9 - מטריצות הפיכות — אלגברה אמ

כשננסה למצוא איבר הופכי למטריצות נגלה כי אין כזה. נניח בדוגמה הבאה:

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=I

\begin{cases} a+2c=1 \\ b+2d=0 \end{cases} \implies \begin{cases} 0=1 \\ 0=0 \end{cases}

לכן אין איבר הופכי.
לחלק מהמטריצות כן יש איבר הופכי. לכן, נגדיר את ההגדרה הבאה.

הגדרה 1 (מטריצה הפיכה)

מטריצה ריבועית $A$ נקראת הפיכה אם קיימת מטריצה ריבועית $B$ כך ש- $AB=I$ .
המטריצה $B$ נקראת המטריצה ההופכית/ההפוכה של $A$ ומסומנת $A^{-1}$ .

משפט

יהיו $A,B \in \mathbb{F}^{n\times n}$ כך ש- $AB=I_{n}$ . אזי:
א. $r(A)=n$ .
ב. $BA=I_{n}$ .
ג. $B$ יחידה.

הוכחה: (א')

\underset{\begin{matrix} &\qquad \qquad \qquad \qquad\downarrow \\ &\qquad r(AB)\leq \min\left\{ r(A),r(B) \right\} \end{matrix}}{n=r(I_{n})=r(AB)\leq}r(A)

ולכן, $r(A)\geq n$ מאידך $r(A)\leq n$ ולכן $r(A)=n$ .
∎

הוכחה: (ב')
לפי משפט שראינו, $\iff r(A)=n$ $A$ שקולת שורות ל- $I_{n}$ .
מאידך, אם $A$ שקולת שורה ל- $I_{n}$ קיימות מטריצות אלמנטריות $E_{1},\dots,E_{k}$ כך ש- $I_{n}=E_{k}\cdot\cdot\cdot E_{1}\cdot A$ .
נסמן $C=E_{K}\cdot\cdot\cdot E_{1}$ ונקבל שמצאנו מטריצה $C$ כך ש- $CA=I_{n}$ .
מאידך $AB=I_{n}$ נרצה להראות כי $B=C$ .
כיוון ש- $AB=I_{{n}}$ נכפול ב- $C$ משמאל ונקבל כי: $CAB=C$ .

\implies (CA)B=C\implies I_{n}B=C\implies B=C \implies BA=I_{n}

∎

הוכחה: (ג')
אם $AB=AD=I_{n}$ אזי

AB=I \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{ראינו קודם שאם}} \\ \R{\text{ אזי}}AD=I_{n} \\ DA=I_{n} \end{matrix}}{\implies}(DA)B=D\implies B=D

מסקנה

המטריצה $A^{-1}$ גם היא הפיכה ומתקיים $(A^{-1})^{-1}=A$ .
אם $A$ הפיכה אזי $AB=AC$ ⇐ $B=C$ (חוק הצמצום).
אם $AB=BD=I_{n}$ אזי $AB=I \implies (DA)B=D \implies B=D$

הערה

אם $AB=0$ , באופן כללי זה לא נכון שאחת מהן היא מטריצת האפס.
אבל אם $A$ או $B$ הפיכות, השנייה היא בהכרח מטריצת האפס.
למשל, אם $A$ הפיכה, נכפול משמאל ב- $A^{-1}$ ונקבל כי $B=0$ .

טענה

אם $A,B$ הפיכות ⇔ $AB$ הפיכה ומתקיים $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .
אם $A$ הפיכה אזי גם $A^t$ הפיכה ומתקיים $(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$ .
אם $A$ הפיכה אזי גם $\lambda A$ הפיכה לכל $0\neq\lambda \in \mathbb{F}$ ומתקיים $(\lambda A)^{-1}=\lambda^{-1}A^{-1}$ .

הוכחה: (1)
⇐:

AB(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=I

⇒: נניח כי $AB$ הפיכה ונוכיח כי $A,B$ הפיכות.
כיוון ש- $AB$ הפיכה, קיימות מטריצות $C,D$ כך ש-

C(AB)=I\implies (CA)B=I \implies \R{\text{ הפיכה}}B

(AB)D=I \implies A(BD)=I\implies \R{\text{ הפיכה}}A

∎

הוכחה: (2)

I=I^t=(AA^{-1})^t=(A^{-1})^tA^t

(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t

∎

הוכחה: (3)

(\lambda A)\lambda^{-1}A^{-1}=1\cdot AA^{-1}=I

∎

משפט

מטריצה אלמנטרית הפיכה וההופכית שלה היא מטריצה אלמנטרית מאותו סוג.

