תרגיל 1
חשבו את הביטוי:
1 − i 3 + i 6 \sqrt[6]{ \frac{1-i}{\sqrt{ 3 }+i} } 6 3 + i 1 − i חישוב:
1 − i ⟹ { R = 1 + 1 = 2 tan θ ^ = 1 − 1 = − 1 ⟹ θ ^ = − 45 ∘ + 360 ∘ 1-i\implies \begin{cases}
R=\sqrt{ 1+1 }=\sqrt{ 2 } \\
\tan \hat{\theta}=\frac{1}{-1}=-1 \implies \hat{\theta}=-45^\circ + 360^\circ
\end{cases} 1 − i ⟹ { R = 1 + 1 = 2 tan θ ^ = − 1 1 = − 1 ⟹ θ ^ = − 4 5 ∘ + 36 0 ∘ 1 − i = 2 c i s 315 ∘ 1-i=\sqrt{ 2 }cis\ 315^\circ 1 − i = 2 c i s 31 5 ∘ 3 + i ⟹ { R = 3 + 1 = 2 tan θ ^ = 1 3 ⟹ θ = 30 ∘ \sqrt{ 3 }+i\implies \begin{cases}
R=\sqrt{ 3+1 }=2 \\
\tan\hat{\theta}=\frac{1}{\sqrt{ 3 }}\implies \theta=30^\circ
\end{cases} 3 + i ⟹ { R = 3 + 1 = 2 tan θ ^ = 3 1 ⟹ θ = 3 0 ∘ 3 + i = 2 c i s 30 ∘ \sqrt{ 3 }+i=2cis\ 30^\circ 3 + i = 2 c i s 3 0 ∘ כעת, נפתור את המשוואה:
2 c i s 315 ∘ 2 c i s 30 ∘ 6 = 1 2 c i s 285 ∘ 6 \sqrt[6]{ \frac{\sqrt{ 2 }cis\ 315^\circ}{2cis\ 30^\circ} }=\sqrt[6]{ \frac{1}{\sqrt{ 2 }}cis\ 285^\circ } 6 2 c i s 3 0 ∘ 2 c i s 31 5 ∘ = 6 2 1 c i s 28 5 ∘ R 6 c i s ( 6 θ ) = 1 2 c i s 285 ∘ R^6cis(6\theta)=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}cis\ 285^\circ R 6 c i s ( 6 θ ) = 2 1 c i s 28 5 ∘ { R 6 = 1 2 ⟹ R = 1 2 12 6 θ = 285 ∘ + 360 ∘ k ⟹ θ = 285 ∘ + 360 ∘ k 6 k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \begin{cases}
R^6=\frac{1}{\sqrt{ 2 }} \implies R = \frac{1}{\sqrt[12]{ 2 }} \\
6\theta=285^\circ + 360^\circ k \implies \theta = \frac{285^\circ + 360^\circ k}{6}_{\quad k=0,1,2,3,4,5}
\end{cases} { R 6 = 2 1 ⟹ R = 12 2 1 6 θ = 28 5 ∘ + 36 0 ∘ k ⟹ θ = 6 28 5 ∘ + 36 0 ∘ k k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ולכן הפתונות הינן:
1 2 12 c i s ( 285 ∘ + 360 ∘ k 6 ) k = 0 , … , 5 \frac{1}{\sqrt[12]{ 2 }}cis\left( \frac{285^\circ+360^\circ k}{6} \right)_{\quad k=0,\dots,5} 12 2 1 c i s ( 6 28 5 ∘ + 36 0 ∘ k ) k = 0 , … , 5 ∎
חשבו את הביטוי:
( 1 + i 2 ) n \left( \frac{1+i}{\sqrt{ 2 }} \right)^n ( 2 1 + i ) n חישוב:
tan θ ^ = 1 2 1 2 = 1 ⟹ θ = 45 ∘ \tan\hat{\theta}=\frac{\frac{1}{\sqrt{ 2 }}}{\frac{1}{\sqrt{ 2 }}}=1 \implies \theta=45^\circ tan θ ^ = 2 1 2 1 = 1 ⟹ θ = 4 5 ∘ R = 1 2 2 + 1 2 2 = 1 2 + 1 2 = 1 = 1 R=\sqrt{ \frac{1}{\sqrt{ 2 }^2}+\frac{1}{\sqrt{ 2 }^2} }=\sqrt{ \frac{1}{2}+\frac{1}{2} }=\sqrt{ 1 }=1 R = 2 2 1 + 2 2 1 = 2 1 + 2 1 = 1 = 1 ( 1 + i 2 ) n = 1 n c i s ( n ⋅ 45 ∘ ) = c i s ( 45 ∘ n ) \left( \frac{1+i}{\sqrt{ 2 }} \right)^n=1^ncis(n\cdot 45^\circ)=cis(45^\circ n) ( 2 1 + i ) n = 1 n c i s ( n ⋅ 4 5 ∘ ) = c i s ( 4 5 ∘ n ) ∎
חשבו את הביטוי:
