( 1 2 3 ) + ( 2 4 7 ) = ( 3 6 10 ) \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2 \\
4 \\
7
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 \\
6 \\
10
\end{pmatrix} 1 2 3 + 2 4 7 = 3 6 10 A = A 2 × 4 = ( 1 2 3 4 5 6 − 7 π ) ⟹ ( A ) 2 , 3 = − 7 A=\underset{2\times4}{A}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & -7 & \pi
\end{pmatrix} \implies (A)_{2,3}=-7 A = 2 × 4 A = ( 1 5 2 6 3 − 7 4 π ) ⟹ ( A ) 2 , 3 = − 7
יהא F \mathbb{F} F מטריצה היא מערך דו-מימדי המכילה איברים מהשדה.
A = ( a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n} \\
a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}
\end{pmatrix} A = a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 … … ⋮ … a 1 n a 2 n ⋮ a mn האיבר הכללי a i j a_{ij} a ij i i i j j j A A A R \mathbb{R} R
סימונים ומונחים
A = A m × n = ( a i j ) A=A_{m\times n}=(a_{ij}) A = A m × n = ( a ij )
סדר של מטריצה: m × n m\times n m × n
קבוצת כל המטריצות m × n m\times n m × n F \mathbb{F} F M m × n ( F ) M_{m\times n}(\mathbb{F}) M m × n ( F ) F m × n \mathbb{F}^{m\times n} F m × n
אם m = n m=n m = n M n ( F ) M_{n}(\mathbb{F}) M n ( F )
עבור מטריצה ריבועית, האלכסון הראשי הינו קבוצת האיברים: a i i a_{ii} a ii
B = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) B=\begin{pmatrix}
1&2&3 \\
4&5&6 \\
7&8&9
\end{pmatrix} B = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 האלכסון הראשי הינו D i a g { 1 , 5 , 9 } Diag\{ 1,5,9 \} D ia g { 1 , 5 , 9 }
מטריצת האפס הינה מטריצה שכל איבריה אפסים.
C = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) C=\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0 \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix} C = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) מטריצת אפס מסדר m × n m\times n m × n 0 m × n 0_{m\times n} 0 m × n
מטריצה ריבועית שבה כל אברי האלכסון הראשי הם 1-ים והיתר הם 0 נקראת מטריצת יחידה .I I I I n I_{n} I n
I 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) I_{3}=\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix} I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 הגדרה 5 (מטריצה אלכסונית)
מטריצה ריבועית שבה כל איבר מחוץ לאלכסון הוא אפס.
( 1 0 0 0 7 0 0 0 9 ) וא ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&7&0 \\
0&0&9
\end{pmatrix} \text{וא} \begin{pmatrix}
0&0&0 \\
0&0&0 \\
0&0&0
\end{pmatrix} 1 0 0 0 7 0 0 0 9 וא 0 0 0 0 0 0 0 0 0
מטריצה אלכסונית שבה כל איברי האלכסון הראשי שווים תקרא מטריצה סקלארית .
( 7 0 0 0 7 0 0 0 7 ) \begin{pmatrix}
7&0&0 \\
0&7&0 \\
0&0&7
\end{pmatrix} 7 0 0 0 7 0 0 0 7 הגדרה 7 (מטריצה משוחלפת(טרנספוז))
נתונה A ∈ M m × n F A \in M_{m\times n}\mathbb{F} A ∈ M m × n F A t A^t A t A t ∈ M m × n F A^t \in M_{m\times n}\mathbb{F} A t ∈ M m × n F i , j i,j i , j
A j i t = A i j A^t_{ji}=A_{ij} A ji t = A ij בעצם, מחליפים את השורות בעמודות.