הוכחה: $.\R{ברור}$
הוכחה ע"י דוגמה: (מה שכמובן לא מתקבל במבחן)

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{1}+2R_{2}\to R_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

נקח מטריצה אלמנטרית שעושה את הפעולה ההפוכה: $\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

∎

משפט

תהא $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ ריבועית. התנאים הבאים שקולים:

$A$ הפיכה
מתקיים: $r(A)=n$
$A$ שקולת שורות ל- $I$ .
לכל $\underline{b}\in \mathbb{F}^n$ . למערכת $A\underline{x}=\underline{b}$ קיים פתרון יחיד.
$A$ מכפלת מטריצות אלמנטריות.
שורות/עמודות $A$ בת"ל/פורשות את $\mathbb{F}^n$ .

הוכחה:
(2) ⇔ (3) ראינו.
(1) ⇐ (2) ראינו קודם.
נראה (3) ⇐ (1):
אם $A$ שקולת שורות ל- $I$ , אזי קיימות מטריצות אלמנטריות $E_{k},\dots,E_{1}$ כך ש- $E_{k}\cdot \cdot \cdot E_{1}\cdot A=I$ . לכן, $A$ הפיכה וההופכית שלה $E_{k}\cdot\cdot\cdot E_{1}$ .
(2) ⇔ (4) ראינו.
נראה (3) ⇐ (5): ("באוניברסיטה הפתוחה זה נקרא משפט 3106" - יוסי)
אם $A$ שקולת שורות ל- $I$ , אזי קיימות מטריצות אלמנטריות כך ש- $E_{k}\cdot\cdot\cdot E_{1}\cdot A=I$ ולכן: $A=E_{1}^{-1}\cdot\cdot\cdot E_{k}^{-1}$ (ראינו שכל המטריצות האלמנטריות הופכיות)
כלומר, $A$ מכפלת מטריצות אלמנטריות (אמרנו שההופכית של מטריצה אלמנטרית היא מטריצה אלמנטרית מאותו הסוג - בפרט היא אלמנטרית)
נראה (5) ⇐ (1):
אם $A$ מכפלת אלמנטריות נקבל ש- $A$ הפיכה, שהרי כל אלמנטרית היא הפיכה ומכפלת הפיכות - הפיכה.
∎

איך להפוך מטריצה?

למה שנרצה לעשות את זה? (כי שאלו אתכם במבחן).
נראה איך הופכים.

נניח כי $A$ הפיכה, אזי קיימת מטריצה $B$ כך ש- $AB=I$ .

E_{k}\cdot\cdot\cdot E_{1}A=I

\underbrace{E_{k}\cdot\cdot\cdot E_{1}A}_{=I}B=E_{k}\cdot\cdot\cdot E_{1}\cdot I

(A|I)

דוגמה

נניח ואנו רוצים להפוך את $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ .

\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right)\overrightarrow{R_{2}-3R_{1}\to R_{2}}\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{array}\right)\overrightarrow{R_{1}+R_{2}\to R_{1}}\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{array}\right)

\overrightarrow{-\frac{1}{2}R_{2}\to R_{2}}\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right)

נבדוק כעת:

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

הערה

אם המטריצה לא הפיכה, נקבל שורת אפסים.

שני משפטים אחרונים

טענה

$A,B$ שקולות שורה ⇔ קיימת מטריצה $P$ הפיכה כך ש- $A=PB$ .

הוכחה:
⇐: המטריצות $A,B$ שקולות שורה ⇔ קיימות מטריצות אלמנטריות $E_{k},\dots, E_{1}$ כך ש- $A=E_{k}\dots E_{1}B$ . לכן, נוכל לקחת את $P$ להיות $P=E_{k}\dots E_{1}$ .
⇒: לפי המשפט הקודם, כל מטריצה הפיכה ניתנת לכתיבה כמכפלת מטריצות אלמנטריות. לפיכך, אם $A=PB$ ו- $P=E_{k}\dots E_{1}$ אזי $A=E_{k}\dots E_{1}B$ כלומר, $A,B$ שקולות שורה.

מסקנה

תהא $P$ הפיכה. אזי, $r(PA)=r(A)$ וגם $r(AP)=r(A)$ לכל $A$ .

הוכחה: ברור
אם $P$ הפיכה, אזי נסיק מטענה קודמת כי $A$ ו- $PA$ שקולות שורה ולכן, יש להן את אותה הדרגה.

r(PA)=r(A)

כדי להוכיח כי $r(AP)=r(A)$ נוכל להוכיח טענה דומה לטענה הקודמת ("שלא נעשה אותה כי צריך לפתוח שולחן" - יוסי): $A,B$ שקולות שורה ⇔ קיימת $P$ הפיכה כך ש- $A=BP$ ואז להסיק באופן דומה את מה שנאמר במשפט.
∎

כשננסה למצוא איבר הופכי למטריצות נגלה כי אין כזה. נניח בדוגמה הבאה:

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=I

\begin{cases} a+2c=1 \\ b+2d=0 \end{cases} \implies \begin{cases} 0=1 \\ 0=0 \end{cases}

לכן אין איבר הופכי.
לחלק מהמטריצות כן יש איבר הופכי. לכן, נגדיר את ההגדרה הבאה.