( − 1 + i 3 ) 15 ( 1 − i ) 20 \frac{(-1+i\sqrt{ 3 })^{15}}{(1-i)^{20}} ( 1 − i ) 20 ( − 1 + i 3 ) 15 חישוב:
− 1 + i 3 = { R = 1 + 3 = 2 tan θ ^ = 3 − 1 = − 3 = − 60 ∘ + 180 ∘ k ⟹ θ = 120 ∘ = 2 c i s 120 ∘ -1+i\sqrt{ 3 }=\begin{cases}
R=\sqrt{ 1+3 }=2 \\
\tan\hat{\theta}=\frac{\sqrt{ 3 }}{-1}=-\sqrt{ 3 }=-60^\circ +180^\circ k\implies \theta=120^\circ
\end{cases}=2cis\ 120^\circ − 1 + i 3 = { R = 1 + 3 = 2 tan θ ^ = − 1 3 = − 3 = − 6 0 ∘ + 18 0 ∘ k ⟹ θ = 12 0 ∘ = 2 c i s 12 0 ∘ כעת, נמצא את הייצוג הטריגונומטרי של המכנה:
1 − i = { R = 1 + 1 = 2 tan θ ^ = − 1 1 = − 1 = − 45 ∘ + 180 ∘ k ⟹ θ = 315 ∘ = 2 c i s 315 ∘ 1-i=\begin{cases}
R=\sqrt{ 1+1 }=\sqrt{ 2 } \\
\tan\hat{\theta}=-\frac{1}{1}=-1=-45^\circ+180^\circ k \implies \theta=315^\circ
\end{cases}=\sqrt{ 2 }cis\ 315^\circ 1 − i = { R = 1 + 1 = 2 tan θ ^ = − 1 1 = − 1 = − 4 5 ∘ + 18 0 ∘ k ⟹ θ = 31 5 ∘ = 2 c i s 31 5 ∘ כעת נחזור לשבר:
2 15 c i s ( 15 ⋅ 120 ∘ ) ( 2 2 ) 10 c i s ( 20 ⋅ 315 ∘ ) = 2 5 c i s ( 15 ⋅ 120 ∘ ) c i s ( 20 ⋅ 315 ∘ ) = 2 5 c i s ( 15 ⋅ 120 ∘ − 20 ⋅ 315 ∘ ) = 32 c i s ( 1800 − 6300 ) \frac{2^{15}cis(15\cdot 120^\circ)}{\left(\sqrt{ 2 }^2\right)^{10}cis(20\cdot 315^\circ)}=\frac{2^5cis(15 \cdot 120^\circ)}{cis(20\cdot 315^\circ)}=2^5cis(15\cdot 120^\circ - 20\cdot 315^\circ)=32cis(1800-6300) ( 2 2 ) 10 c i s ( 20 ⋅ 31 5 ∘ ) 2 15 c i s ( 15 ⋅ 12 0 ∘ ) = c i s ( 20 ⋅ 31 5 ∘ ) 2 5 c i s ( 15 ⋅ 12 0 ∘ ) = 2 5 c i s ( 15 ⋅ 12 0 ∘ − 20 ⋅ 31 5 ∘ ) = 32 c i s ( 1800 − 6300 ) = 32 c i s ( − 4500 ) = 32 c i s ( 180 ∘ ) = − 32 =32cis(-4500)=32cis(180^\circ)=-32 = 32 c i s ( − 4500 ) = 32 c i s ( 18 0 ∘ ) = − 32 ∎
תרגיל 2
יהי z z z z 3 = 8 z^3=8 z 3 = 8 w = c i s 240 ∘ w=cis\ 240^\circ w = c i s 24 0 ∘ w ‾ = 1 w \overline{w}=\frac{1}{w} w = w 1 z 4 = 16 z^4=16 z 4 = 16 z 2 w 5 = 16 z^2w^5=16 z 2 w 5 = 16 w 5 = 2 i w^5=2i w 5 = 2 i − z w = z ‾ -zw=\overline{z} − z w = z
הוכחה: z z z
z 3 = R 3 c i s ( 3 θ ) = 8 c i s 0 z^3=R^3cis(3\theta)=8cis\ 0 z 3 = R 3 c i s ( 3 θ ) = 8 c i s 0 { R 3 = 8 ⟹ R = 2 3 θ = 0 + 360 ∘ k ⟹ θ = 120 ∘ k k = 0 , 1 , 2 \begin{cases}
R^3 = 8 \implies R=2 \\
3\theta = 0+360^\circ k \implies \theta = 120^\circ k_{\quad k=0,1,2}
\end{cases} { R 3 = 8 ⟹ R = 2 3 θ = 0 + 36 0 ∘ k ⟹ θ = 12 0 ∘ k k = 0 , 1 , 2 z = 2 c i s 120 ∘ z=2cis\ 120^\circ z = 2 c i s 12 0 ∘ כעת נסתכל על כל טענה וטענה:
w ‾ ⋅ w = R 2 = 1 \overline{w}\cdot w=R^2=1 w ⋅ w = R 2 = 1 ולכן, אם נחלק את 2 הצדדים ב-w w w
w ‾ = 1 w \overline{w}=\frac{1}{w} w = w 1 ולכן טענה [א] נכונה.
