סיפורים ליום שלישי

|\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}|=2

\begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{vmatrix}=1\cdot 4-2\cdot 3

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}= 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=1 \cdot (45-48)-2\cdot (36-42)+3 \cdot (32-35)=0

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})

-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}

-a_{13}a_{22}a_{31}

דדרמיננט זה אוסף כל התמורות מ- $1$ עד $n$ ל- $1$ עד $n$ . הסימני מינוס נבין באלגברה מודרנית וממש צריך להיכנס לתוך זה.

\left\{ 1,2,3 \right\}\xrightarrow{\quad \sigma \quad}\left\{ 1,2,3 \right\}

המספר $n$ נקבע לפי מספר השורות/העמודות.
תמורה זה העתקה חח"ע ועל.
דדטרמיננט זה אוסף התמורות מ- $\left\{ 1,\dots,n \right\}\to \left\{ 1,\dots,n \right\}$ .

הדטרמיננטה

הגדרה 1 (מינור)

לדדרמיננט של המטריצה הנוצרת ע"י מחיקת שורה $i$ ועמודה $j$ קוראים המינור ה- $i,j$ ומסמנים $M_{i,j}$ .

הערה

ראינו אם כן כי אם $n=2$ אזי $|A|=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}$ ול- $n=3$ מתקיים $|A|=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}$ .

הגדרה 2 (דטרמיננטה)

עבור מטריצה $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ נגדיר את הדטרמיננטה של מטריצה $A$ ע"י:
$\quad$ א. אם $n=1$ אזי $|(a)|=a$ .
$\quad$ ב. אחרת:

|A|=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+\dots+(-1)^{1+n}a_{1n}M_{1n}

משפט

ניתן להגדיר דטרמיננט לפי שורה כלשהי $i$ .

|A|=(-1)^{i+1}a_{i1}M_{i1}+(-1)^{i+2}a_{i2}M_{i2}+\dots+(-1)^{i+n}a_{in}M_{in}

ובאופן דומה ניתן להראות משפט כאשר המאפשר לפתוח דטרמיננט לפי כל עמודה $j$ .

מסקנה

|A|=|A^t|

דוגמה

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0 & 3\\1 & 0 & 0 & 3\\1 & 2 & 0 & 1\\1 & 0 & 5 & 3 \end{vmatrix}=(-1)^{2+1}\cdot 1\begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 1\\0 & 5 & 3 \end{vmatrix}+(-1)^{2+4}\cdot 3\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}

=-1 \cdot (-1)^{2+3}\cdot 5\begin{vmatrix} 4 & 3\\2 & 1 \end{vmatrix}+3\cdot (-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 1 & 4\\1 & 2 \end{vmatrix}=5\cdot(-2)+3\cdot(-2)=-16

כללים לחישוב דטרמיננטים

אם אחת השורות/עמודות $0$ אזי הדטרמיננט $0$ .
הדטרמיננטה של מטריצה משולשת זו מכפלת איברי האלכסון.
$\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\2 & 3 & 0 & 0\\4 & 5 & 6 & 0\\ 7 & 8 & 9 & 10\end{vmatrix}=1 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 10$
אם מחליפים שתי שורות/עמודות זו בזו סימן הדטרמיננט מתהפך.
דוגמה:
$\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=1 \qquad \begin{vmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}=-1$
אם יש שתי שורות/עמודות זהות הדטרמיננט הוא $0$ .
נסמן: $|A|=m$ כעת, נחליף את השורות הזהות ונקבל: $|A|=-m$ ולכן: $m=-m$ ⇐ $m=0$ .
ניתן להוציא גורם משותף משורה/עמודה של המטריצה.
מסקנה: $|\alpha A|=\alpha^n|A|$ .
אם יש שתי שורות/עמודות שאחת היא כפולה של השנייה, הדטרמיננט אפס.
נראה כי:
$\begin{vmatrix}1+2 & 3+4 & 5+6 \\ 1 & 0 & 9\\10 & -1 & 11\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 3 & 5\\1 & 0 & 9\\10 & -1 & 11\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & 4 & 6\\1 & 0 & 9\\10 & -1 & 11\end{vmatrix}=\dots$
אם מוסיפים לשורה/עמודה כפולה של שורה/עמודה אחרת הדטרמיננט לא משתנה.
$\begin{vmatrix}R_{1}\\R_{2}\\\vdots\\R_{i}+\alpha R_{j}\\ \vdots\\ R_{j}\\ \vdots \\ R_{n}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}R_{1}\\R_{2}\\ \vdots\\ R_{i} \\ \vdots \\ R_{j}\\ \vdots \\ R_{n}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}R_{1}\\R_{2}\\ \vdots \\ \alpha R_{j} \\ \vdots\\ R_{j}\\ \vdots\\ R_{n}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}R_{1}\\R_{2}\\ \vdots\\ R_{i} \\ \vdots \\ R_{j}\\ \vdots \\ R_{n}\end{vmatrix}$

