חזור לתיקייה: תרגול

24 - קמירות

חיפוש בתיקיה
Ctrl K
לחץ כאן או הקש Ctrl K כדי לחפש בכל התיקיה
  • כללי

24 - קמירות

01040031

חשבון אינפיניטסימלי 1מ'

רשימות תרגול לקריאה בשבת

קמירות

הופק מתוך תקיית התואר של שקד

uni-folder.vercel.app

הגדרה 1 (קמירות)

  1. fff קמורה בקטע אם כל מיתר המחבר שתי נקודות שעל הגרף נמצא כולו מעל הגרף
  2. fff קמורה ב-III אם לכל x,y∈Ix,y \in Ix,y∈I ולכל 0≤t≤10\leq t\leq10≤t≤1 מתקיים f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y).
משפט (למת המיתרים)

אם fff קמורה ב-(a,b)(a,b)(a,b) אז לכל a≤x1<x2<x3≤ba\leq x_{1}<x_{2}<x_{3}\leq ba≤x1​<x2​<x3​≤b מתקיים:

f(x2)−f(x1)x2−x1≤f(x3)−f(x1)x3−x1≤f(x3)−f(x2)x3−x2\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\leq \frac{f(x_{3})-f(x_{1})}{x_{3}-x_{1}}\leq \frac{f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}x2​−x1​f(x2​)−f(x1​)​≤x3​−x1​f(x3​)−f(x1​)​≤x3​−x2​f(x3​)−f(x2​)​
משפט

  1. אם fff קמורה ב-(a,b)(a,b)(a,b) אז fff רציפה ב-(a,b)(a,b)(a,b).
  2. אם fff גזירה ב-(a,b)(a,b)(a,b) אז fff קמורה   ⟺  \iff⟺ הנגזרת עולה.
  3. אם fff גזירה ב-(a,b)(a,b)(a,b) אז fff קמורה   ⟺  \iff⟺ הגרף בכל נקודה נמצא מעל המשיק.
  4. אם fff גזירה פעמיים אז fff קמורה f′′≥0  ⟺  f''\geq 0 \ifff′′≥0⟺.
תרגיל

תהא f:[a,b]→?f:[a,b]\to?f:[a,b]→? פונקציה קעורה. נתון ש-fff גזירה ב-(a,b)(a,b)(a,b).
יהי x0∈(a,b)x_{0}\in(a,b)x0​∈(a,b) כך ש-f′(x0)=0f'(x_{0})=0f′(x0​)=0.

א. הוכיחו כי x0x_{0}x0​ נקודת מקסימום מקומי.
ב. נתון ש-fff קעורה ממש. הוכיחו כי x0x_{0}x0​ יחידה.

הוכחה: (א')
מהנתון ש-fff קעורה וגזירה, נקבל שהנגזרת מונוטונית יורדת. לכן, לכל a<x1<x0<x2<ba<x_{1}<x_{0}<x_{2}<ba<x1​<x0​<x2​<b מתקיים:

f′(x1)≥f′(x0)≥f′(x2)f'(x_{1})\geq f'(x_{0})\geq f'(x_{2})f′(x1​)≥f′(x0​)≥f′(x2​)

נתון כי f′(x0)=0f'(x_{0})=0f′(x0​)=0 ולכן: f′(x1)≥0≥f′(x2)f'(x_{1})\geq{0}\geq f'(x_{2})f′(x1​)≥0≥f′(x2​). כלומר, הנגזרת מחליפה סימן ב-x0x_{0}x0​ מחיובי לשלילי ולכן, לפי מבחן הנגזרת ה-I\mathrm{I}I, x0x_{0}x0​ היא נקודת מקסימום מקומי.

הערה

אם מתקיים השוויון אז fff קעורה בין x1x_{1}x1​ ל-x2x_{2}x2​ ולכן x0x_{0}x0​ מקסימום מקומי.