( 1 4 9 − 1 7 3 0 11 π 8 − 1 13 ) t = ( 1 7 π 4 3 8 9 0 − 1 − 1 11 13 ) \begin{pmatrix}
1&4&9&-1 \\
7&3&0&11 \\
\pi&8&-1&13
\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix}
1&7&\pi \\
4&3&8 \\
9&0&-1 \\
-1&11&13
\end{pmatrix} 1 7 π 4 3 8 9 0 − 1 − 1 11 13 t = 1 4 9 − 1 7 3 0 11 π 8 − 1 13
מטריצה ריבועית המקיימת A t = A A^t=A A t = A מטריצה סמטרית .i , j i,j i , j a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} a ij = a ji
A = ( 1 − 2 2 − 2 19 3 2 3 17 ) A=\begin{pmatrix}
1&-2&\sqrt{ 2 } \\
-2&19&3 \\
\sqrt{ 2 }&3&17
\end{pmatrix} A = 1 − 2 2 − 2 19 3 2 3 17
נסמן: − A -A − A
A = ( 1 3 5 9 ) ⟹ − A = ( − 1 − 3 − 5 − 9 ) A=\begin{pmatrix}
1&3 \\
5&9
\end{pmatrix} \implies -A=\begin{pmatrix}
-1&-3 \\
-5&-9
\end{pmatrix} A = ( 1 5 3 9 ) ⟹ − A = ( − 1 − 5 − 3 − 9 ) הגדרה 10 (מטריצה אנטי-סמטרית)
מטריצה ריבועית המקיימת A t = − A A^t=-A A t = − A i , j i,j i , j a i j = − a j i a_{ij}=-a_{ji} a ij = − a ji
( □ 2 3 − 2 □ 7 − 3 − 7 □ ) \begin{pmatrix}
\square&2&\sqrt{ 3 } \\
-2&\square&7 \\
-\sqrt{ 3 }&-7&\square
\end{pmatrix} □ − 2 − 3 2 □ − 7 3 7 □ האיברים באלכסון יהיו איברי האפס בשדה. (למשל בשביל F ≠ Z 2 F\neq Z_{2} F = Z 2 Z 2 Z_{2} Z 2 0 , 1 0,1 0 , 1
הגדרה 11 (מטריצה משולשת עליונה)
מטריצה ריבועית שבה כל האיברים מתחת לאלכסון הראשי שווים ל-0 0 0
( 1 3 4 0 7 5 0 0 4 ) \begin{pmatrix}
1&3&4 \\
0&7&5 \\
0&0&4
\end{pmatrix} 1 0 0 3 7 0 4 5 4 כלומר, a i j = 0 a_{ij}=0 a ij = 0 i > j i>j i > j
הגדרה 12 (מטריצה משולשת תחתונה)
מטריצה ריבועית שבה כל האיברים מעל לאלכסון הראשי שווים ל-0 0 0
( 1 0 0 12 − 1 0 13 14 19 ) \begin{pmatrix}
1&0&0 \\
12&-1&0 \\
13&14&19
\end{pmatrix} 1 12 13 0 − 1 14 0 0 19 כלומר, a i j = 0 a_{ij}=0 a ij = 0 i < j i<j i < j
מטריצה בעלת שורה בודדת.
( 1 2 3 ) \begin{pmatrix}
1&2&3
\end{pmatrix} ( 1 2 3 )
מטריצה בעלת עמודה בודדת
( 1 2 3 ) \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} 1 2 3 אריטמטיקה של מטריצות
יהא F \mathbb{F} F m , n ∈ N m,n \in \mathbb{N} m , n ∈ N A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A = ( a ij ) B = ( b i j ) B=(b_{ij}) B = ( b ij ) M m × n ( F ) M_{m\times n}(\mathbb{F}) M m × n ( F ) α ∈ F \alpha \in \mathbb{F} α ∈ F
נאמר כי A , B A,B A , B 1 ≤ i ≤ m 1\leq i \leq m 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ i ≤ n 1\leq i \leq n 1 ≤ i ≤ n a i j = b i j a_{ij}=b_{ij} a ij = b ij
סכום המטריצות A + B A+B A + B C = ( c i j ) C=(c_{ij}) C = ( c ij ) c i j = a i j + b i j c_{ij}=a_{ij}+b_{ij} c ij = a ij + b ij
נאמר שכפל המטריצה A A A α \alpha α C = ( c i j ) C=(c_{ij}) C = ( c ij ) C ∈ M m × n ( F ) C \in M_{m\times n}(\mathbb{F}) C ∈ M m × n ( F ) c i j = α ⋅ a i j c_{ij}=\alpha\cdot a_{ij} c ij = α ⋅ a ij
( 1 2 5 3 4 − 1 ) + ( 2 − 1 3 7 9 10 ) = ( 3 1 8 10 13 9 ) \begin{pmatrix}
1&2&5 \\
3&4&-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2&-1&3 \\
7&9&10
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3&1&8 \\
10&13&9
\end{pmatrix} ( 1 3 2 4 5 − 1 ) + ( 2 7 − 1 9 3 10 ) = ( 3 10 1 13 8 9 ) 3 ( 1 − 1 7 9 ) = ( 3 − 3 21 27 ) 3\begin{pmatrix}
1&-1 \\
7&9
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3&-3 \\
21&27
\end{pmatrix} 3 ( 1 7 − 1 9 ) = ( 3 21 − 3 27 )
יהא F \mathbb{F} F m , n ∈ N m,n \in \mathbb{N} m , n ∈ N A , B , C ∈ M m × n ( F ) A,B,C \in M_{m\times n}(\mathbb{F}) A , B , C ∈ M m × n ( F ) α , β ∈ F \alpha,\beta \in \mathbb{F} α , β ∈ F