מסקנה

יהיו $A,B$ ריבועיות שקולות שורה

|B|=0 \iff |A|=0

הוכחה:

רורב

∎

הערה

פעולות הדירוג משנות את הדטרמיננט עד כדי כפל בסקלר.

משפט

|A|\neq 0 \iff \R{\text{ הפיכה}} A

הוכחה:
נסמן ב- $B$ את המטריצה המדורגת הקנונית המתאימה ל- $A$ .
⇐: אם $A$ הפיכה, אזי $B=I$ . כלומר $|B|=|I|\neq 0$ ולפי המסקנה, $|A|\neq 0$ .
⇒: אם $A$ לא הפיכה אזי $r(A)<n$ ולכן ב- $B$ יש לפחות שורת אפסים אחת. זאת אומרת, $|B|= 0$ ולכן נקבל כי $|A|=0$ (לפי המסקנה)
∎

משפט

כל ההבאים שקולים. תהא $A$ מטריצה מספר $n\times n$ .

$A$ הפיכה.
מתקיים $|A|\neq 0$ .
שורות/עמודות $A$ בת"ל/פורשות את $\mathbb{F}^n$ /בסיס
מתקיים $r(A)=n$ .
$A$ מכפלת מטריצות אלמנטריות
המדורגת הקנונית של $A$ היא $I$ .
לכל $\underline{b} \in \mathbb{F}^n$ קיים פתרון יחיד ל- $A\underline{x}=\underline{b}$ .
$A$ מייצגת ט"ל הפיכה ( $T(\underline{v})=A\underline{v}$ )

משפט

יהיו $A,B \in \mathbb{F}^{n\times n}$ אזי $|AB|=|A||B|$ .

הוכחה של החברה:
אם $A$ או $B$ איננה הפיכה, אזי ברור ש- $|AB|=|A||B|=0$ (כי אז גם $AB$ איננה הפיכה)
אם $A$ הפיכה אזי היא ניתנת להצגה כמכפלת אלמנטריות $A=E_{k}\dots E_{1}$ וצריך להראות באינדוקציה כי:

|E_{k}\dots E_{1} \cdot B|=|B\cdot E_{k}\dots E_{1}|

דוגמה

$E_{1}$ - החפת שורה

|E_{1}\cdot B|=-|B|

|E_{1}||B|=(-1)|B|=-|B|

מסקנה

אם $A$ הפיכה, אזי $|A^{-1}|=|A|^{-1}=\frac{1}{|A|}$ .