[ב] נחשב:
z 4 = 2 4 c i s ( 4 ⋅ 120 ∘ ) = 16 c i s ( 480 ∘ ) = 16 c i s 120 ∘ z^4=2^4cis(4\cdot 120^\circ)=16cis(480^\circ)=16cis\ 120^\circ z 4 = 2 4 c i s ( 4 ⋅ 12 0 ∘ ) = 16 c i s ( 48 0 ∘ ) = 16 c i s 12 0 ∘ מכיוון שעדיין נותר לנו חלק דימיוני, טענה [ב] אינה נכונה .
[ג] נחשב:
z 2 w 5 = 2 2 c i s ( 2 ⋅ 120 ∘ ) ⋅ 1 5 c i s ( 5 ⋅ 240 ∘ ) = 4 c i s 240 ∘ ⋅ c i s 120 ∘ = 4 c i s 0 = 4 z^2w^5=2^2cis(2\cdot 120^\circ)\cdot 1^5cis(5\cdot 240^\circ)=4cis\ 240^\circ \cdot cis\ 120^\circ = 4cis\ 0=4 z 2 w 5 = 2 2 c i s ( 2 ⋅ 12 0 ∘ ) ⋅ 1 5 c i s ( 5 ⋅ 24 0 ∘ ) = 4 c i s 24 0 ∘ ⋅ c i s 12 0 ∘ = 4 c i s 0 = 4 לאור התוצאה שיצאה לנו, אנו יודעים כי טענה [ג] אינה נכונה .
[ד] נחשב כל צד ביצוג טריגונומטרי:
− z w = z w c i s 180 ∘ = 2 c i s 120 ∘ 1 c i s 240 ∘ c i s 180 ∘ = 2 c i s 180 ∘ = − 2 -zw=zw\ cis\ 180^\circ = 2cis\ 120^\circ 1cis\ 240^\circ\ cis\ 180^\circ = 2cis\ 180^\circ=-2 − z w = z w c i s 18 0 ∘ = 2 c i s 12 0 ∘ 1 c i s 24 0 ∘ c i s 18 0 ∘ = 2 c i s 18 0 ∘ = − 2 z ‾ = 2 c i s ( 360 − 120 ) = 2 c i s 240 ∘ \overline{z}=2cis(360-120)=2cis\ 240^\circ z = 2 c i s ( 360 − 120 ) = 2 c i s 24 0 ∘ מכיוון ש: − 2 ≠ 2 c i s 240 ∘ -2\neq 2cis\ 240^\circ − 2 = 2 c i s 24 0 ∘ טענה [ד] אינה נכונה .