קומוטטיביות לחיבור: A + B = B + A A+B=B+A A + B = B + A
אסוציאטיביות לחיבור: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (A+B)+C=A+(B+C) ( A + B ) + C = A + ( B + C )
קיום אדיש לחיבר: A + 0 m × n = A A+0_{m\times n}=A A + 0 m × n = A
קיום איבר נגדי: A + ( − A ) = 0 A+(-A)=0 A + ( − A ) = 0
סוג של דיסטריבוטיביות: α ( A + B ) = α A + α B \alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B α ( A + B ) = α A + α B
עוד סוג של דיסטריבוטיביות: ( α + β ) A = α A + β A (\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A ( α + β ) A = α A + β A
סוג של אסוציאטיביות: ( α β ) A = α ( β A ) (\alpha \beta)A=\alpha(\beta A) ( α β ) A = α ( β A )
חזקה של סקלר: ( A + B ) t = A t + B t (A+B)^t=A^t+B^t ( A + B ) t = A t + B t
טרנספוז של כפולה עם סקלר: ( α A ) t = α A t (\alpha A)^t=\alpha A^t ( α A ) t = α A t
טרנספוז כפולה של סקלר: ( A t ) t = A (A^t)^t=A ( A t ) t = A
הוכחה: (5)A A A B B B m × n m\times n m × n A + B A+B A + B m × n m\times n m × n α ( A + B ) \alpha(A+B) α ( A + B ) A A A m × n m\times n m × n α A \alpha A α A m × n m\times n m × n α B \alpha B α B m × n m\times n m × n α A + α B \alpha A+\alpha B α A + α B m × n m\times n m × n
נבדוק שוויון איברים. נסמן B = ( b i j ) A = ( a i j ) B=(b_{ij})\; A=(a_{ij}) B = ( b ij ) A = ( a ij ) i , j i,j i , j
( α ( A + B ) ) i j = α ( A + B ) i j = α ( a i j + b i j ) (\alpha(A+B))_{ij}=\alpha(A+B)_{ij}=\alpha(a_{ij}+b_{ij}) ( α ( A + B ) ) ij = α ( A + B ) ij = α ( a ij + b ij ) ומאידך האיבר ה-i , j i,j i , j
( α A + α B ) i j = ( α A ) i j + ( α B ) i j = α a i j + α b i j (\alpha A+\alpha B)_{ij}=(\alpha A)_{ij}+(\alpha B)_{ij}=\alpha a_{ij}+\alpha b_{ij} ( α A + α B ) ij = ( α A ) ij + ( α B ) ij = α a ij + α b ij ∎
כפל מטריצות
( 1 2 3 4 5 6 ) ( 1 0 − 1 1 2 − 1 ) = ( 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ − 1 + 3 ⋅ 2 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ ( − 1 ) 4 ⋅ 1 + 4 ⋅ ( − 1 ) + 6 ⋅ 2 4 ⋅ 0 + 5 ⋅ 1 + 6 ⋅ ( − 1 ) ) = ( 5 − 1 11 − 1 ) \begin{pmatrix}
1&2&3 \\
4&5&6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&0 \\
-1&1 \\
2&-1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\cdot1+2\cdot-1+3\cdot2 & 1\cdot0+2\cdot 1+3\cdot(-1) \\
4\cdot 1+4\cdot(-1)+6\cdot2& 4\cdot 0+5\cdot 1+6\cdot(-1)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5&-1 \\
11&-1
\end{pmatrix} ( 1 4 2 5 3 6 ) 1 − 1 2 0 1 − 1 = ( 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ − 1 + 3 ⋅ 2 4 ⋅ 1 + 4 ⋅ ( − 1 ) + 6 ⋅ 2 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ ( − 1 ) 4 ⋅ 0 + 5 ⋅ 1 + 6 ⋅ ( − 1 ) ) = ( 5 11 − 1 − 1 ) ( 1 2 3 4 5 6 ) ( − 1 0 1 0 0 1 9 − 1 ) = ( 1 ⋅ ( − 1 ) + 2 ⋅ 0 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 9 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ ( − 1 ) 3 ⋅ ( − 1 ) + 4 ⋅ 0 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 9 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ ( − 1 ) 5 ⋅ ( − 1 ) + 6 ⋅ 0 5 ⋅ 0 + 6 ⋅ 1 5 ⋅ 1 + 6 ⋅ 9 5 ⋅ 0 + 6 ⋅ ( − 1 ) ) \begin{pmatrix}
1&2 \\
3&4 \\
5&6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1&0&1&0 \\
0&1&9&-1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\cdot(-1)+2\cdot 0&0\cdot 1 +2\cdot1& 1\cdot 1 + 2\cdot9&1\cdot0+2\cdot(-1) \\
3\cdot(-1)+ 4\cdot0&3\cdot 0 +4\cdot 1 & 3\cdot1+4\cdot 9 & 3\cdot 0 + 4\cdot (-1) \\