הגדרה 1 (מטריצה הפיכה)

משפט

יהיו $A,B \in \mathbb{F}^{n\times n}$ כך ש- $AB=I_{n}$ . אזי:
א. $r(A)=n$ .
ב. $BA=I_{n}$ .
ג. $B$ יחידה.

הוכחה: (א')

\underset{\begin{matrix} &\qquad \qquad \qquad \qquad\downarrow \\ &\qquad r(AB)\leq \min\left\{ r(A),r(B) \right\} \end{matrix}}{n=r(I_{n})=r(AB)\leq}r(A)

ולכן, $r(A)\geq n$ מאידך $r(A)\leq n$ ולכן $r(A)=n$ .
∎

\implies (CA)B=C\implies I_{n}B=C\implies B=C \implies BA=I_{n}

∎

הוכחה: (ג')
אם $AB=AD=I_{n}$ אזי

AB=I \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{ראינו קודם שאם}} \\ \R{\text{ אזי}}AD=I_{n} \\ DA=I_{n} \end{matrix}}{\implies}(DA)B=D\implies B=D

מסקנה

המטריצה $A^{-1}$ גם היא הפיכה ומתקיים $(A^{-1})^{-1}=A$ .
אם $A$ הפיכה אזי $AB=AC$ ⇐ $B=C$ (חוק הצמצום).
אם $AB=BD=I_{n}$ אזי $AB=I \implies (DA)B=D \implies B=D$

הערה

טענה

אם $A,B$ הפיכות ⇔ $AB$ הפיכה ומתקיים $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .
אם $A$ הפיכה אזי גם $A^t$ הפיכה ומתקיים $(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$ .
אם $A$ הפיכה אזי גם $\lambda A$ הפיכה לכל $0\neq\lambda \in \mathbb{F}$ ומתקיים $(\lambda A)^{-1}=\lambda^{-1}A^{-1}$ .

הוכחה: (1)
⇐:

AB(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=I

⇒: נניח כי $AB$ הפיכה ונוכיח כי $A,B$ הפיכות.
כיוון ש- $AB$ הפיכה, קיימות מטריצות $C,D$ כך ש-

C(AB)=I\implies (CA)B=I \implies \R{\text{ הפיכה}}B

(AB)D=I \implies A(BD)=I\implies \R{\text{ הפיכה}}A

∎

הוכחה: (2)

I=I^t=(AA^{-1})^t=(A^{-1})^tA^t

(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t

∎

הוכחה: (3)

(\lambda A)\lambda^{-1}A^{-1}=1\cdot AA^{-1}=I

∎

משפט

מטריצה אלמנטרית הפיכה וההופכית שלה היא מטריצה אלמנטרית מאותו סוג.

הוכחה: $.\R{ברור}$
הוכחה ע"י דוגמה: (מה שכמובן לא מתקבל במבחן)

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\overrightarrow{R_{1}+2R_{2}\to R_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

נקח מטריצה אלמנטרית שעושה את הפעולה ההפוכה: $\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

∎

משפט

תהא $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ ריבועית. התנאים הבאים שקולים:

$A$ הפיכה
מתקיים: $r(A)=n$
$A$ שקולת שורות ל- $I$ .
לכל $\underline{b}\in \mathbb{F}^n$ . למערכת $A\underline{x}=\underline{b}$ קיים פתרון יחיד.
$A$ מכפלת מטריצות אלמנטריות.
שורות/עמודות $A$ בת"ל/פורשות את $\mathbb{F}^n$ .

איך להפוך מטריצה?

למה שנרצה לעשות את זה? (כי שאלו אתכם במבחן).
נראה איך הופכים.

נניח כי $A$ הפיכה, אזי קיימת מטריצה $B$ כך ש- $AB=I$ .

E_{k}\cdot\cdot\cdot E_{1}A=I

\underbrace{E_{k}\cdot\cdot\cdot E_{1}A}_{=I}B=E_{k}\cdot\cdot\cdot E_{1}\cdot I

(A|I)

דוגמה

נניח ואנו רוצים להפוך את $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ .

\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right)\overrightarrow{R_{2}-3R_{1}\to R_{2}}\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{array}\right)\overrightarrow{R_{1}+R_{2}\to R_{1}}\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{array}\right)

\overrightarrow{-\frac{1}{2}R_{2}\to R_{2}}\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right)

נבדוק כעת:

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

הערה

אם המטריצה לא הפיכה, נקבל שורת אפסים.

שני משפטים אחרונים

טענה

$A,B$ שקולות שורה ⇔ קיימת מטריצה $P$ הפיכה כך ש- $A=PB$ .

מסקנה

תהא $P$ הפיכה. אזי, $r(PA)=r(A)$ וגם $r(AP)=r(A)$ לכל $A$ .

הוכחה: ברור
אם $P$ הפיכה, אזי נסיק מטענה קודמת כי $A$ ו- $PA$ שקולות שורה ולכן, יש להן את אותה הדרגה.

r(PA)=r(A)