אם $A \subseteq R$ לא ריקה וחסומה מלמעלה. קיים $\sup A$(אקסיומת השלמות).
לכל $\epsilon>0$ קיים $x \in A$ כך ש-$S-\epsilon<x$.

באופן דומה עבור $\inf$.

נסתכל על דוגמה נגדית:

לאור צפיפות הממשיים לכל $a \in A$ נוכל למצוא איבר גדול ממנו ב-$B$ אך הסופרמום שלהם זהה

גם לא נכון. נקח את:

הקבוצה אינסופית, אין לה מינימום אבל היא חסומה מלמטה

ל-$A \cap B$ אין מקסימום ולכן הטענה אינה נכונה.

הוכחה:
לפי תכונות הערך השלם:

נחלק ב-$n$ שכן הוא מספר חיובי.

קיבלנו כי $a_{n}\leq \sqrt{ 3 }$ משמע הוא חסם מלמעלה.(עדיין לא סופרמום)

יהי $\epsilon>0$, אם נבחר $n> \frac{1}{\epsilon}$ אז:

וזה בדיוק הנתון ש-$\sqrt{ 3 }$ הוא סופרמום.
מצאנו $\sqrt{ 3 }-\epsilon < a_{n}\leq \sqrt{ 3 }$.
‎∎

הוכחה:
לפי הגדרת הסופרום, קיים $a \in A$ כך ש:

לפי הנתון שקיים $\epsilon_{0}>0$ כך שלכל $a \in A$ קיים $b \in B$ כך ש-$a+\epsilon_{0}<b$ נקבל:

מכיוון ש-$b \in B$ על פי ההגדרה, $b \leq \sup B$ ולכן:

‎∎

הוכחה:

• כיוון ראשון: $A$ לא חסומה מלמעלה ⇐ לכל $\epsilon>0$ קיים $x \in A$ כך ש-$x>S+\epsilon$
  יהי $\epsilon>0$ נסמן $M=S+\epsilon$.
  לפי ההגדרה של קבוצה שאינה חסומה מלמעלה, קיים $x \in A$ כך ש-$x>M$.
  כלומר $x>S+\epsilon$.

• כיוון שני: לכל $\epsilon>0$ קיים $x \in A$ כך ש-$x>S+\epsilon$ ⇐ $A$ לא חסומה מלמעלה
  נניח בשלילה כי $A$ אכן חסומה מלמעלה.
  לפי אקסיומת השלמות, יש ל-$A$ סופרמום. נסמן: $\sup A$.
  אם $S\geq \sup A$ אז עבור $\epsilon>0$ לכל $x \in A$ מתקיים:

כך קיבלנו סתירה לנתון.
אם $S\leq \sup A$ אז לכל $\epsilon>0$ ובפרט ל-$\epsilon=\sup A-S>0$ נקבל כי לכל $x \in A$:

קיבלנו שוב סתירה לנתון.
ולכן, $A$ אינה חסומה מלמעלה.
‎∎