5\cdot(-1)+6\cdot 0 & 5\cdot 0 +6 \cdot 1& 5\cdot 1 + 6 \cdot 9 & 5\cdot 0 + 6\cdot (-1)
\end{pmatrix} 1 3 5 2 4 6 ( − 1 0 0 1 1 9 0 − 1 ) = 1 ⋅ ( − 1 ) + 2 ⋅ 0 3 ⋅ ( − 1 ) + 4 ⋅ 0 5 ⋅ ( − 1 ) + 6 ⋅ 0 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 5 ⋅ 0 + 6 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 9 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 9 5 ⋅ 1 + 6 ⋅ 9 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ ( − 1 ) 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ ( − 1 ) 5 ⋅ 0 + 6 ⋅ ( − 1 ) = ( − 1 2 19 − 2 − 3 4 39 − 4 − 5 6 59 − 6 ) =\begin{pmatrix}
-1&2&19&-2 \\
-3&4&39&-4 \\
-5&6&59&-6
\end{pmatrix} = − 1 − 3 − 5 2 4 6 19 39 59 − 2 − 4 − 6
יהא F \mathbb{F} F m , n , ℓ ∈ N m,n,\ell \in \mathbb{N} m , n , ℓ ∈ N A ∈ M m × n ( F ) A \in M_{m\times n}(\mathbb{F}) A ∈ M m × n ( F ) B ∈ M n × ℓ ( F ) B \in M_{n\times \ell}(\mathbb{F}) B ∈ M n × ℓ ( F ) A B AB A B C ∈ M m × ℓ ( F ) C \in M_{m\times \ell}(\mathbb{F}) C ∈ M m × ℓ ( F )
c i j = ∑ k = 1 n a i k b k j c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj} c ij = k = 1 ∑ n a ik b kj לכל i , j i,j i , j
(האיבר i , j i,j i , j i i i A A A j j j B B B
נקח את המטריצות:
A = ( 1 2 3 4 ) B = ( 1 2 3 4 5 6 ) A=\begin{pmatrix}
1&2 \\
3&4
\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}
1&2&3 \\
4&5&6
\end{pmatrix} A = ( 1 3 2 4 ) B = ( 1 4 2 5 3 6 ) הכפל A B AB A B B A BA B A A B = B A AB=BA A B = B A
A = ( 1 2 3 4 ) B = ( − 1 0 0 2 ) A=\begin{pmatrix}
1&2 \\
3&4
\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}
-1&0 \\
0&2
\end{pmatrix} A = ( 1 3 2 4 ) B = ( − 1 0 0 2 ) A B = ( − 1 4 − 3 8 ) ≠ B A = ( − 1 − 2 6 8 ) AB=\begin{pmatrix}
-1&4 \\
-3&8
\end{pmatrix} \quad \neq \quad BA=\begin{pmatrix}
-1&-2 \\
6&8
\end{pmatrix} A B = ( − 1 − 3 4 8 ) = B A = ( − 1 6 − 2 8 )
כל המטריצות ב-4 ריבועיות, עוד מעט נסביר
( A + B ) 2 = A 2 + B A + A B + B 2 (A+B)^2=A^2+BA+AB+B^2 ( A + B ) 2 = A 2 + B A + A B + B 2 באופן דומה:
( A − B ) ( A + B ) = A 2 − B A + A B − B 2 (A-B)(A+B)=A^2-BA+AB-B^2 ( A − B ) ( A + B ) = A 2 − B A + A B − B 2
יש מחלקי אפס במטריצות:
( 1 1 1 1 ) ( 1 1 − 1 − 1 ) = ( 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix}
1&1 \\
1&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&1 \\
-1&-1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&0 \\
0&0
\end{pmatrix} ( 1 1 1 1 ) ( 1 − 1 1 − 1 ) = ( 0 0 0 0 ) ולכן, A B = 0 ⟹ A = 0 o r B = 0 AB=0 \cancel{\implies} A=0\ or\ B=0 A B = 0 ⟹ A = 0 or B = 0 אין כלל צמצום באופן כללי . אסור לצמצם מטריצות זהות.טעות: A B = A C \cancel{A}B=\cancel{A}C A B = A C
יהא F \mathbb{F} F m , n , ℓ , q ∈ N m,n,\ell,q \in \mathbb{N} m , n , ℓ , q ∈ N A ∈ M m × n ( F ) A \in M_{m\times n}(\mathbb{F}) A ∈ M m × n ( F ) B ∈ M n × ℓ ( F ) B \in M_{n\times \ell}(\mathbb{F}) B ∈ M n × ℓ ( F ) C ∈ M ℓ × p ( F ) C \in M_{\ell \times p}(\mathbb{F}) C ∈ M ℓ × p ( F ) α ∈ F \alpha \in \mathbb{F} α ∈ F
אסוציאטיביות של הכפל: ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C=A(BC) ( A B ) C = A ( BC )
דיסטריבוטיביות סטאנדרטית משמאל: A ( B + D ) = A B + A D A(B+D)=AB+AD A ( B + D ) = A B + A D
דיסטריבוטיביות סטאנדרטית מימין: ( D + B ) C = D C + B C (D+B)C=DC+BC ( D + B ) C = D C + BC
אסוציאטיביות עם סקלר: α ( A B ) = ( α A ) B = A ( α B ) \alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B) α ( A B ) = ( α A ) B = A ( α B )