תרגיל 3
פתרו את המשוואה:
z 2 − 5 z + 7 + i = 0 z^2-5z+7+i=0 z 2 − 5 z + 7 + i = 0 פתרון:
z 1 , 2 = 5 ± 25 − 4 ( 7 + i ) 2 z_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{ 25-4(7+i) }}{2} z 1 , 2 = 2 5 ± 25 − 4 ( 7 + i ) נתחיל בלחשב את השורש:
w = 25 − 28 − 4 i = − 3 − 4 i = a + b i w=\sqrt{ 25-28-4i }=\sqrt{ -3-4i }=a+bi w = 25 − 28 − 4 i = − 3 − 4 i = a + bi a 2 + 2 a b i − b 2 = − 3 − 4 i a^2+2abi-b^2=-3-4i a 2 + 2 abi − b 2 = − 3 − 4 i ולכן:
{ a 2 − b 2 = − 3 2 a b = − 4 ⟹ b = − 4 2 a ⟹ a 2 − 16 4 a 2 = − 3 \begin{cases}
a^2-b^2=-3 \\
2ab=-4 \implies b=-\frac{4}{2a}
\end{cases} \implies a^2 - \frac{16}{4a^2}=-3 { a 2 − b 2 = − 3 2 ab = − 4 ⟹ b = − 2 a 4 ⟹ a 2 − 4 a 2 16 = − 3 a 4 − 4 = − 3 a 2 ⟹ a 4 + 3 a 2 − 4 = 0 a^4-4=-3a^2 \implies a^4+3a^2-4=0 a 4 − 4 = − 3 a 2 ⟹ a 4 + 3 a 2 − 4 = 0 נסמן: t = a 2 t=a^2 t = a 2
t 2 + 3 t − 4 = 0 ⟹ t 1 , 2 = − 3 ± 9 + 16 2 = − 3 ± 5 2 = { 2 2 = 1 − 8 2 = − 4 t^2+3t-4 = 0 \implies t_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{ 9+16 }}{2}=\frac{-3\pm 5}{2} = \begin{cases}
\frac{2}{2}=1 \\
-\frac{8}{2}=-4
\end{cases} t 2 + 3 t − 4 = 0 ⟹ t 1 , 2 = 2 − 3 ± 9 + 16 = 2 − 3 ± 5 = { 2 2 = 1 − 2 8 = − 4 מכיוון ש-a ∈ R a \in \mathbb{R} a ∈ R t 2 = − 4 t^2=-4 t 2 = − 4
w = − 1 + 2 i , 1 − 2 i w=-1+2i,1-2i w = − 1 + 2 i , 1 − 2 i כעת, יש לנו שני מצבים:
z 1 , 2 = 5 ± ( − 1 + 2 i ) 2 = { 4 + 2 i 2 = 2 + i 6 − 2 i 2 = 3 − i z_{1,2}=\frac{5\pm (-1+2i)}{2}=\begin{cases}
\frac{4+2i}{2}=2+i \\
\frac{6-2i}{2}=3-i
\end{cases} z 1 , 2 = 2 5 ± ( − 1 + 2 i ) = { 2 4 + 2 i = 2 + i 2 6 − 2 i = 3 − i מכיוון שהפתרון האחר של w w w − w -w − w
פתרו את המשוואה:
z 2 + ∣ z 2 ∣ = 1 + 2 i z^2+|z^2|=1+2i z 2 + ∣ z 2 ∣ = 1 + 2 i פתרון:
z 2 + ∣ z 2 ∣ = z 2 + ∣ z ∣ 2 = 1 + 2 i z^2+|z^2|=z^2+|z|^2=1+2i z 2 + ∣ z 2 ∣ = z 2 + ∣ z ∣ 2 = 1 + 2 i נסמן: z = a + b i z=a+bi z = a + bi
a 2 + 2 a b i − b 2 + a 2 + b 2 = 1 + 2 i a^2+2abi\cancel{ -b^2 }+a^2+\cancel{ b^2 }=1+2i a 2 + 2 abi − b 2 + a 2 + b 2 = 1 + 2 i 2 a 2 + 2 a b i = 1 + 2 i 2a^2+2abi=1+2i 2 a 2 + 2 abi = 1 + 2 i נשווה:
{ 2 a 2 = 1 ⟹ a 2 = 1 2 ⟹ a = ± 1 2 2 a b = 2 ⟹ { a = 1 2 : b 2 = 1 ⟹ b = 2 a = − 1 2 : − b 2 = 1 ⟹ b = − 2 \begin{cases}
2a^2=1 \implies a^2 = \frac{1}{2} \implies a=\pm \frac{1}{\sqrt{ 2 }} \\
2ab = 2 \implies \begin{cases}
