חזור לתיקייה: תרגול

5 - שלילת הגדרת הגבול ואריתמטיקה

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • שלילת ההגדרה
  • אריטמתיקה
  • תכונות הסדר של גבולות
  • חשבון גבולות(אריתמטיקה של גבולות)

5 - שלילת הגדרת הגבול ואריתמטיקה

01040031

חשבון אינפיניטסימלי 1מ'

רשימות תרגול לקריאה בשבת

שלילת הגדרת הגבול ואריתמטיקה

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

שלילת ההגדרה

תרגיל

הראו בעזרת הגדרת הגבול כי הגבול של הסדרה an=na_{n}=\sqrt{ n }an​=n​ לא קיים.

הוכחה:

∣n−L∣|\sqrt{ n }-L|∣n​−L∣

אם L≤0L\leq 0L≤0 אזי לכל n>Nn>Nn>N(N≥1N\geq 1N≥1):

∣n−L∣=n−L>1|\sqrt{ n }-L|=\sqrt{ n }-L> 1∣n​−L∣=n​−L>1

אם L>0L>0L>0 אזי, אם נקח N=(L+1)2N=(L+1)^2N=(L+1)2 אז לכל n>Nn>Nn>N מתקיים n>L\sqrt{ n }>Ln​>L:

∣n−L∣=n−L>N−L=(L+1)2−L=1|\sqrt{ n }-L|=\sqrt{ n }-L>\sqrt{ N }-L=\sqrt{ (L+1)^2 }-L=1∣n​−L∣=n​−L>N​−L=(L+1)2​−L=1

עבור ε=1\epsilon=1ε=1 קיבלו כי

∣n−L∣≥1|\sqrt{ n }-L|\geq 1∣n​−L∣≥1

החל ממקום מסויים.
‎∎

אריטמתיקה

תכונות הסדר של גבולות

an<bna_{n}< b_{n}an​<bn​

כאשר lim⁡n→∞an=L,lim⁡n→∞bn=K\lim_{ n \to \infty }a_{n}=L,\lim_{ n \to \infty }b_{n}=Klimn→∞​an​=L,limn→∞​bn​=K אזי:

L≤KL\leq KL≤K

על פי תכונת הסדר של גבולות אנו יודעים כי lim⁡n→∞an=7\lim_{ n \to \infty }a_{n}=7limn→∞​an​=7 אז קיים NNN כך שלכל n>Nn>Nn>N מתקיים: 6<an<86<a_{n}<86<an​<8.

חשבון גבולות(אריתמטיקה של גבולות)

lim⁡n→∞an=Llim⁡n→∞bn=K\lim_{ n \to \infty } a_{n}=L \qquad \lim_{ n \to \infty } b_{n}=Kn→∞lim​an​=Ln→∞lim​bn​=K lim⁡n→∞an±bn=L±K\lim_{ n \to \infty } a_{n}\pm b_{n}=L\pm Kn→∞lim​an​±bn​=L±K lim⁡n→∞anbn=LK,k≠0\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{L}{K}, \quad k\neq 0n→∞lim​bn​an​​=KL​,k=0 lim⁡n→∞anbn=L⋅K\lim_{ n \to \infty } a_{n}b_{n}=L\cdot Kn→∞lim​an​bn​=L⋅K lim⁡n→∞αan=αL\lim_{ n \to \infty } \alpha a_{n}=\alpha Ln→∞lim​αan​=αL
תרגיל (נכון/לא נכון)

  1. lim⁡n→∞an=12  ⟹  lim⁡n→∞(an−[an])=12\lim_{ n \to \infty } a_{n}=\frac{1}{2} \implies \lim_{ n \to \infty } (a_{n}-[a_{n}])=\frac{1}{2}n→∞lim​an​=21​⟹n→∞lim​(an​−[an​])=21​
2. אם $a_{n},b_{n}$ שתי סדרות כך ש-$a_{n}$ אינה מתכנסת ו-$\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ אז $b_{n}$ אינה מתכנסת. 3. אם $\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}}{3}=0$ אז $\lim_{ n \to \infty }a_{n}=0$. 4. אם $\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{n}$ קיים וחיובי ממש, אז $\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ קיים. 5. אם $a_{n},b_{n}$ חסומות וגם $a_{n}^{b_{n}}$ מתכנסת אז לפחות אחת מהסדרות $a_{n},b_{n}$ חסומות. 6. תהי $a_{n}$ סדרה ונגדיר סדרה:

b_{n}= \frac{a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}}{n}

א. אם $b_{n}$ מתכנסת אז $a_{n}$ מתכנסת ב. אם $b_{n}$ מתכנסת אז $\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{n}=0$

הוכחה:
1️⃣: נתון לנו כי lim⁡n→∞an=12\lim_{ n \to \infty }a_{n}=\frac{1}{2}limn→∞​an​=21​ ⇐ לפי תכונות הסדר של גבולות קיים NNN כך שלכל n>Nn>Nn>N מתקיים: 0<an<10<a_{n}<10<an​<1 ⇐ [an]=0[a_{n}]=0[an​]=0 לכל n>Nn>Nn>N ⇐ lim⁡n→∞[an]=0\lim_{ n \to \infty }[a_{n}]=0limn→∞​[an​]=0 ואז לפי חשבון גבולות:

lim⁡n→∞(an−[an])=lim⁡n→∞an−lim⁡n→∞[an]=12−0=12\lim_{ n \to \infty } (a_{n}-[a_{n}])=\lim_{ n \to \infty } a_{n}-\lim_{ n \to \infty } [a_{n}]=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}n→∞lim​(an​−[an​])=n→∞lim​an​−n→∞lim​[an​]=21​−0=21​

2️⃣: נניח בשלילה כי bnb_{n}bn​ מתכנסת.

an=anbn⋅bna_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}\cdot b_{n}an​=bn​an​​⋅bn​

לפי חשבון גבולות:

lim⁡n→∞anbn⋅bn=lim⁡n→∞anbn⋅lim⁡n→∞bn=1⋅L  ⟹  lim⁡n→∞an=L\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}\cdot b_{n}=\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}\cdot \lim_{ n \to \infty } b_{n}=1\cdot L\implies \lim_{ n \to \infty } a_{n}=Ln→∞lim​bn​an​​⋅bn​=n→∞lim​bn​an​​⋅n→∞lim​bn​=1⋅L⟹n→∞lim​an​=L

בסתירה לנתון.
3️⃣: נראה דוגמה נגדית:

an={−1,1,0,−1,1,0,… }a_{n}=\{ -1,1,0,-1,1,0,\dots \}an​={−1,1,0,−1,1,0,…}

סכום כל שלושה איברים הינו 000 והסדרה אינה מתכנסת.
4️⃣:

anan+1=ann⋅nan+1⋅n+1n+1=ann⋅n+1an+1⋅nn+1\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n}}{n}\cdot \frac{n}{a_{n+1}}\cdot \frac{n+1}{n+1}= \frac{a_{n}}{n}\cdot \frac{n+1}{a_{n+1}}\cdot \frac{n}{n+1}an+1​an​​=nan​​⋅an+1​n​⋅n+1n+1​=nan​​⋅an+1​n+1​⋅n+1n​

נתון כי: lim⁡n→∞ann=L\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{n}=Llimn→∞​nan​​=L
בנוסף: lim⁡n→∞an+1n+1=L\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{n+1}=Llimn→∞​n+1an+1​​=L
בעזרת חשבון גבולות: lim⁡n→∞n+1an+1=1L\lim_{ n \to \infty } \frac{n+1}{a_{n+1}}=\frac{1}{L}limn→∞​an+1​n+1​=L1​
ובנוסף: lim⁡n→∞nn+1=lim⁡n→∞11+1n=1\lim_{ n \to \infty } \frac{n}{n+1}=\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{1+ \frac{1}{n}}=1limn→∞​n+1n​=limn→∞​1+n1​1​=1
ולכן: lim⁡n→∞ann⋅n+1an+1⋅nn+1=L⋅1L⋅1=1\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{n}\cdot \frac{n+1}{a_{n+1}}\cdot \frac{n}{n+1}=L \cdot \frac{1}{L}\cdot 1=1limn→∞​nan​​⋅an+1​n+1​⋅n+1n​=L⋅L1​⋅1=1
לכן, lim⁡n→∞ann\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}}{n}limn→∞​nan​​ קיים וחיובי. נסמן את הגבול ב-L>0L>0L>0.
5️⃣: נראה דוגמה נגדית:

an={2יגוז12יגוז-יא}bn={1יגוז−1יגוז-יאa_{n}=\left\{ \begin{matrix} 2 & \text{יגוז} \\ \frac{1}{2} & \text{יגוז-יא} \end{matrix} \right\} \qquad b_{n}=\begin{cases} 1 & \text{יגוז} \\ -1 & \text{יגוז-יא} \end{cases}an​={221​​יגוזיגוז-יא​}bn​={1−1​יגוזיגוז-יא​

שתיהן חסומות, ושתיהן לא מתכנסות למרות ש:

anbn={21יגוז2יגוז-יאa_{n}^{b_{n}}=\begin{cases} 2^1 & \text{יגוז} \\ 2 & \text{יגוז-יא} \end{cases}anbn​​={212​יגוזיגוז-יא​

6️⃣: א. נסתכל על דוגמה נגדית:

an=(−1)na_{n}=(-1)^nan​=(−1)n

במקרה שבו nnn זוגי, a1+⋯+an=0a_{1}+\dots+a_{n}=0a1​+⋯+an​=0 ⇐ 0n=0\frac{0}{n}=0n0​=0
במקרה שבו nnn אי-זוגי, a1+⋯+an=1a_{1}+\dots+a_{n}=1a1​+⋯+an​=1 ⇐ −1n→0-\frac{1}{n}\to 0−n1​→0.

ב.

ann=a1+a2+⋯+an−(a1+⋯+an−1)n=a1+⋯+ann−a1+⋯+an−1n−1⋅n−1n\frac{a_{n}}{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}-(a_{1}+\dots+a_{n-1})}{n}=\frac{a_{1}+\dots+a_{n}}{n}-\frac{a_{1}+\dots+a_{n-1}}{n-1}\cdot \frac{n-1}{n}nan​​=na1​+a2​+⋯+an​−(a1​+⋯+an−1​)​=na1​+⋯+an​​−n−1a1​+⋯+an−1​​⋅nn−1​ =bn−bn−1⋅n−1n=b_{n}-b_{n-1}\cdot \frac{n-1}{n}=bn​−bn−1​⋅nn−1​

הסדרה bnb_{n}bn​ מתכנסת. נסמן את הגבול ב-LLL. ולכן, גם bn−1b_{n-1}bn−1​ מתכנסת ל-LLL.

lim⁡n→∞bn−bn−1⋅(1−1n)=L−L⋅1=0\lim_{ n \to \infty } b_{n}-b_{n-1}\cdot \left( 1-\frac{1}{n} \right)=L-L\cdot 1=0n→∞lim​bn​−bn−1​⋅(1−n1​)=L−L⋅1=0

ולכן הטענה נכונה.
‎∎