כפל עם מטריצת היחידה משמאל: A ⋅ I n = A A\cdot I_{n}=A A ⋅ I n = A
כפל עם מטריצת היחידה מימן: I m ⋅ A = A I_{m}\cdot A=A I m ⋅ A = A
כפולה במטריצת האפס משמאל: A m × n ⋅ 0 m × n = 0 m × n \underset{m\times n}{A}\cdot \underset{m\times n}{0}=\underset{m\times n}{0} m × n A ⋅ m × n 0 = m × n 0
כפולה במטריצת האפס מימין: 0 m × n ⋅ A m × n = 0 m × n \underset{m\times n}{0}\cdot\underset{m\times n}{A}=\underset{m\times n}{0} m × n 0 ⋅ m × n A = m × n 0
פילוג טרנספוז: ( A B ) t = B t A t (AB)^t=B^tA^t ( A B ) t = B t A t
הוכחה: (9)A B AB A B m × ℓ m\times \ell m × ℓ ( A B ) t (AB)^t ( A B ) t ℓ × m \ell \times m ℓ × m A t A^t A t m × n m\times n m × n B t B^t B t ℓ × n \ell \times n ℓ × n B t A t B^tA^t B t A t ℓ × m \ell \times m ℓ × m
נבדוק שוויון איברים:
( ( A B ) t ) i j = ( A B ) j i = ∑ k = 1 n a j k b k i ((AB)^t)_{ij}=(AB)_{ji}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki} (( A B ) t ) ij = ( A B ) ji = k = 1 ∑ n a jk b ki ( B t A t ) i j = ∑ k = 1 n ( B t ) i k ( A t ) k i = ∑ k = 1 n b k i a j k = ∑ k = 1 n a j k b k i (B^tA^t)_{ij}=\sum_{k=1}^n (B^t)_{ik}(A^t)_{ki}=\sum_{k=1}^n b_{ki}a_{jk}=\sum_{k=1}^na_{jk}b_{ki} ( B t A t ) ij = k = 1 ∑ n ( B t ) ik ( A t ) ki = k = 1 ∑ n b ki a jk = k = 1 ∑ n a jk b ki המעבר האחרון נעשה על פי הקומוטטיביות בשדה F \mathbb{F} F
חזקות
יהא F \mathbb{F} F n , m ∈ N n,m \in \mathbb{N} n , m ∈ N A ∈ M m × m ( F ) A \in M_{m\times m}(\mathbb{F}) A ∈ M m × m ( F ) A ∘ = I A^\circ=I A ∘ = I A n = A n − 1 ⋅ A A^n=A^{n-1}\cdot A A n = A n − 1 ⋅ A
הצבת מטריצה בפולינום
יהא F \mathbb{F} F n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N B ∈ M n × n ( F ) B \in M_{n\times n}(\mathbb{F}) B ∈ M n × n ( F ) k ∈ N ∪ { 0 } k \in \mathbb{N}\cup \{ 0 \} k ∈ N ∪ { 0 } p ( x ) = ∑ i = 0 k a i x i p(x)=\sum_{i=0}^k a_{i}x^i p ( x ) = ∑ i = 0 k a i x i k k k F \mathbb{F} F B B B p p p n × n n\times n n × n
p ( B ) = ∑ i = 0 k a i B i p(B)=\sum_{i=0}^k a_{i}B^i p ( B ) = i = 0 ∑ k a i B i
p ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 1 p(x)=3x^2+2x+1 p ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 1 A = ( − 1 0 2 0 ) A=\begin{pmatrix}
-1&0 \\
2&0
\end{pmatrix} A = ( − 1 2 0 0 ) ולכן:
p ( A ) = 3 ( − 1 0 2 0 ) 2 + 2 ( − 1 0 2 0 ) + ( 1 0 0 1 ) = 3 ( 1 0 − 2 0 ) + 2 ( − 1 0 2 0 ) + ( 1 0 0 1 ) p(A)=3\begin{pmatrix}
-1&0 \\
2&0
\end{pmatrix}^2 +2\begin{pmatrix}
-1&0 \\
2&0
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1&0 \\
0&1
\end{pmatrix}= 3\begin{pmatrix}
1&0 \\
-2&0
\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}
-1&0 \\
2&0
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1&0 \\
0&1
\end{pmatrix} p ( A ) = 3 ( − 1 2 0 0 ) 2 + 2 ( − 1 2 0 0 ) + ( 1 0 0 1 ) = 3 ( 1 − 2 0 0 ) + 2 ( − 1 2 0 0 ) + ( 1 0 0 1 ) = ( 3 0 − 6 0 ) + ( − 2 0 4 0 ) + ( 1 0 0 1 ) = ( 2 0 − 2 1 ) =\begin{pmatrix}
3&0 \\
-6&0
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-2&0 \\
4&0
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1&0 \\
0&1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2&0 \\
-2&1
\end{pmatrix} = ( 3 − 6 0 0 ) + ( − 2 4 0 0 ) + ( 1 0 0 1 ) = ( 2 − 2 0 1 ) אינטואיציה בכפל
( 1 2 3 4 ) ( 5 6 ) = ( 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 6 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 6 ) = 5 ( 1 3 ) + 6 ( 2 4 ) \begin{pmatrix}
1&2 \\