הוכחה:

רורב

∎

|I|=|A^{-1}\cdot A|=|A^{-1}||A|

|A^{-1}|=|A|^{-1}

מסקנה (מהמסקנה)

|A|=|B| \impliedby A \sim B

הוכחה:
אם $A \sim B$ אזי קיימת $P$ הפיכה כך ש- $B=P^{-1}AP$ .

|B|=|P^{-1}AP|=|P^{-1}||A||P|=|P|^{-1}|A||P|=|A|

∎

דוגמה

\begin{vmatrix} 3 & -1 & -4 & 2\\2 & 3 & -2 & -4 \\ 2 & -1 & -3 & 2\\1 & 2 & -1 & -3 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & -3 \\ 2 & 3 & -2 & -4 \\ 2 & -1 & -3 & 2 \\ 3 & -1 & -4 & 2 \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ R_{2}-2R_{1}\to R_{1} \\ R_{3}-2R_{1}\to R_{3} \\ R_{4}-3R_{1}\to R_{4} \end{matrix}}{=} -\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1& -3 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & -5 & -1 & 8 \\ 0 & -7 & -1 & 11 \end{vmatrix}

\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ R_{3}-5R_{2}\to R_{3} \\ R_{4}-7R_{2}\to R_{4} \end{matrix}}{=}-\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ R_{4}-R_{3}\to R_{4} \end{matrix}}{=}-\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}=1

תרגיל

נתונה $\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\k&\ell&m\end{vmatrix}=4$ .
עבור אילו ערכי $t$ מתקיים:

36=\begin{vmatrix} e-tb & d-ta & f-tc \\ t^2b & t^2a & t^2c \\ \ell+te & k+td & m+tf \end{vmatrix}

=\begin{vmatrix} e & d & f \\ t^2b & t^2a & t^2c \\ \ell+te & k+td & m+tf \end{vmatrix}+\underbrace{\begin{vmatrix} -tb & -ta & -tc \\ t^2b & t^2a & t^2c \\ \ell+te & k+td & m+tf \end{vmatrix}}_{0}=\begin{vmatrix} e & d & f \\ t^2b & t^2a & t^2c \\ \ell & k & m \end{vmatrix}+\underbrace{\begin{vmatrix} e & d & f \\ t^2b & t^2a & t^2c \\ te & td & tf \end{vmatrix}}_{0}

=t^2\begin{vmatrix} e & d & f \\ b & a & c \\ \ell & k & m \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C_{1} \leftrightarrow C_{2} \end{matrix}}{=}-t^2\begin{vmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ k & \ell & m \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ R_{1}\leftrightarrow R_{2} \end{matrix}}{=}t^2 \underbrace{\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ k & \ell & m \end{vmatrix}}_{4}=4t^2

\Downarrow

4t^2=36 \implies t=\pm3

סיפורים ליום שלישי

|\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}|=2

\begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{vmatrix}=1\cdot 4-2\cdot 3

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}= 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=1 \cdot (45-48)-2\cdot (36-42)+3 \cdot (32-35)=0

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})

-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}

-a_{13}a_{22}a_{31}

דדרמיננט זה אוסף כל התמורות מ- $1$ עד $n$ ל- $1$ עד $n$ . הסימני מינוס נבין באלגברה מודרנית וממש צריך להיכנס לתוך זה.

\left\{ 1,2,3 \right\}\xrightarrow{\quad \sigma \quad}\left\{ 1,2,3 \right\}

הדטרמיננטה

הגדרה 1 (מינור)

לדדרמיננט של המטריצה הנוצרת ע"י מחיקת שורה $i$ ועמודה $j$ קוראים המינור ה- $i,j$ ומסמנים $M_{i,j}$ .

הערה

ראינו אם כן כי אם $n=2$ אזי $|A|=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}$ ול- $n=3$ מתקיים $|A|=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}$ .

הגדרה 2 (דטרמיננטה)

עבור מטריצה $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$ נגדיר את הדטרמיננטה של מטריצה $A$ ע"י:
$\quad$ א. אם $n=1$ אזי $|(a)|=a$ .
$\quad$ ב. אחרת:

|A|=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+\dots+(-1)^{1+n}a_{1n}M_{1n}

משפט

ניתן להגדיר דטרמיננט לפי שורה כלשהי $i$ .

|A|=(-1)^{i+1}a_{i1}M_{i1}+(-1)^{i+2}a_{i2}M_{i2}+\dots+(-1)^{i+n}a_{in}M_{in}

ובאופן דומה ניתן להראות משפט כאשר המאפשר לפתוח דטרמיננט לפי כל עמודה $j$ .

