יהא $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$ ויהיו $\underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n}$ סדרת ווקטורים סופית ב-$V$.
הווקטור $\underline{v}\in V$ נקרא צירוף ליניארי(קומבינציה ליניארית - ק"ל) של הווקטורים $\underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n}$ אם קיימים סקלרים $\alpha_{1},\dots\alpha_{n}\in \mathbb{F}$ כך ש-$\underline{v}=\alpha_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\alpha_{n}\underline{v}_{n}$.

$\alpha_{1},\dots\alpha_{n}$ נקראים המקדמים הליניאריים.
כמו כן, הצירוף הליניארי היחיד של קבוצה ריקה של ווקטורים הוא וקטור האפס $\underline{0}$.

ניתן להגדיר צירוף ליניארי של הווקטורים $\underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n}$ בצורה $\alpha_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\alpha_{n}\underline{v}_{n}$.

האם $\underline{v}=\begin{pmatrix}4\\ 3\\ 4\end{pmatrix}$ הוא צ"ל(צירוף ליניארי) של $\underline{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\underline{v}_{2}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$?

במידה וזה לא היה צ"ל, לא היה פתרון.

יהא $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$ ותהא $A=\{ v_{1},v_{2},\dots,v_{n} \}$ קבוצת ווקטורים ב-$V$.
הקבוצה הנפרשת על על ידי $A$ או הנוצרת על ידי $A$ היא:

$$sp(A)=sp(\{ \underline{v},\dots,\underline{v}_{n} \})=\{ \underline{v}\ |\ \underline{v}=\alpha_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\alpha_{n}\underline{v}_{n}, \alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in \mathbb{F} \}$$ $$sp(A)=\{ \alpha_{1}\underline{v}_{1}+\dots+\alpha_{n}\underline{v}_{n}|\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in \mathbb{F} \}$$

ואם $A=\emptyset$ אזי $sp(\emptyset)=\{ \underline{0} \}$.
זוהי קבוצת כל הצירופים הליניאריים האפשריים של איברי $A$.

$$sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}=\mathbb{R}^2$$ $$\left\{ \begin{array}{c|c} a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} & a,b \in \mathbb{R} \end{array} \right\}$$

עבור $A \subseteq V$ כלשהי(סופית או אינסופית) $sp(A)$ הוא אוסף כל הצירופים הליניאריים הסופיים של וקטורים מתוך $A$.

תהא $A=\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n} \}$ קבוצת ווקטורים במרחב ווקטורי $V$ מעל $\mathbb{F}$. אזי:

1. $sp(A)$ ת"מ של $V$ המכילה את $A$.
2. כל ת"מ $W$ של $V$ המכיל את $A$ מכיל גם את $sp(A)$.

$sp(A)$ הוא ת"מ הקטן ביותר שמכיל את $A$ (במובן זה שאם יש תת מרחב אחר שמכיל את $A$ הוא מכיל גם את $sp(A)$)

ת"מ קטן ביותר(מינימלי) הוא יחיד.
שהרי אם $W$ ו-$W'$ הם ת"מ מינימליים שמכילים את $A$ אזי $W \subseteq W'$ ו-$W' \subseteq W$ ולכן $W=W'$.

יהא $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$. $A,B \subseteq V$ תת קבוצות של $V$ אזי:

$$sp(A)+sp(B)=sp(A \cup B)$$

יהא $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$. $W$ ת"מ של $V$. $A$ תת קבוצה של $W$.
אם $W=sp(A)$ נאמר כי $A$ קבוצה פורשת של $W$.

יהא $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$. $A$ תת קבוצה של $V$.
אם $V=sp(A)$ נאמר כי $A$ קבוצה פורשת של $V$.

$$\mathbb{R}^2=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$$

אזי: $\left\{ \begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} \right\}$ קבוצה פורשת של $\mathbb{R}^2$.

במקרה בו $V=\mathbb{R}^2$ ו-$W=sp\left\{ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \right\}$ אזי, $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ פורשת את $W$ אבל לא פורשת את $V$.