3&4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5 \\
6
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\cdot 5 + 2\cdot 6 \\
3 \cdot 5 + 4 \cdot 6
\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}
1 \\
3
\end{pmatrix} + 6\begin{pmatrix}
2 \\
4
\end{pmatrix} ( 1 3 2 4 ) ( 5 6 ) = ( 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 6 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 6 ) = 5 ( 1 3 ) + 6 ( 2 4 )
( 1 2 3 4 ) ( 5 6 7 8 9 10 ) = ( 1 ∗ 5 + 2 ∗ 8 1 ∗ 6 + 2 ∗ 9 1 ∗ 7 + 2 ∗ 10 3 ∗ 5 + 4 ∗ 8 3 ∗ 6 + 4 ∗ 9 3 ∗ 7 + 4 ∗ 10 ) \begin{pmatrix}
1&2 \\
3&4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5&6&7 \\
8&9&10
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1*5+2*8&1*6+2*9&1*7+2*10 \\
3*5+4*8&3*6+4*9&3*7+4*10
\end{pmatrix} ( 1 3 2 4 ) ( 5 8 6 9 7 10 ) = ( 1 ∗ 5 + 2 ∗ 8 3 ∗ 5 + 4 ∗ 8 1 ∗ 6 + 2 ∗ 9 3 ∗ 6 + 4 ∗ 9 1 ∗ 7 + 2 ∗ 10 3 ∗ 7 + 4 ∗ 10 ) = ( ( 1 2 3 4 ) ( 5 8 ) ( 1 2 3 4 ) ( 6 9 ) ( 1 2 3 4 ) ( 7 10 ) ) =\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&2 \\
3&4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5 \\
8
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1&2 \\
3&4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
6 \\
9
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1&2 \\
3&4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
7 \\
10
\end{pmatrix}
\end{pmatrix} = ( ( 1 3 2 4 ) ( 5 8 ) ( 1 3 2 4 ) ( 6 9 ) ( 1 3 2 4 ) ( 7 10 ) ) ומשהו קצת פחות שימושי:
= ( ( 1 2 ) ( 5 6 7 8 9 10 ) ( 3 4 ) ( 5 6 7 8 9 10 ) ) =\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5&6&7 \\
8&9&10
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
3&4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5&6&7 \\
8&9&10
\end{pmatrix}
\end{pmatrix} = ( 1 2 ) ( 5 8 6 9 7 10 ) ( 3 4 ) ( 5 8 6 9 7 10 ) סיכום פורמלי
כפל מטריצה:
A m × n = ( A ↓ 1 A ↓ 2 … A ↓ n ) A_{m\times n}=(A\downarrow1\; A\downarrow2\dots A\downarrow n) A m × n = ( A ↓ 1 A ↓ 2 … A ↓ n ) כאשר A ↓ i A\downarrow i A ↓ i i = 1 , 2 , … , n i=1,2,\dots,n i = 1 , 2 , … , n A A A
B n × 1 = ( β 1 β 2 ⋮ β n ) B_{n\times1}=\begin{pmatrix}
\beta_{1} \\
\beta_{2} \\
\vdots \\
\beta_{n}
\end{pmatrix} B n × 1 = β 1 β 2 ⋮ β n נותן:
β 1 A ↓ 1 + β 2 A ↓ 2 + ⋯ + β n A ↓ n \beta_{1}A\downarrow1+\beta_{2}A\downarrow2+\dots+\beta_{n}A\downarrow n β 1 A ↓ 1 + β 2 A ↓ 2 + ⋯ + β n A ↓ n
אם כופלים 2 מטריצות: A m × p , B p × n A_{m\times p},B_{p\times n} A m × p , B p × n
B = ( B ↓ 1 B ↓ 2 … B ↓ n ) B=\begin{pmatrix}
B\downarrow1&B\downarrow 2&\dots&B\downarrow n
\end{pmatrix} B = ( B ↓ 1 B ↓ 2 … B ↓ n ) כאשר B ↓ i B\downarrow i B ↓ i i = 1 , … , n i=1,\dots,n i = 1 , … , n B B B
A B = ( A B ↓ 1 A B ↓ 2 … A B ↓ n ) AB=\begin{pmatrix}
AB\downarrow1 & AB\downarrow 2& \dots &AB\downarrow n
\end{pmatrix} A B = ( A B ↓ 1 A B ↓ 2 … A B ↓ n ) באופן דומה, ניתן להראות שאם כופלים שתי מטריצות A m × p , B p × n A_{m\times p},B_{p\times n} A m × p , B p × n
A = ( A → 1 A → 2 ⋮ A → m ) A=\begin{pmatrix}
A_{\to}1 \\
A_{\to}2 \\
\vdots \\
A_{\to}m
\end{pmatrix} A = A → 1 A → 2 ⋮ A → m כאשר A → i A_{\to}i A → i i = 1 , 2 , … , m i=1,2,\dots,m i = 1 , 2 , … , m A A A
A B = ( A → 1 ⋅ B A → 2 ⋅ B ⋮ A → m ⋅ B ) AB=\begin{pmatrix}
A_{\to}1\cdot B \\
A_{\to}2\cdot B \\
\vdots \\
A_{\to}m\cdot B
\end{pmatrix} A B = A → 1 ⋅ B A → 2 ⋅ B ⋮ A → m ⋅ B הערה (סיכום של הערה מפעם קודמת אודות הכפל)
1.
( A ↓ 1 A ↓ 2 A ↓ 1 … A ↓ n ) ( α 1 α 2 ⋮ α n ) = α 1 A ↓ 1 + α 2 A ↓ 2 + ⋯ + α n A ↓ n \begin{pmatrix}
A \downarrow1&A \downarrow 2&A \downarrow1&\dots& A \downarrow n
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\alpha_{1} \\
\alpha_{2} \\
\vdots \\
\alpha_{n}
\end{pmatrix}=\alpha_{1} A \downarrow1+\alpha_{2}A \downarrow 2+\dots+\alpha_{n}A \downarrow n ( A ↓ 1 A ↓ 2 A ↓ 1 … A ↓ n ) α 1 α 2 ⋮ α n = α 1 A ↓ 1 + α 2 A ↓ 2 + ⋯ + α n A ↓ n
A m × n B n × p = A ( B ↓ 1 B ↓ 2 … B ↓ p ) = ( A B ↓ 1 A B ↓ 2 … A B ↓ n ) \underset{m\times n}{A}\underset{n\times p}{B}=A \begin{pmatrix}
B \downarrow 1 & B \downarrow 2 & \dots & B \downarrow p
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
AB \downarrow 1 & AB \downarrow 2 & \dots & AB \downarrow n
\end{pmatrix} m × n A n × p B = A ( B ↓ 1 B ↓ 2 … B ↓ p ) = ( A B ↓ 1 A B ↓ 2 … A B ↓ n )
A m × n B n × p = ( A → 1 A → 2 ⋮ A → m ) B = ( A → 1 B A → 2 B ⋮ A → m B ) \underset{m\times n}{A}\underset{n\times p}{B}=\begin{pmatrix}
A\to 1 \\
A \to 2 \\
\vdots \\
A \to m
\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}
A\to 1 B \\
A \to 2 B \\
\vdots \\
A \to m B
\end{pmatrix} m × n A n × p B = A → 1 A → 2 ⋮ A → m B = A → 1 B A → 2 B ⋮ A → m B מטריצות אלמנטריות
( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) R 2 − 2 R 1 → R 2 → ( 1 2 3 2 1 0 7 8 9 ) \begin{pmatrix}
1&2&3 \\
4&5&6 \\
7&8&9
\end{pmatrix} \overrightarrow{R_{2}-2R_{1}\to R_{2}}\begin{pmatrix}
1&2&3 \\
2&1&0 \\
7&8&9
\end{pmatrix} 1 4 7 2 5 8 3 6 9 R 2 − 2 R 1 → R 2 1 2 7 2 1 8 3 0 9 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) R 2 − 2 R 1 → R 2 → ( 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}\overrightarrow{R_{2}-2R_{1}\to R_{2}}\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
-2&1&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix} 1 0 0 0 1 0 0 0 1 R 2 − 2 R 1 → R 2 1 − 2 0 0 1 0 0 0 1 ( 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ) ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) = ( 1 2 3 2 1 0 7 8 9 ) \begin{pmatrix}
1&0&0 \\
-2&1&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&2&3 \\
4&5&6 \\
7&8&9
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&2&3 \\
2&1&0 \\
7&8&9
\end{pmatrix} 1 − 2 0 0 1 0 0 0 1 1 4 7 2 5 8 3 6 9 = 1 2 7 2 1 8 3 0 9 נראה כי קיבלנו את אותה התוצאה, כלומר, ניתן להחליף את פעולת הדירוג, בכפל במטריצה אלמנטרית.