∎

הוכחה: (ב')
נניח בשלילה כי קיים x1≠x0x_{1}\neq x_{0}x1​=x0​ שהוא נקודת מקסימום מקומי. לכן, לפי משפט פרמה, f′(x1)=0f'(x_{1})=0f′(x1​)=0. מהנתון ש-fff קעורה ממש וגזירה זה גורר ש-f′f'f′ מונוטונית יורדת ממש. נניח x0<x1x_{0}<x_{1}x0​<x1​ ואז תהי x0<x<x1x_{0}<x<x_{1}x0​<x<x1​ ואז:

0=f′(x0)>f′(x)>f′(x1)=00=f'(x_{0})>f'(x)>f'(x_{1})=00=f′(x0​)>f′(x)>f′(x1​)=0

סתירה ולכן x0x_{0}x0​ יחידה.
∎

תרגיל

תהי f:R→Rf:\mathbb{R}\to \mathbb{R}f:R→R פונקציה קמורה. הוכיחו:
א. אם קיימים x1<x2x_{1}<x_{2}x1​<x2​ שעבורם מתקיים f(x1)<f(x2)f(x_{1})<f(x_{2})f(x1​)<f(x2​) אז lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{ x \to \infty }f(x)=\inftylimx→∞​f(x)=∞.
ב. אם קיימים x1<x2x_{1}<x_{2}x1​<x2​ שעבורם מתקיים f(x1)>f(x2)f(x_{1})>f(x_{2})f(x1​)>f(x2​) אז lim⁡x→−∞f(x)=∞\lim_{ x \to -\infty }f(x)=\inftylimx→−∞​f(x)=∞.
ג. אם lim⁡x→∞f(x)\lim_{ x \to \infty }f(x)limx→∞​f(x) קיים וגם fff אינה קבועה אז lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{ x \to \infty }f(x)=\inftylimx→∞​f(x)=∞.
ד. אם lim⁡x→−∞f(x)\lim_{ x \to -\infty }f(x)limx→−∞​f(x) ו-lim⁡x→∞f(x)\lim_{ x \to \infty }f(x)limx→∞​f(x) קיימים אז fff קבועה.

הוכחה: (א')
תהי xxx כך ש-x1<x2<xx_{1}<x_{2}<xx1​<x2​<x. fff קמורה ולכן לפי למת המיתרים:

0<↓נתון:f(x1)<f(x2)f(x2)−f(x1)x2−x1≤f(x)−f(x1)x−x1≤f(x)−f(x2)x−x20 \underset{\begin{matrix} \downarrow \\ \R{\text{נתון:}} \\ f(x_{1})<f(x_{2}) \end{matrix}}{<} \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\leq \frac{f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}}\leq \frac{f(x)-f(x_{2})}{x-x_{2}}0↓נתון:f(x1​)<f(x2​)​<​x2​−x1​f(x2​)−f(x1​)​≤x−x1​f(x)−f(x1​)​≤x−x2​f(x)−f(x2​)​ f(x)≥f(x1)+(x−x1)f(x2)−f(x1)x2−x1⟶x→∞∞f(x)\geq f(x_{1})+(x-x_{1}) \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \underset{x\to \infty}{\longrightarrow} \inftyf(x)≥f(x1​)+(x−x1​)x2​−x1​f(x2​)−f(x1​)​x→∞⟶​∞

לפי חשבון גבולות מורחב. ולכן, לפי פיצה, lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{ x \to \infty }f(x)=\inftylimx→∞​f(x)=∞.
∎

הוכחה: (ב')
תהי xxx כך ש-x<x1<x2x<x_{1}<x_{2}x<x1​<x2​. fff קמורה ולכן לפי למת המיתרים:

f(x1)−f(x)x1−x≤f(x2)−f(x)x2−x≤f(x2)−f(x1)x2−x1<0\frac{f(x_{1})-f(x)}{x_{1}-x}\leq \frac{f(x_{2})-f(x)}{x_{2}-x}\leq \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}<0x1​−xf(x1​)−f(x)​≤x2​−xf(x2​)−f(x)​≤x2​−x1​f(x2​)−f(x1​)​<0 −f(x)≤−f(x2)+(x2−x)f(x2)−f(x1)x2−x1-f(x)\leq-f(x_{2})+(x_{2}-x) \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}−f(x)≤−f(x2​)+(x2​−x)x2​−x1​f(x2​)−f(x1​)​ f(x)≥f(x2)+(x−x2)f(x2)−f(x1)x2−x1⟶x→−∞∞f(x)\geq f(x_{2})+(x-x_{2}) \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \underset{x\to-\infty}{\longrightarrow} \inftyf(x)≥f(x2​)+(x−x2​)x2​−x1​f(x2​)−f(x1​)​x→−∞⟶​∞

ולכן, לפי פיצה lim⁡x→−∞f(x)=∞\lim_{ x \to -\infty }f(x)=\inftylimx→−∞​f(x)=∞.
∎

תרגיל

א. תהא f:R→Rf:\mathbb{R}\to \mathbb{R}f:R→R קמורה וחסומה. הוכיחו כי fff קבועה.
ב. הראו שהטענה לא נכונה עבור f:(a,∞)→Rf:(a,\infty)\to \mathbb{R}f:(a,∞)→R קמורה וחסומה.

הוכחה: (א')
נניח כי fff אינה קבועה. לכן קיימים a,ba,ba,b (נניח a<ba<ba<b) כך ש-f(a)≠f(b)f(a)\neq f(b)f(a)=f(b)
יהי x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R כך ש-a<b<xa<b<xa<b<x. לפי הגדרת קמירות, לכל t∈[0,1]t \in[0,1]t∈[0,1] מתקיים:

f(ta+(1−t)x)≤tf(a)+(1−t)f(x)f(ta+(1-t)x)\leq tf(a)+(1-t)f(x)f(ta+(1−t)x)≤tf(a)+(1−t)f(x)

נבחר 1−t=b−ax−a1-t=\frac{b-a}{x-a}1−t=x−ab−a​ ואז t=x−bx−at=\frac{x-b}{x-a}t=x−ax−b​ ולכן:

f(x−bx−aa+b−ax−ax)≤x−bx−af(a)+b−ax−af(x)f\left( \frac{x-b}{x-a}a+\frac{b-a}{x-a}x \right)\leq \frac{x-b}{x-a}f(a)+\frac{b-a}{x-a}f(x)f(x−ax−b​a+x−ab−a​x)≤x−ax−b​f(a)+x−ab−a​f(x) f(b)≤xf(a)−bf(a)+bf(x)−af(x)x−af\left( b \right)\leq \frac{xf(a)-bf(a)+bf(x)-af(x)}{x-a}f(b)≤x−axf(a)−bf(a)+bf(x)−af(x)​ (x−a)f(b)≤xf(a)−bf(a)+bf(x)−af(x)(x-a)f(b)\leq xf(a)-bf(a)+bf(x)-af(x)(x−a)f(b)≤xf(a)−bf(a)+bf(x)−af(x) x(f(b)−f(a))≤f(x)(b−a)+af(b)−bf(a)x(f(b)-f(a))\leq f(x)(b-a)+af(b)-bf(a)x(f(b)−f(a))≤f(x)(b−a)+af(b)−bf(a) f(x)≥xf(b)−f(a)b−a+bf(a)−af(b)b−a⟶x→∞∞f(x)\geq x \frac{f(b)-f(a)}{b-a}+\frac{bf(a)-af(b)}{b-a} \underset{x\to \infty}{\longrightarrow}\inftyf(x)≥xb−af(b)−f(a)​+b−abf(a)−af(b)​x→∞⟶​∞

ואז לפי פיצה lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{ x \to \infty }f(x)=\inftylimx→∞​f(x)=∞ בסתירה לכך ש-fff חסומה.
∎

בסעיף ב' נוכל להסתכל על f(x)=e−xf(x)=e^{-x}f(x)=e−x שהיא חסומה ב-(0,∞)(0,\infty)(0,∞) וגם מתקיים f′′(x)=−1⋅(−1)e−x=e−x>0f''(x)=-1\cdot (-1)e^{-x}=e^{-x}>0f′′(x)=−1⋅(−1)e−x=e−x>0 ולכן, לפי משפט, היא קמורה בקטע.