1. איך בודקים האם מתקיים: $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\in sp\left\{ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right\}$?
   נפתור את מערכת המשוואות: $\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&1\\ 0&-1&0&2\\1&2&1&3\end{array}\right)$.
2. איך מוצאים קבוצה פורשת לתת-מרחב נתון?
   א. מצאו קבוצה פורשת לת"מ $W$ של $\mathbb{R}_2[x]$.

$$W=\{ p(x) \in \mathbb{R}_{2}[x]\ |\ p(1)=0\}$$

[???] נקח $p(x)\in W$ ⇔ $p(x)=ax^2+bx+c,p(1)=0$ ⇔ $a+b+c=0$ ⇔ $a=-b-c$
נחליף את $b$ ב-$\beta$ ואת $C$ ב-$\gamma$ מכאן, נקבל כי $W=\left\{(-\beta-\gamma)x^2+\beta x+\gamma|\beta,\gamma \in \mathbb{R}\right\}=\{ \beta(-x^2+x)+\gamma(-x^2+1)|\beta,\gamma \in \mathbb{R} \}=sp\{ -x^2+x,-x^2+1 \}$.
ב. מצאו קבוצה פורשת לתת המרחב $U$ של $M \underset{2\times{2}}{(\mathbb{R})}$ כאשר:

$$U=\left\{ \begin{array}{c|c}A \in M \underset{2\times2}{(\mathbb{R})} & \begin{pmatrix} 1& 1 \\ 1&1 \end{pmatrix}A=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}\end{array} \right\}$$ $$A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}\in U \iff \begin{pmatrix} 1&1\\1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ a+c & b+d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}$$

⇔ מתקיים: $\begin{matrix}a+c=0\\ b+d=0\end{matrix}\iff \begin{matrix}a=-c\\ b=-d\end{matrix}$.
נחליף את המשתנים כך: $c=s,d=t,a=-s,b=-t$ וכך נקבל:

$$U=\left\{\begin{array}{c|c} \begin{pmatrix} -s & -t \\ s&t \end{pmatrix} & s,t \in \mathbb{R} \end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c|c} s\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1&0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0&1 \end{pmatrix} & s,t \in \mathbb{R} \end{array}\right\}=sp\left\{\begin{pmatrix} -1&0 \\ 1&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&-1 \\ 0&1 \end{pmatrix}\right\}$$

3. יהא $V=\mathbb{R}^4$ ו-$U=sp\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}\right\}$ ו-$W=sp \left\{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}$ ת"מ של $V$. מצאו את $U \cap W$ ואת $U+W$.

$$U+W=sp \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}$$

נמצא את $U \cap W$. נקח $\underline{v} \in U \cap W$. אזי קיימים $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$ כך ש-

$$\alpha_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\alpha_{2}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\underline{v}=\alpha_{3}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\alpha_{4}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

כלומר:

$$\alpha_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\alpha_{2}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\alpha_{3}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\alpha_{4}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 0&-1&-1&1 \\ 0&0&0&-1 \\ 1&0&-1&0\\ 1&1&-1&0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&1&-1&0 \\ 0&-1&0&0 \\ 0&0&-1&1 \\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}$$

קיבלנו כי יש לנו פתרון יחיד ובו: $\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\\\alpha_{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$
ולכן: $U \cap W=\left\{ \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} \right\}$
במקרה אחר:

$$V=\mathbb{R}^3$$ $$W=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right\} \qquad W=sp\left\{ \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$$

נמצא $U \cap W$. נקח $\underline{v}\in U \cap W$ אזי קיימים $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$ כך ש-

$$\alpha_{1}\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+\alpha_{2}\begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix}=\underline{v}=\alpha_{3}\begin{pmatrix} 5\\7\\9 \end{pmatrix}+\alpha_{4}\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$ $$\alpha_{1}\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+\alpha_{2}\begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix}+\alpha_{3}\begin{pmatrix} 5\\7\\9 \end{pmatrix}+\alpha_{4}\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1&4&-5&0 \\ 2&5&-7&0 \\ 3&6&-9&-1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1&0&-1&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} \alpha_{1}-\alpha_{3}=0 \\ \alpha_{2}-\alpha_{3}=0 \\ \alpha_{4}=0 \end{cases}$$ $$\alpha_{1}=\alpha_{3}=\alpha_{2}=t,\alpha_{4}=0$$