מסקנה

|A|=|A^t|

דוגמה

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0 & 3\\1 & 0 & 0 & 3\\1 & 2 & 0 & 1\\1 & 0 & 5 & 3 \end{vmatrix}=(-1)^{2+1}\cdot 1\begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 1\\0 & 5 & 3 \end{vmatrix}+(-1)^{2+4}\cdot 3\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}

=-1 \cdot (-1)^{2+3}\cdot 5\begin{vmatrix} 4 & 3\\2 & 1 \end{vmatrix}+3\cdot (-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 1 & 4\\1 & 2 \end{vmatrix}=5\cdot(-2)+3\cdot(-2)=-16

כללים לחישוב דטרמיננטים

אם אחת השורות/עמודות $0$ אזי הדטרמיננט $0$ .
הדטרמיננטה של מטריצה משולשת זו מכפלת איברי האלכסון.
$\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\2 & 3 & 0 & 0\\4 & 5 & 6 & 0\\ 7 & 8 & 9 & 10\end{vmatrix}=1 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 10$
אם מחליפים שתי שורות/עמודות זו בזו סימן הדטרמיננט מתהפך.
דוגמה:
$\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=1 \qquad \begin{vmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}=-1$
אם יש שתי שורות/עמודות זהות הדטרמיננט הוא $0$ .
נסמן: $|A|=m$ כעת, נחליף את השורות הזהות ונקבל: $|A|=-m$ ולכן: $m=-m$ ⇐ $m=0$ .
ניתן להוציא גורם משותף משורה/עמודה של המטריצה.
מסקנה: $|\alpha A|=\alpha^n|A|$ .
אם יש שתי שורות/עמודות שאחת היא כפולה של השנייה, הדטרמיננט אפס.
נראה כי:
$\begin{vmatrix}1+2 & 3+4 & 5+6 \\ 1 & 0 & 9\\10 & -1 & 11\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 3 & 5\\1 & 0 & 9\\10 & -1 & 11\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & 4 & 6\\1 & 0 & 9\\10 & -1 & 11\end{vmatrix}=\dots$
אם מוסיפים לשורה/עמודה כפולה של שורה/עמודה אחרת הדטרמיננט לא משתנה.
$\begin{vmatrix}R_{1}\\R_{2}\\\vdots\\R_{i}+\alpha R_{j}\\ \vdots\\ R_{j}\\ \vdots \\ R_{n}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}R_{1}\\R_{2}\\ \vdots\\ R_{i} \\ \vdots \\ R_{j}\\ \vdots \\ R_{n}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}R_{1}\\R_{2}\\ \vdots \\ \alpha R_{j} \\ \vdots\\ R_{j}\\ \vdots\\ R_{n}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}R_{1}\\R_{2}\\ \vdots\\ R_{i} \\ \vdots \\ R_{j}\\ \vdots \\ R_{n}\end{vmatrix}$

מסקנה

יהיו $A,B$ ריבועיות שקולות שורה

|B|=0 \iff |A|=0

הוכחה:

רורב

∎

הערה

פעולות הדירוג משנות את הדטרמיננט עד כדי כפל בסקלר.

משפט

|A|\neq 0 \iff \R{\text{ הפיכה}} A

משפט

כל ההבאים שקולים. תהא $A$ מטריצה מספר $n\times n$ .