a=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}:\; \frac{b}{\sqrt{ 2 }}=1 \implies b=\sqrt{ 2 }\\
a=-\frac{1}{\sqrt{ 2 }}:\; -\frac{b}{\sqrt{ 2 }}=1 \implies b=-\sqrt{ 2 }
\end{cases}
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 2 a 2 = 1 ⟹ a 2 = 2 1 ⟹ a = ± 2 1 2 ab = 2 ⟹ { a = 2 1 : 2 b = 1 ⟹ b = 2 a = − 2 1 : − 2 b = 1 ⟹ b = − 2 ולכן:
z = ± 1 2 ± 2 i z=\pm \frac{1}{\sqrt{ 2 }}\pm \sqrt{ 2 }i z = ± 2 1 ± 2 i (נשים לב כי הסימנים הם בהתאמה: אם a < 0 a<0 a < 0 b < 0 b<0 b < 0
פתרו את המשוואה:
z 3 ⋅ z ‾ = − 4 i z^3\cdot \overline{z}=-4i z 3 ⋅ z = − 4 i פתרון: − 4 i -4i − 4 i
− 4 i ⟹ { R = 0 + 16 = 4 θ = 270 ∘ ⟹ − 4 i = 4 c i s 270 ∘ -4i\implies \begin{cases}
R=\sqrt{ 0+16 }=4 \\
\theta=270^\circ
\end{cases} \implies -4i=4cis\ 270^\circ − 4 i ⟹ { R = 0 + 16 = 4 θ = 27 0 ∘ ⟹ − 4 i = 4 c i s 27 0 ∘ כעת, נסמן: z = R c i s θ z=Rcis\ \theta z = R c i s θ
R 3 c i s ( 3 θ ) R c i s ( − θ ) = 4 c i s 270 ∘ R^3cis(3\theta)Rcis(-\theta)=4cis\ 270^\circ R 3 c i s ( 3 θ ) R c i s ( − θ ) = 4 c i s 27 0 ∘ R 4 c i s ( 2 θ ) = 4 c i s 270 ∘ R^4cis(2\theta)=4cis\ 270^\circ R 4 c i s ( 2 θ ) = 4 c i s 27 0 ∘ נשווה:
{ R 4 = 4 ⟹ R = 4 4 2 θ = 270 ∘ + 360 ∘ k ⟹ θ = 135 ∘ + 180 ∘ k \begin{cases}
R^4=4 \implies R=\sqrt[4]{ 4 } \\
2\theta=270^\circ + 360^\circ k\implies \theta = 135^\circ + 180^\circ k
\end{cases} { R 4 = 4 ⟹ R = 4 4 2 θ = 27 0 ∘ + 36 0 ∘ k ⟹ θ = 13 5 ∘ + 18 0 ∘ k z k = 4 4 c i s ( 135 ∘ + 180 ∘ k ) k = 0 , 1 z_{k}=\sqrt[4]{ 4 }cis(135^\circ + 180^\circ k)_{\quad k=0,1} z k = 4 4 c i s ( 13 5 ∘ + 18 0 ∘ k ) k = 0 , 1
תרגיל 4
יהיו z z z w w w w = α z ‾ w=\alpha \overline{z} w = α z α \alpha α
הוכחה: z = r c i s θ 1 , w = R c i s θ 2 z=rcis\ \theta_{1}, w=Rcis\ \theta_{2} z = rc i s θ 1 , w = R c i s θ 2
z ⋅ w = R r c i s ( θ 1 + θ 2 ) z\cdot w=Rr cis\ (\theta_{1}+\theta_{2}) z ⋅ w = R rc i s ( θ 1 + θ 2 ) ולכן:
θ 1 + θ 2 = 180 ∘ k \theta_{1}+\theta_{2}=180^\circ k θ 1 + θ 2 = 18 0 ∘ k ישנם שני מצבים אפשריים:
{ θ 1 + θ 2 = 0 θ 1 + θ 2 = 180 ∘ \begin{cases}
\theta_{1}+\theta_{2}=0 \\
\theta_{1}+\theta_{2}=180^\circ
\end{cases} { θ 1 + θ 2 = 0 θ 1 + θ 2 = 18 0 ∘ במצב הראשון:
θ 1 = − θ 2 \theta_{1}=-\theta_{2} θ 1 = − θ 2 ובמצב הזה ההבדל בין z ‾ \overline{z} z w w w
w = α ⋅ z ‾ w=\alpha\cdot \overline{z} w = α ⋅ z במצב השני:
θ 2 = 180 ∘ − θ 1 \theta_{2}=180^\circ-\theta_{1} θ 2 = 18 0 ∘ − θ 1 w = α ⋅ r c i s ( 180 ∘ − θ 1 ) = α r ( cos ( 180 − θ 1 ) + i sin ( 180 − θ 1 ) ) = α r ( cos ( − θ 1 ) + i sin ( − θ 1 ) ) w=\alpha\cdot r cis(180^\circ-\theta_{1})=\alpha r(\cos(180-\theta_{1})+i\sin(180-\theta_{1}))=\alpha r(\cos(-\theta_{1})+i\sin(-\theta_{1})) w = α ⋅ rc i s ( 18 0 ∘ − θ 1 ) = α r ( cos ( 180 − θ 1 ) + i sin ( 180 − θ 1 )) = α r ( cos ( − θ 1 ) + i sin ( − θ 1 )) w = α r c i s ( − θ ) w=\alpha rcis(-\theta) w = α rc i s ( − θ ) ולכן גם במצב הזה:
w = α ⋅ z ‾ w=\alpha\cdot \overline{z} w = α ⋅ z ∎
תרגיל 5
יהא z z z
R e ( ( 1 + 1 z ‾ ) ( 1 − 1 z ) ) < 1 \mathrm{Re}\left( \left( 1+\frac{1}{\overline{z}} \right)\left( 1-\frac{1}{z} \right) \right)< 1 Re ( ( 1 + z 1 ) ( 1 − z 1 ) ) < 1 הוכחה: z = a + b i z=a+bi z = a + bi
( 1 + 1 z ‾ ) ( 1 − 1 z ) = ( 1 − 1 z + 1 z ‾ − 1 z ‾ z ) = ( z z ‾ − z ‾ + z − 1 z ‾ z ) \left( 1+\frac{1}{\overline{z}} \right)\left( 1-\frac{1}{z} \right) =\left( 1-\frac{1}{z}+\frac{1}{\overline{z}} -\frac{1}{\overline{z}z} \right)=\left( \frac{z\overline{z}-\overline{z}+z-1}{\overline{z}z} \right) ( 1 + z 1 ) ( 1 − z 1 ) = ( 1 − z 1 + z 1 − z z 1 ) = ( z z z z − z + z − 1 ) = a 2 + b 2 − a + b i + a + b i − 1 a 2 + b 2 = a 2 + b 2 − 1 a 2 + b 2 + 2 b i a 2 + b 2 =\frac{a^2+b^2\cancel{ -a }+bi\cancel{ +a }+bi-1}{a^2+b^2}= \frac{a^2+b^2-1}{a^2+b^2}+\frac{2bi}{a^2+b^2} = a 2 + b 2 a 2 + b 2 − a + bi + a + bi − 1 = a 2 + b 2 a 2 + b 2 − 1 + a 2 + b 2 2 bi אנו יודעים כי:
R e ( ( 1 + 1 z ‾ ) ( 1 − 1 z ) ) = a 2 + b 2 − 1 a 2 + b 2 = 1 − 1 a 2 + b 2 \mathrm{Re}\left(\left( 1+\frac{1}{\overline{z}} \right)\left( 1-\frac{1}{z} \right)\right)=\frac{a^2+b^2-1}{a^2+b^2} = 1-\frac{1}{a^2+b^2} Re ( ( 1 + z 1 ) ( 1 − z 1 ) ) = a 2 + b 2 a 2 + b 2 − 1 = 1 − a 2 + b 2 1 מכיוון ש-1 a 2 + b 2 ≠ 0 \frac{1}{a^2+b^2}\neq 0 a 2 + b 2 1 = 0 a , b ≠ 0 a,b\neq0 a , b = 0
1 − 1 a 2 + b 2 < 1 1-\frac{1}{a^2+b^2}<1 1 − a 2 + b 2 1 < 1 ולכן:
R e ( ( 1 + 1 z ‾ ) ( 1 − 1 z ) ) < 1 \mathrm{Re}\left( \left( 1+\frac{1}{\overline{z}} \right)\left( 1-\frac{1}{z} \right) \right)< 1 Re ( ( 1 + z 1 ) ( 1 − z 1 ) ) < 1 ∎
תרגיל 6