נציב:

$$t\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix}=\underline{v}=t\begin{pmatrix} 5\\7\\9 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$ $$U \cap W=\left\{\begin{array}{c|c} t\begin{pmatrix} 5\\7\\9 \end{pmatrix}&t \in \mathbb{R} \end{array} \right\}=sp\left\{ \begin{pmatrix} 5\\7\\9 \end{pmatrix} \right\}$$

נבדוק מה הסכום:

$$U+W=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix} \right\}+sp\left\{ \begin{pmatrix} 5\\7\\9 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \right\}=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 5\\7\\9 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \right\}$$

1. בהינתן מטריצה $A$. נסמן את עמודות $A$: $A \downarrow 1,A \downarrow 2,\dots,A \downarrow n$.
   אזי, $col(A)=sp\{ A \downarrow 1,A \downarrow 2,\dots,A \downarrow n \}$ ונקרא מרחב העמודות של $A$.
2. נסמן את שורות $A$ ב-$A \to1,A\to 2,\dots,A\to n$.
   אזי: $row(A)=sp\{ A \to1,A\to 2,\dots,A\to n \}$ ונקרא מרחב השורות של $A$.

$$A=\begin{pmatrix} 1&2&3&1 \\ 4&5&6&-1 \\ 7&8&9&17 \end{pmatrix}$$ $$col(A)=sp\left\{\begin{pmatrix} 1\\4\\7 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\5\\8 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3\\6\\9 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\-1\\17 \end{pmatrix}\right\}$$ $$row(A)=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4\\5\\6\\-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 7\\8\\9\\17 \end{pmatrix} \right\}$$

אם קיים פתרון למערכת האי-הומוגנית $A\underline{x}=\underline{b}$ אזי $\underline{b} \in col(A)$.

נניח כי $U_{1},U_{2},U_{3}$ ת"מ של מ"ו $V$.
האם $U_{1}+U_{2}=U_{1}+U_{3}$ ⇐ $U_{2}=U_{3}$. $\color{red}\R{\text{לא! \qquad וגם לא בסכום ישר!}}$
דוגמה:

$$V=\mathbb{R}^2$$ $$\mathbb{R}^2=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \right\}\oplus sp\left\{ \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \right\}=sp\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}\oplus sp\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$$ $$\color{red}sp\left\{ \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \right\} \R{\text{כמובן אסור לצמצם את }}$$

כלומר, אין חוק הצמצום בסכום(וגם בסכום ישר) של ת"מ.

האם $x^2+2x+3 \in sp\{ 4x^2+5x+6,7x^2+8x+9 \}$?
בודקים האם קיימים $\alpha_{1},\alpha_{2}$ כך ש:

$$x^2+2x+3=\alpha_{1}(4x^2+5x+6)+\alpha_{2}(7x^2+8x+9)$$ $$=(4\alpha_{1}+3\alpha_{2})x^2+(5\alpha_{1}+8\alpha_{2})x+(6\alpha_{1}+9\alpha_{2})$$

נבצע השוואת מקדמים:

$$\begin{cases} 4\alpha_{1}+7\alpha_{2}=1 \\ 5\alpha_{1}+8\alpha_{2}=2 \\ 6\alpha_{1}+9\alpha_{2}=3 \end{cases}$$

נעשה מערכת משוואות ("חצי שעה ככה בתנור" - יוס)

$$\left(\begin{array}{cc|c} 4&7&1 \\ 5&8&2 \\ 6&9&3 \end{array}\right)\overrightarrow{\frac{1}{4}R_{1}\to R_{1}}\left(\begin{array}{cc|c} 1& \frac{7}{4} & \frac{1}{4} \\ 5&8&2 \\ 6&9&3 \end{array}\right)\overrightarrow{\begin{matrix} R_{2}-5R_{1}\to R_{2} \\ R_{3}-6R_{4}\to R_{3} \end{matrix}}\left(\begin{array}{cc|c} 1& \frac{7}{4} & \frac{1}{4} \\ 0& -\frac{3}{4} & \frac{3}{4} \\ 0& -\frac{6}{4}& \frac{6}{4} \end{array}\right)$$ $$\overrightarrow{}\left(\begin{array}{cc|c} 4& 7 & 1 \\ 0& 1 & -1 \\ 0&0&0 \end{array}\right)$$

$(*)$ אם שואלים אותי האם $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\in sp\left\{ \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix},\begin{pmatrix}9&10\\11&12\end{pmatrix} \right\}$. באופן דומה!

נאמר כי מ"ו $V$ נוצר סופית אם קיימת קבוצה סופית $A$ כך ש-$V=sp(A)$.

$$\mathbb{R}^3=sp \left\{\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\right\}$$

נוצר סופית ולמעשה כל הדוגמות שראינו למעט $\mathbb{F}[x]$.

$$\mathbb{F}[x]=sp\{ 1,x,x^2,\dots ,x^{n},\dots \}$$

יהא $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$.
נאמר כי $\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n} \}$ תלויים ליניארית אם קיימים סקלארים $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in \mathbb{F}$ לא כולם אפס כך ש-$\alpha_{1}\underline{v}_{1}+\alpha_{2}\underline{v}_{2}+\dots+\alpha _n\underline{v}_{n}=\underline{0}$.
אם $\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n} \}$ אינם תלויים ליניארית נאמר שהם בלתי תלויים ליניארית. כלומר, $\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n} \}$ בת"ל(בלתי תלויים ליניארית) אם הצירוף הליניארי היחיד שנותן את ווקטור האפס הוא הצירוף הטריוויאלי(כלומר, כל הסקלרים אפסים).

$$\left\{\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}\right\}$$

איך נדע אם קיים רק הפתרון הטריוויאלי?

$$\alpha_{1}\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}+\alpha_{2}\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1&3\\2&4 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & -2 \end{pmatrix} \implies r(A)-n=2-2=0$$

לכן, מתקיימת בת"ל.

$$\left\{ \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix} \right\}$$

אזי, חוץ מהפתרון הטריוויאלי קיים גם:

$$2\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}+(-1)\begin{pmatrix} 2 \\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

ולכן מתקיימת ת"ל(תלות ליניארית).

$$\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\right\}$$ $$0\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\square \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$$

ולכן, קיימת ת"ל.

קבוצה אינסופית $A$ תקרא ת"ל אם קיימת לה תת קבוצה שהיא ת"ל.

הוכיחו אם $W$ ת"מ ו-$sp(W)=W$.

$\{ \underline{v}_{1},\underline{v}_{2},\dots,\underline{v}_{n} \}$ ת"ל ⇔ אחד הוקטורים הוא צירוף ליניארי של האחרים.

$\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\}$ ת"ל.

$$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\neq \alpha\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$

1. קבוצת וקטורים המכילה את וקטור האפס ת"ל.
2. שני ווקטורים תלויים ליניארית ⇔ אחד מהם הוא כפולה בסקלר של השני.
3. קבוצה המכילה קבוצה ת"ל היא גם ת"ל.
4. קבוצה המוכלת בקבוצה בת"ל היא בת"ל.
5. סדרת וקטורים $\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n} \}$ ת"ל ⇔ קיים בה וקטור $\underline{v}_{i}$ שהוא צ"ל של קודמיו.
6. סדרת וקטורים $\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n} \}$ ת"ל ⇔ קיים בה וקטור $\underline{v}_{i}$ שהוא צ"ל של הבאים האחריו.
7. תהא $\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n} \}$ בת"ל. אזי, $\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n},\underline{v} \}$ ת"ל ⇔ $\underline{v}\in sp\{ \underline{v}_{1},\dots,\underline{v}_{n} \}$.