חזור לתיקייה: שיעורי בית

גליון 10

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • תרגיל 1

גליון 10

01040166

אלגברה אמ

רשימות הרצאה לקריאה בשבת

גליון 10

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

תרגיל 1

תרגיל (1)

יהא B={(0,1,1),(1,−1,0),(0,1,0)}B=\left\{ (0,1,1),(1,-1,0),(0,1,0) \right\}B={(0,1,1),(1,−1,0),(0,1,0)} בסיס של R3\mathbb{R}^3R3 ותהא T:R3→R3T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3T:R3→R3 ט"ל.
נתון כי [T]B=(a11−a1−a0b0bb)[T]_{B}=\begin{pmatrix}a&1&1-a\\1-a&0&b\\0&b&b\end{pmatrix}[T]B​=​a1−a0​10b​1−abb​​ וש-dim⁡ker⁡T>dim⁡ImT\dim \ker T>\dim\mathrm{Im}TdimkerT>dimImT.

מצאו את a,b,ker⁡T,ImTa,b,\ker T,\mathrm{Im}Ta,b,kerT,ImT ואת TTT.

תחילה נמצא את ImT\mathrm{Im}TImT:
לפי משפט מתקיים: [T(v)]B=[T]B[v]B[T(v)]_{B}=[T]_{B}[v]_{B}[T(v)]B​=[T]B​[v]B​. נמצא את T(v)T(v)T(v) לכל איבר בבסיס BBB:

[T(0,1,1)]B=(a11−a1−a0b0bb)(100)=(a1−a0)[T(0,1,1)]_{B}=\begin{pmatrix} a & 1 & 1-a \\ 1-a & 0 & b \\ 0 & b & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ 1-a \\ 0 \end{pmatrix}[T(0,1,1)]B​=​a1−a0​10b​1−abb​​​100​​=​a1−a0​​

אז:

T(0,1,1)=(0,a,a)+(1−a,a−1,0)+(0,0,0)=(1−a,2a−1,a)T(0,1,1)=\begin{pmatrix} 0,a,a \end{pmatrix}+(1-a,a-1,0)+(0,0,0)=(1-a,2a-1,a)T(0,1,1)=(0,a,a​)+(1−a,a−1,0)+(0,0,0)=(1−a,2a−1,a)

בהתאם:

[T(1,−1,0)]B=(a11−a1−a0b0bb)(010)=(10b)[T(1,-1,0)]_{B}=\begin{pmatrix} a & 1 & 1-a \\ 1-a & 0 & b \\ 0 & b & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ b \end{pmatrix}[T(1,−1,0)]B​=​a1−a0​10b​1−abb​​​010​​=​10b​​ T(1,−1,0)=(0,1,1)+(0,0,0)+(0,b,0)=(0,b+1,1)T(1,-1,0)=(0,1,1)+(0,0,0)+(0,b,0)=(0,b+1,1)T(1,−1,0)=(0,1,1)+(0,0,0)+(0,b,0)=(0,b+1,1) [T(0,1,0)]B=(a11−a1−a0b0bb)(001)=(1−abb)[T(0,1,0)]_{B}=\begin{pmatrix} a & 1 & 1-a \\ 1-a & 0 & b \\ 0 & b & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-a \\ b \\ b \end{pmatrix}[T(0,1,0)]B​=​a1−a0​10b​1−abb​​​001​​=​1−abb​​ T(0,1,0)=(0,1−a,1−a)+(b,−b,0)+(0,b,0)=(b,1−a,1−a)T(0,1,0)=(0,1-a,1-a)+(b,-b,0)+(0,b,0)=(b,1-a,1-a)T(0,1,0)=(0,1−a,1−a)+(b,−b,0)+(0,b,0)=(b,1−a,1−a)

כעת, נמצא את האיבר הכללי של ImT\mathrm{Im}TImT:

T(α,β,γ)=T(α(1,−1,0)+(β+α−γ)(0,1,0)+γ(0,1,1))=↓T ט"לT(\alpha,\beta,\gamma)=T(\alpha(1,-1,0)+(\beta+\alpha-\gamma)(0,1,0)+\gamma(0,1,1))\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{T ט"ל}} \end{matrix}}{=}T(α,β,γ)=T(α(1,−1,0)+(β+α−γ)(0,1,0)+γ(0,1,1))↓T ט"ל​=​ αT(1,−1,0)+(β+α−γ)T(0,1,0)+γT(0,1,1)=α(0,b+1,1)+(β+α−γ)(1−a,2a−1,a)\alpha T(1,-1,0)+(\beta+\alpha-\gamma)T(0,1,0)+\gamma T(0,1,1)=\alpha(0,b+1,1)+(\beta+\alpha-\gamma)(1-a,2a-1,a)αT(1,−1,0)+(β+α−γ)T(0,1,0)+γT(0,1,1)=α(0,b+1,1)+(β+α−γ)(1−a,2a−1,a) +γ(b,1−a,1−a)+\gamma(b,1-a,1-a)+γ(b,1−a,1−a) =(β+α−γ−βa−αb+α+2βa+2αa−α+βa+αa+γa+βb2γa−β−α+γ+γ−aγαa−γa+γ−αa)=\begin{pmatrix} \beta+\alpha-\gamma-\beta a- & \alpha b+\alpha+2\beta a+2\alpha a- & \alpha+\beta a+ \\ \alpha a+\gamma a+\beta b & 2\gamma a-\beta-\alpha+\gamma+\gamma-a\gamma & \alpha a-\gamma a+\gamma-\alpha a \end{pmatrix}=(β+α−γ−βa−αa+γa+βb​αb+α+2βa+2αa−2γa−β−α+γ+γ−aγ​α+βa+αa−γa+γ−αa​) =(α(1+a)+β(1−a+b)+γ(a−1)α(b+2a−1)+β(2a−1)+γ(2−3a)α+aβ+γ(1−a))=\begin{pmatrix} \alpha(1+a)+\beta(1-a+b)+\gamma(a-1) & \alpha(b+2a-1)+\beta(2a-1)+\gamma(2-3a) & \alpha+a\beta+\gamma(1-a) \end{pmatrix}=(α(1+a)+β(1−a+b)+γ(a−1)​α(b+2a−1)+β(2a−1)+γ(2−3a)​α+aβ+γ(1−a)​)

ולכן:

ImT=sp{(1+a,b+2a−1,1),(1−a+b,2a−1,a),(a−1,2−3a,1−a)}\mathrm{Im}T=sp\left\{ (1+a,b+2a-1,1),(1-a+b,2a-1,a),(a-1,2-3a,1-a) \right\}ImT=sp{(1+a,b+2a−1,1),(1−a+b,2a−1,a),(a−1,2−3a,1−a)}

כעת, נעבור למצוא את ker⁡T\ker TkerT:
תחילה, נמצא את dim⁡ker⁡T\dim \ker TdimkerT ע"פ משפט המימדים: