הוכחה:
נניח בשלילה כי ניתן לסדר את כל האיברים ב-$[0,1]$ כסדרה. נסמנה $X_{n}$.
נחלק את הקטע לשלושה קטעים שווים באורכם.

נתבונן ב-$X_{1}$. קיים לפחות קטע אחד ששם $X_{1}$ אינו נמצא. נסמנו $[a_{1},b_{1}]$.
נחלק את הקטע שוב לשלושה חלקים שווים. $X_{2}$ לא נמצא בלפחות אחד מהקטעים. נסמנו $[a_{2},b_{2}]$.
נמשיך לחלק את הקטעים עד לקטע $[a_{n},b_{n}]$ ונאמר ש-$X_{n}$ לא מצא שם.
נחלק את הקטע שוב לשלושה קטעים ו-$X_{n+1}$ לא נמצא באחד משלושתם. נסמנו $[a_{n+1},b_{n+1}]$.
בנינו סדרת קטעים. כעת נראה כי הקטעים מקיימים את הלמה של קנטור.
כל קטע מוכל בקודמו.
כל קטע מהצורה $[a_{n},b_{n}]$ אורכו הוא $\frac{1}{3^n}\longrightarrow 0$.
לפי הלמה של קנטור יש נקודה $c$ אחת המשותפת לכל הקטעים שמקיימת $c \in[0,1]$ אבל לפי הבניה $c \not\in X_{n}$ - סתירה.
∎

הוכחה: (א)
נניח בשלילה כי $a_{n}$ אינה חסומה. נניח בה"כ ש-$a_{n}$ אינה חסומה מלמעלה ולכן, לפי משפט קיימת לה תת סדרה $a_{m_{k}}\underset{k\to \infty}{\longrightarrow} \infty$.
לפי חשבון גבולות מורחב: $b_{n_{k}}=a_{n_{k}}(a_{n_{k}}-2)\underset{k\to \infty}{\longrightarrow}\infty \cdot \infty=\infty$ מה שעומד בסתירה לכך ש-$b_{n}$ מתכנסת.
לכן, $a_{n}$ חסומה.
∎

הוכחה: (ב)
הסדרה $b_{n}$ מתכנסת ולכן לפי סעיף א', $a_{n}$ חסומה ולכן, לפי $BW$ יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמנה: $a_{n_{k}}\underset{k\to \infty}{\longrightarrow}L$.
לפי חשבון גבולות, $b_{n_{k}}=a_{n_{k}}(a_{n_{k}}-2)\underset{k\to \infty}{\longrightarrow}L(L-2)$ ולכן: $L(L-2)=3$

הסדרה $b_{n}$ מתכנסת ולכן כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו גבול.
מסקנה: אם $a_{n}$ מתכנסת אז היא מתכנסת ל-3 או ל-$-1$ ואם לא מתכנסת הג"ח שלה הם $-1,3$.
∎

רעיון ההוכחה:
​
מכיוון שיש שתי ג"חים, אזי לכל איבר $a_{n}$ שנקח אשר נמצא בסביבה של 1, יהיה איבר $a_{k}$ כאשר $k>n$ כך שהוא יהיה בסביבה של $-1$ כדי שהת"ס יתכנסו לשני גבולות שונים.
לכן, מכיוון שהמרחק בין כל שני איברים בסדרה אינו גדול מ-1, אזי כדי להגיע מהאיזור של -1 לאיזור 1 צריך לעבור במרכז, בתוך האיזור התחום בסוגריים.
לכן, יש $\infty$ איברים באזור זה ולכן יש גם שם ג"ח.

הוכחה:
נרצה להראות כי בקטע $[-1-\epsilon,1+\epsilon]$ יש $\infty$ מאיברי הסדרה לערך מתאים של $\epsilon$.
נבחר למשל $\epsilon=\frac{1}{4}$. כלומר, נרצה להראות שבקטע $\left[ -\frac{3}{4}, \frac{3}{4} \right]$ יש $\infty$ מאיברי הסדרה.
${\color{gray}\R{\text{ זה יוכיח את מה שאנו רוצים מכיוון שאם בקטע יש אינסוך מאיברי הסדרה, זוהי בדיוק הגדרת הגבול לתת הסדרה של כל האיברים הללו}}}$
נניח בשלילה כי אין. כך יש בקטע מספר סופי של איברים. לכן, לכל $n>N$ מתקיים: $a_{n}> \frac{3}{4}$ או $a_{n}<-\frac{3}{4}$.
נתון כי $1$ ו-$-1$ הינם ג"ח ולכן, לפי משפט, יש $\infty$ מאיברי הסדרה ב-$\left( 1-\frac{1}{4},1+\frac{1}{4} \right)$ וגם ב-$\left( -1-\frac{1}{4},-1+\frac{1}{4} \right)$.
אין דרכים עם $n>N$ שעבורם $a_{n}> \frac{3}{4}$ וגם $a_{n}< -\frac{3}{4}$ ולכן קיים $n_{0}>N$ שעבורו $a_{n_{0}}< -\frac{3}{4}$ וגם $a_{n_{0+1}}> \frac{3}{4}$.
נקבל: $|a_{n+1}-a_{n_{0}}|>1$ בסתירה לנתון.
כלומר, יש $\infty$ מאיברי הסדרה בקטע $\left[ -\frac{3}{4}, \frac{3}{4} \right]$.
נסדר $\infty$ איברים אלו בסדר אינדקסים עולה ונסמנם $a_{n_{k}}$. אנו יודעים כי: $-\frac{3}{4}\leq a_{n_{k}}\leq \frac{3}{4}$.
כלומר, $a_{n_{k}}$ חסומה ולכן לפי $BW$ יש לה ת"ס מתכנסת $a_{n_{k_{j}}}\underset{j\to \infty}{\longrightarrow}L$.
לפי תכונות סדר גבולות: $-\frac{3}{4}\leq L\leq \frac{3}{4}$ ומצאנו ג"ח נוסף כנדרש.
∎