תהא A ∈ F m × n A \in F_{m\times n} A ∈ F m × n θ \theta θ θ \theta θ A A A θ ( A ) \theta(A) θ ( A )
θ ( A ) = θ ( I m ) ⋅ A \theta(A)=\theta(I_{m})\cdot A θ ( A ) = θ ( I m ) ⋅ A המטריצה θ ( I m ) \theta(I_{m}) θ ( I m ) מטריצה אלמנטרית .E i = θ ( I m ) E_{i}=\theta(I_{m}) E i = θ ( I m )
באופן דומה, ניתן לדרג עמודות ולכפול במטריצה אלמנטרית מימין שפעלו על עמודותיה. כלומר:θ \theta θ A A A θ ( A ) = A ⋅ θ ( I n ) \theta(A)=A\cdot \theta(I_{n}) θ ( A ) = A ⋅ θ ( I n )
מטריצות A A A B B B שקולות שורה ⇔ קיימות מטריצות אלמנטריות E 1 , … E k E_{1},\dots E_{k} E 1 , … E k
B = E k ⋅ … ⋅ E 1 ⋅ A B=E_{k}\cdot\ \dots\ \cdot E_{1}\cdot A B = E k ⋅ … ⋅ E 1 ⋅ A דירוג מטריצות עם פרמטרים
תרגיל (דוגמה בשביל החברה)
נתונה המערכת: (ראו בסיכום הבא על מערכות של משוואות)
( λ 1 1 1 1 λ 1 1 1 1 λ 1 ) \left(\begin{array}{ccc|c}
\lambda &1 & 1& 1 \\
1&\lambda&1&1 \\
1&1&\lambda&1
\end{array}\right) λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ 1 1 1 מצאו עבור אילו ערכי λ \lambda λ
נדרג את המטריצה:
( λ 1 1 1 1 λ 1 1 1 1 λ 1 ) R 1 ↔ R 2 → ( 1 λ 1 1 λ 1 1 1 1 1 λ 1 ) R 2 − λ R 1 → R 2 R 3 − R 1 → R 3 → ( 1 λ 1 1 0 1 − λ 2 1 − λ 1 − λ 0 1 − λ λ − 1 0 ) \left(\begin{array}{ccc|c}
\lambda &1 & 1& 1 \\
1&\lambda&1&1 \\
1&1&\lambda&1
\end{array}\right) \overrightarrow{R_{1} \leftrightarrow R_{2}}\left(\begin{array}{ccc|c}
1&\lambda&1&1 \\
\lambda &1 & 1& 1 \\
1&1&\lambda&1
\end{array}\right)\overrightarrow{\begin{matrix}
R_{2}-\lambda R_{1}\to R_{2} \\
R_{3}-R_{1}\to R_{3}
\end{matrix}}\left(\begin{array}{ccc|c}
1&\lambda&1&1 \\
0&1-\lambda^2&1-\lambda&1-\lambda \\
0&1-\lambda&\lambda-1&0
\end{array}\right) λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ 1 1 1 R 1 ↔ R 2 1 λ 1 λ 1 1 1 1 λ 1 1 1 R 2 − λ R 1 → R 2 R 3 − R 1 → R 3 1 0 0 λ 1 − λ 2 1 − λ 1 1 − λ λ − 1 1 1 − λ 0 R 2 ↔ R 3 → ( 1 λ 1 1 0 1 − λ λ − 1 0 0 1 − λ 2 1 − λ 1 − λ ) R 3 − ( 1 + λ ) R 2 → R 3 → ( 1 λ 1 1 0 1 − λ λ − 1 0 0 0 ( 1 − λ ) ( 2 + λ ) 1 − λ ) \overrightarrow{R_{2}\leftrightarrow R_{3}}\left(\begin{array}{ccc|c}
1&\lambda&1&1 \\
0&1-\lambda&\lambda-1&0 \\
0&1-\lambda^2&1-\lambda&1-\lambda
\end{array}\right)\overrightarrow{R_{3}-(1+\lambda)R_{2}\to R_{3}}\left(\begin{array}{ccc|c}
1&\lambda&1&1 \\
0&1-\lambda&\lambda-1&0 \\
0&0&(1-\lambda)(2+\lambda)&1-\lambda
\end{array}\right) R 2 ↔ R 3 1 0 0 λ 1 − λ 1 − λ 2 1 λ − 1 1 − λ 1 0 1 − λ R 3 − ( 1 + λ ) R 2 → R 3 1 0 0 λ 1 − λ 0 1 λ − 1 ( 1 − λ ) ( 2 + λ ) 1 0 1 − λ נסתכל על האיברים הפותחים:
1 − λ = 0 1-\lambda=0 1 − λ = 0 1 − λ ≠ 0 1-\lambda\neq 0 1 − λ = 0 ( 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0\end{array}\right) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 − λ R 2 → R 1 1 1 − λ R 3 → R 3 ⟹ ( 1 λ 1 1 0 1 − 1 0 0 0 λ − 2 1 ) \begin{matrix}\frac{1}{1-\lambda}R_{2}\to R_{1} \\ \frac{1}{1-\lambda}R_{3}\to R_{3}\end{matrix}\implies \left(\begin{array}{ccc|c}1&\lambda&1&1 \\ 0&1&-1&0 \\ 0 & 0& \lambda-2 & 1\end{array}\right) 1 − λ 1 R 2 → R 1 1 − λ 1 R 3 → R 3 ⟹ 1 0 0 λ 1 0 1 − 1 λ − 2 1 0 1 יש אינסוף פתרונות עם 2 דרגות חופש במידה ו-λ = − 2 \lambda=-2 λ = − 2 3 − 1 = 2 3-1=2 3 − 1 = 2 במידה ו-λ ≠ − 2 \lambda\neq -2 λ = − 2 3 − 3 = 0 3-3=0 3 − 3 = 0
סיכום:
כאשר λ = 1 \lambda=1 λ = 1 ∞ \infty ∞
במידה ו-λ = − 2 \lambda=-2 λ = − 2
במידה ו-λ ≠ − 1 , − 2 \lambda\neq -1,-2 λ = − 1 , − 2