הוכח או הפרך את הטענות המתייחסות למשוואה z 200 = 1 + i z^{200}=1+i z 200 = 1 + i z 0 z_{0} z 0 z 0 ‾ \overline{z_{0}} z 0 1 1 1 z 1 z_{1} z 1 z 2 z_{2} z 2 z 1 + z 2 z_{1}+z_{2} z 1 + z 2 z 1 z_{1} z 1 z 2 z_{2} z 2 z 1 z 2 z_{1}z_{2} z 1 z 2 0 0 0
הוכחה:
1 + i ⟹ { r = 1 + 1 = 2 tan θ ^ = 1 1 = 1 ⟹ θ = 45 ∘ ⟹ 2 c i s 45 ∘ 1+i \implies \begin{cases}
r= \sqrt{ 1+1 }=\sqrt{ 2 } \\
\tan\hat{\theta}=\frac{1}{1}=1 \implies \theta=45^\circ
\end{cases} \implies \sqrt{ 2 }cis\ 45^\circ 1 + i ⟹ { r = 1 + 1 = 2 tan θ ^ = 1 1 = 1 ⟹ θ = 4 5 ∘ ⟹ 2 c i s 4 5 ∘ R 200 c i s ( 200 ⋅ θ ) = 2 c i s 45 ∘ R^{200}cis(200\cdot\theta) = \sqrt{ 2 }cis\ 45^\circ R 200 c i s ( 200 ⋅ θ ) = 2 c i s 4 5 ∘ { R 200 = 2 1 2 = 2 400 200 θ = 45 ∘ + 360 ∘ k ⟹ θ = 45 ∘ + 360 ∘ k 200 k = 0 , 1 , … , 199 \begin{cases}
R^{200}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt[400]{ 2 } \\
200\theta = 45^\circ + 360^\circ k \implies \theta = \frac{45^\circ + 360^\circ k}{200}_{\quad k=0,1,\dots,199}
\end{cases} { R 200 = 2 2 1 = 400 2 200 θ = 4 5 ∘ + 36 0 ∘ k ⟹ θ = 200 4 5 ∘ + 36 0 ∘ k k = 0 , 1 , … , 199 כעת נעבור לטענות:2 400 \sqrt[400]{ 2 } 400 2 הטענה נכונה .z 0 = 2 400 c i s ( 0.225 ∘ ) z_{0}=\sqrt[400]{ 2 }cis(0.225^\circ) z 0 = 400 2 c i s ( 0.22 5 ∘ ) θ = 45 ∘ + 360 ∘ ⋅ 0 200 = 0.225 ∘ \theta=\frac{45^\circ + 360^\circ \cdot 0}{200}=0.225^\circ θ = 200 4 5 ∘ + 36 0 ∘ ⋅ 0 = 0.22 5 ∘ z 0 ‾ \overline{z_{0}} z 0
θ ^ = − 0.225 = 360 − 0.225 = 359.775 ∘ \hat{\theta}=-0.225=360-0.225=359.775^\circ θ ^ = − 0.225 = 360 − 0.225 = 359.77 5 ∘ נסתכל על הפתרון האחרון של המשוואה:
z 199 = 2 400 c i s ( 45 ∘ + 360 ∘ ⋅ 199 200 ) = 2 400 c i s ( 358.425 ∘ ) z_{199}=\sqrt[400]{2 }cis\left( \frac{45^\circ + 360^\circ \cdot 199}{200} \right)=\sqrt[400]{ 2 }cis(358.425^\circ) z 199 = 400 2 c i s ( 200 4 5 ∘ + 36 0 ∘ ⋅ 199 ) = 400 2 c i s ( 358.42 5 ∘ ) כפי שניתן לראות, זהו מספר הקטן מ-359.775 ∘ 359.775^\circ 359.77 5 ∘ 360.225 ∘ = 0.225 ∘ 360.225^\circ=0.225^\circ 360.22 5 ∘ = 0.22 5 ∘ הטענה אינה נכונה .2 400 > 1 \sqrt[400]{ 2 }>1 400 2 > 1 1 1 1 הטענה נכונה .50 50 50 z 49 = 2 400 c i s ( 88.425 ∘ ) z_{49}=\sqrt[400]{ 2 }cis(88.425^\circ) z 49 = 400 2 c i s ( 88.42 5 ∘ ) z 50 = 2 400 c i s ( 90.225 ) z_{50}=\sqrt[400]{ 2 }cis(90.225) z 50 = 400 2 c i s ( 90.225 ) z 0 z_{0} z 0 z 49 z_{49} z 49 0 0 0 88.425 ∘ 88.425^\circ 88.42 5 ∘ הטענה נכונה .
