 , 1 , 0 )} = s p {( 0 , 0 , 1 , 1 ) , ( 3 , − 2 , 0 , 4 ) , ( 1 , 0 , 0 , 1 ) , ( 0 , 2 , 1 , 0 )} ( 0 0 1 1 3 − 2 0 4 1 0 0 1 0 2 1 0 ) R 3 ↔ R 1 → ( 1 0 0 1 3 − 2 0 4 0 0 1 1 0 2 1 0 ) R 2 = R 2 − 3 R 1 → ( 1 0 0 1 0 − 2 0 1 0 0 1 1 0 2 1 0 ) \begin{pmatrix}
0&0&1&1 \\
3&-2&0&4 \\
1&0&0 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 0
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{3}\leftrightarrow R_{1}}\begin{pmatrix}
1&0&0 & 1 \\
3&-2&0&4 \\
0&0&1&1 \\
0 & 2 & 1 & 0
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{2}=R_{2}-3R_{1}}\begin{pmatrix}
1&0&0&1 \\
0 & -2 & 0 & 1 \\
0&0&1&1 \\
0&2&1&0
\end{pmatrix} 0 3 1 0 0 − 2 0 2 1 0 0 1 1 4 1 0 R 3 ↔ R 1 1 3 0 0 0 − 2 0 2 0 0 1 1 1 4 1 0 R 2 = R 2 − 3 R 1 1 0 0 0 0 − 2 0 2 0 0 1 1 1 1 1 0 R 2 = − 1 2 R 2 → ( 1 0 0 1 0 1 0 − 1 2 0 0 1 1 0 2 1 0 ) R 4 = R 4 − 2 R 2 → ( 1 0 0 1 0 1 0 − 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 ) R 4 = R 4 − R 3 → ( 1 0 0 1 0 1 0 − 1 2 0 0 1 1 0 0 0 0 ) \overrightarrow{R_{2}=-\frac{1}{2}R_{2}}\begin{pmatrix}
1&0&0&1 \\
0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\
0&0&1&1 \\
0&2&1&0
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{4}=R_{4}-2R_{2}}\begin{pmatrix}
1&0&0&1 \\
0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\
0&0&1&1 \\
0&0&1&1
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{4}=R_{4}-R_{3}}\begin{pmatrix}
1&0&0&1 \\
0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\
0&0&1&1 \\
0&0&0&0
\end{pmatrix} R 2 = − 2 1 R 2 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 1 1 − 2 1 1 0 R 4 = R 4 − 2 R 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 − 2 1 1 1 R 4 = R 4 − R 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 − 2 1 1 0 = s p { ( 1 , 0 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 0 , − 0.5 ) , ( 0 , 0 , 1 , 1 ) } = { α ( 1 , 0 , 0 , 1 ) + β ( 0 , 1 , 0 , − 0.5 ) + a ( 0 , 0 , 1 , 1 ) } =sp\{ (1,0,0,1),(0,1,0,-0.5),(0,0,1,1) \}=\{ \alpha(1,0,0,1)+\beta(0,1,0,-0.5)+a(0,0,1,1) \} = s p {( 1 , 0 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 0 , − 0.5 ) , ( 0 , 0 , 1 , 1 )} = { α ( 1 , 0 , 0 , 1 ) + β ( 0 , 1 , 0 , − 0.5 ) + a ( 0 , 0 , 1 , 1 )} לכן, איבר כללי של U + W U+W U + W
( α β a α − 1 2 β + a ) \begin{pmatrix}
\alpha & \beta \\
a & \alpha-\frac{1}{2}\beta+a
\end{pmatrix} ( α a β α − 2 1 β + a )
נתונה המטריצה C = ( 3 − 4 − 3 2 ) C=\begin{pmatrix}3&-4\\-3&2\end{pmatrix} C = ( 3 − 3 − 4 2 ) F ∈ U , E ∈ W F \in U,E \in W F ∈ U , E ∈ W C = F + E C=F+E C = F + E E E E או הוכיחו כי לא קיימות מטריצות כאלו.
הוכחה:
E = ( − 3 0 0 − 3 ) F = ( 6 − 4 − 3 5 ) E=\begin{pmatrix}
-3 & 0 \\
0 & -3
\end{pmatrix} \qquad F=\begin{pmatrix}
6&-4 \\
-3&5
\end{pmatrix} E = ( − 3 0 0 − 3 ) F = ( 6 − 3 − 4 5 ) המטריצה E E E i > j i>j i > j a i j = 0 a_{ij}=0 a ij = 0
( − 3 0 0 − 3 ) + ( 6 − 4 − 3 5 ) = ( 3 − 4 − 3 2 ) = ↓ לפי נתון C \begin{pmatrix}
-3 & 0 \\
0 & -3
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
6&-4 \\
-3&5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3&-4 \\
-3&2
\end{pmatrix}\underset{\begin{matrix}
\downarrow \\
\R{\text{לפי נתון}}
\end{matrix}}{=}C ( − 3 0 0 − 3 ) + ( 6 − 3 − 4 5 ) = ( 3 − 3 − 4 2 ) ↓ לפי נתון = C ∎