$A$ הפיכה.
מתקיים $|A|\neq 0$ .
שורות/עמודות $A$ בת"ל/פורשות את $\mathbb{F}^n$ /בסיס
מתקיים $r(A)=n$ .
$A$ מכפלת מטריצות אלמנטריות
המדורגת הקנונית של $A$ היא $I$ .
לכל $\underline{b} \in \mathbb{F}^n$ קיים פתרון יחיד ל- $A\underline{x}=\underline{b}$ .
$A$ מייצגת ט"ל הפיכה ( $T(\underline{v})=A\underline{v}$ )

משפט

יהיו $A,B \in \mathbb{F}^{n\times n}$ אזי $|AB|=|A||B|$ .

|E_{k}\dots E_{1} \cdot B|=|B\cdot E_{k}\dots E_{1}|

דוגמה

$E_{1}$ - החפת שורה

|E_{1}\cdot B|=-|B|

|E_{1}||B|=(-1)|B|=-|B|

מסקנה

אם $A$ הפיכה, אזי $|A^{-1}|=|A|^{-1}=\frac{1}{|A|}$ .

הוכחה:

רורב

∎

|I|=|A^{-1}\cdot A|=|A^{-1}||A|

|A^{-1}|=|A|^{-1}

מסקנה (מהמסקנה)

|A|=|B| \impliedby A \sim B

הוכחה:
אם $A \sim B$ אזי קיימת $P$ הפיכה כך ש- $B=P^{-1}AP$ .

|B|=|P^{-1}AP|=|P^{-1}||A||P|=|P|^{-1}|A||P|=|A|

∎

דוגמה

\begin{vmatrix} 3 & -1 & -4 & 2\\2 & 3 & -2 & -4 \\ 2 & -1 & -3 & 2\\1 & 2 & -1 & -3 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & -3 \\ 2 & 3 & -2 & -4 \\ 2 & -1 & -3 & 2 \\ 3 & -1 & -4 & 2 \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ R_{2}-2R_{1}\to R_{1} \\ R_{3}-2R_{1}\to R_{3} \\ R_{4}-3R_{1}\to R_{4} \end{matrix}}{=} -\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1& -3 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & -5 & -1 & 8 \\ 0 & -7 & -1 & 11 \end{vmatrix}

\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ R_{3}-5R_{2}\to R_{3} \\ R_{4}-7R_{2}\to R_{4} \end{matrix}}{=}-\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ R_{4}-R_{3}\to R_{4} \end{matrix}}{=}-\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}=1

תרגיל

נתונה $\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\k&\ell&m\end{vmatrix}=4$ .
עבור אילו ערכי $t$ מתקיים:

36=\begin{vmatrix} e-tb & d-ta & f-tc \\ t^2b & t^2a & t^2c \\ \ell+te & k+td & m+tf \end{vmatrix}

=\begin{vmatrix} e & d & f \\ t^2b & t^2a & t^2c \\ \ell+te & k+td & m+tf \end{vmatrix}+\underbrace{\begin{vmatrix} -tb & -ta & -tc \\ t^2b & t^2a & t^2c \\ \ell+te & k+td & m+tf \end{vmatrix}}_{0}=\begin{vmatrix} e & d & f \\ t^2b & t^2a & t^2c \\ \ell & k & m \end{vmatrix}+\underbrace{\begin{vmatrix} e & d & f \\ t^2b & t^2a & t^2c \\ te & td & tf \end{vmatrix}}_{0}

=t^2\begin{vmatrix} e & d & f \\ b & a & c \\ \ell & k & m \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ C_{1} \leftrightarrow C_{2} \end{matrix}}{=}-t^2\begin{vmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ k & \ell & m \end{vmatrix}\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ R_{1}\leftrightarrow R_{2} \end{matrix}}{=}t^2 \underbrace{\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ k & \ell & m \end{vmatrix}}_{4}=4t^2

\Downarrow

4t^2=36 \implies t=\pm3

11 - דטרמיננטים

אלגברה אמ

דטרמיננטים

11 - דטרמיננטים

אלגברה אמ

דטרמיננטים

סיפורים ליום שלישי

הדטרמיננטה

כללים לחישוב דטרמיננטים

סיפורים ליום שלישי

הדטרמיננטה

כללים לחישוב דטרמיננטים