0 - מרוכבים — אלגברה אמ | תיקיית הסיכומים

הגדרה 1 (שורש יחידה)

שורש יחידה מסדר $n$ של המספר $1 \in \mathbb{C}$ הינו מספר מרוכב $w \in \mathbb{C}$ כך ש- $w^n=1$ .

תרגיל

מצאו את כל שורשי היחידה מסדר 6.

נפתור את המשוואה:

z^6=1 \implies z_{k}=cis\left( \frac{0+360k}{6} \right)=cis(60k)

cis0=1

cis60 = \cos 60+i\sin 60 = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}i

cis120 = \cos120 + i\sin 120=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}i

cis 180=\cos 180+i \sin 180=-1

cis 240 = \cos 240 +i\sin 240 = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}i

cis300= \cos 300 + i\sin 300 = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}i

ניתן לראות כי אם נחבר את כל שורשי היחידה שמצאנו נקבל $0$ .

טענה

סכום שורשי היחידה מסדר $n$ הינו 0

הוכחה:
נפתור את המשוואה $z^n=1$

z_{k}=\sqrt[n]{1}cis\left( \frac{0+360k}{n} \right)=cis\left( \frac{360k}{n} \right)=(cis\left( \frac{360}{n} \right))^k

השלב האחרון הוא על פי דה מאובר( $(rcis \theta)^k=r^kcis(k\theta)$ )

k=0,1,\dots,n-1

נסמן: $\alpha=cis\left( \frac{360}{n} \right)$ כאשר השורשים שלנו הם $\alpha^0,\alpha,\dots,a^{n-1}=1,\alpha,\dots,a^{n-1}$
כך, על פי סכום סדרה גיאומטרית:

S_{n}=a_{1} \frac{q^n-1}{q-1}=1 \frac{\alpha^n-1}{\alpha-1}

מכיוון ש- $\alpha$ מקיימת את המשוואה ההתחלתית, במונה יש לנו $1-1$ ולכן:

S_{n}=0

זה נכון רק לכל $n>1$ .
‎∎

הגדרה 1 (שורש יחידה)

שורש יחידה מסדר $n$ של המספר $1 \in \mathbb{C}$ הינו מספר מרוכב $w \in \mathbb{C}$ כך ש- $w^n=1$ .

תרגיל

מצאו את כל שורשי היחידה מסדר 6.

נפתור את המשוואה:

z^6=1 \implies z_{k}=cis\left( \frac{0+360k}{6} \right)=cis(60k)

cis0=1

cis60 = \cos 60+i\sin 60 = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}i

cis120 = \cos120 + i\sin 120=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}i

cis 180=\cos 180+i \sin 180=-1

cis 240 = \cos 240 +i\sin 240 = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}i

cis300= \cos 300 + i\sin 300 = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}i

ניתן לראות כי אם נחבר את כל שורשי היחידה שמצאנו נקבל $0$ .

טענה

סכום שורשי היחידה מסדר $n$ הינו 0

הוכחה:
נפתור את המשוואה $z^n=1$

z_{k}=\sqrt[n]{1}cis\left( \frac{0+360k}{n} \right)=cis\left( \frac{360k}{n} \right)=(cis\left( \frac{360}{n} \right))^k

השלב האחרון הוא על פי דה מאובר( $(rcis \theta)^k=r^kcis(k\theta)$ )

k=0,1,\dots,n-1

נסמן: $\alpha=cis\left( \frac{360}{n} \right)$ כאשר השורשים שלנו הם $\alpha^0,\alpha,\dots,a^{n-1}=1,\alpha,\dots,a^{n-1}$
כך, על פי סכום סדרה גיאומטרית:

S_{n}=a_{1} \frac{q^n-1}{q-1}=1 \frac{\alpha^n-1}{\alpha-1}

מכיוון ש- $\alpha$ מקיימת את המשוואה ההתחלתית, במונה יש לנו $1-1$ ולכן:

S_{n}=0

זה נכון רק לכל $n>1$ .
‎∎