{ z 1 = 2 400 c i s ( α 1 ) = 2 400 c i s ( 45 ∘ + 360 ∘ k 1 200 ) z 2 = 2 400 c i s ( α 2 ) = 2 400 c i s ( 45 ∘ + 360 ∘ k 2 200 ) \begin{cases}
z_{1}=\sqrt[400]{ 2 }cis(\alpha_{1})=\sqrt[400]{ 2 }cis\left( \frac{45^\circ+360^\circ k_{1}}{200} \right) \\
z_{2}=\sqrt[400]{ 2 }cis(\alpha_{2})=\sqrt[400]{ 2 }cis\left( \frac{45^\circ+360^\circ k_{2}}{200} \right)
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ z 1 = 400 2 c i s ( α 1 ) = 400 2 c i s ( 200 4 5 ∘ + 36 0 ∘ k 1 ) z 2 = 400 2 c i s ( α 2 ) = 400 2 c i s ( 200 4 5 ∘ + 36 0 ∘ k 2 ) נסתכל מה מתרחש כאשר מחברים אותם:
z 1 + z 2 = 2 400 ( cos ( α 1 ) + i sin ( α 1 ) + cos ( α 2 ) + i sin ( α 2 ) ) z_{1}+z_{2}=\sqrt[400]{ 2 }(\cos(\alpha_{1})+i\sin(\alpha_{1})+\cos(\alpha_{2})+i\sin(\alpha_{2})) z 1 + z 2 = 400 2 ( cos ( α 1 ) + i sin ( α 1 ) + cos ( α 2 ) + i sin ( α 2 )) = 2 400 ( cos α 1 + cos α 2 + i ( sin α 1 + sin α 2 ) ) =\sqrt[400]{ 2 }(\cos\alpha_{1}+\cos\alpha_{2}+i(\sin\alpha_{1}+\sin\alpha_{2})) = 400 2 ( cos α 1 + cos α 2 + i ( sin α 1 + sin α 2 )) באמצעות זהות טריגונומטרית:
= 2 400 ( 2 cos ( α 1 + α 2 2 ) cos ( α 1 − α 2 2 ) + i ( 2 sin ( α 1 + α 2 2 ) cos ( α 1 − α 2 2 ) ) ) =\sqrt[400]{ 2 }\left( 2\cos\left( \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2} \right)\cos\left( \frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{2} \right)+i\left( 2\sin\left( \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2} \right)\cos\left( \frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{2} \right) \right) \right) = 400 2 ( 2 cos ( 2 α 1 + α 2 ) cos ( 2 α 1 − α 2 ) + i ( 2 sin ( 2 α 1 + α 2 ) cos ( 2 α 1 − α 2 ) ) ) נצמצם:
= 2 400 ⋅ 2 cos ( α 1 − α 2 2 ) c i s ( α 1 + α 2 2 ) =\sqrt[400]{ 2 }\cdot 2\cos\left( \frac{\alpha_{1} -\alpha_{2}}{2} \right)cis\left( \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2} \right) = 400 2 ⋅ 2 cos ( 2 α 1 − α 2 ) c i s ( 2 α 1 + α 2 ) נשים לב כי הרדיוס השתנה מ-2 400 \sqrt[400]{ 2 } 400 2 2 2 400 cos ( … ) 2\sqrt[400]{ 2 }\cos(\dots) 2 400 2 cos ( … ) הטענה אינה נכונה .
{ z 1 = 2 400 c i s ( 45 ∘ + 360 ∘ k 1 200 ) z 2 = 2 400 c i s ( 45 ∘ + 360 ∘ k 2 200 ) \begin{cases}
z_{1}=\sqrt[400]{ 2 }cis\left( \frac{45^\circ+360^\circ k_{1}}{200} \right) \\
z_{2}=\sqrt[400]{ 2 }cis\left( \frac{45^\circ+360^\circ k_{2}}{200} \right)
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ z 1 = 400 2 c i s ( 200 4 5 ∘ + 36 0 ∘ k 1 ) z 2 = 400 2 c i s ( 200 4 5 ∘ + 36 0 ∘ k 2 ) נראה כי כאשר מכפילים אותם נקבל:
z 1 z 2 = 2 200 c i s ( a r g ) z_{1}z_{2}=\sqrt[200]{ 2 }cis(\underbracket{\qquad}_{arg}) z 1 z 2 = 200 2 c i s ( a r g ) מכיוון שכל הפתרונות הינן בעלי אותו רדיוס(2 400 \sqrt[400]{ 2 } 400 2 הטענה אינה נכונה .z 200 − ( 1 + i ) = 0 z^{200}-(1+i)=0 z 200 − ( 1 + i ) = 0 − a n − 1 a n -\frac{a_{n-1}}{a_{n}} − a n a n − 1 a 199 = 0 a_{199}=0 a 199 = 0 0 0 0 הטענה נכונה .