תרגיל

תהי fff קמורה ב-[a,b][a,b][a,b] הוכיחו כי לכל a≤x1<x2<ba\leq x_{1}<x_{2}<ba≤x1​<x2​<b מתקיים כי

f(b)−f(x1)b−x1≤f(b)−f(x2)b−x2\frac{f(b)-f(x_{1})}{b-x_{1}}\leq \frac{f(b)-f(x_{2})}{b-x_{2}}b−x1​f(b)−f(x1​)​≤b−x2​f(b)−f(x2​)​

הוכחה:
יהי a<x1<x2<ba<x_{1}<x_{2}<ba<x1​<x2​<b. משוואת הישר המחבר את (x1,f(x1))(x_{1},f(x_{1}))(x1​,f(x1​)) עם (b,f(b))(b,f(b))(b,f(b)) הוא:

y(x)=f(b)+f(b)−f(x1)b−x1(x−b)y(x)=f(b)+\frac{f(b)-f(x_{1})}{b-x_{1}}(x-b)y(x)=f(b)+b−x1​f(b)−f(x1​)​(x−b)

הפונקציה קמורה ולכן:

f(x2)≤f(b)+f(b)−f(x1)b−x1(x2−b)f(x_{2})\leq f(b)+\frac{f(b)-f(x_{1})}{b-x_{1}}(x_{2}-b)f(x2​)≤f(b)+b−x1​f(b)−f(x1​)​(x2​−b) f(x2)−f(b)x2−b≥f(b)−f(x1)b−x1\frac{f(x_{2})-f(b)}{x_{2}-b}\geq \frac{f(b)-f(x_{1})}{b-x_{1}}x2​−bf(x2​)−f(b)​≥b−x1​f(b)−f(x1​)​

∎

תרגיל

תהא f:[0,1]→[0,1]f:[0,1]\to[0,1]f:[0,1]→[0,1] פונקציה רציפה, קמורה ומונוטונית עולה ממש.
תהי f−1f^{-1}f−1 הפונקציה ההפוכה ל-fff. הוכיחו כי f−1f^{-1}f−1 מונוטונית עולה ממש וקעורה.

הוכחה:
מכיוון ש-f:[0,1]→[0,1]f:[0,1]\to[0,1]f:[0,1]→[0,1] אז גם f−1:[0,1]→[0,1]f^{-1}:[0,1]\to[0,1]f−1:[0,1]→[0,1]
נניח בשלילה כי f−1f^{-1}f−1 לא מונוטונית עולה ממש. ז.א. קיימים 0≤x1<x2≤10\leq x_{1}<x_{2}\leq 10≤x1​<x2​≤1 כך ש-f−1(x1)≥f−1(x2)f^{-1}(x_{1})\geq f^{-1}(x_{2})f−1(x1​)≥f−1(x2​).
הפונקציה fff מונוטונית עולה ממש ולכן:

x1=f(f−1(x1))≥f(f−1(x2))=x2x_{1}=f(f^{-1}(x_{1}))\geq f(f^{-1}(x_{2}))=x_{2}x1​=f(f−1(x1​))≥f(f−1(x2​))=x2​

בסתירה לכך ש-x1<x2x_{1}<x_{2}x1​<x2​ ולכן, f−1f^{-1}f−1 מונוטונית עולה ממש.
כעת, נבחר 0≤x1<x2≤10\leq x_{1}<x_{2}\leq 10≤x1​<x2​≤1 ונסמן y1=f−1(x1)y_{1}=f^{-1}(x_{1})y1​=f−1(x1​) ו-y2=f−1(x2)y_{2}=f^{-1}(x_{2})y2​=f−1(x2​). מהקמירות של fff:

f(ty1+(1−t)y2)≤tf(y1)+(1−t)f(y2)f(ty_{1}+(1-t)y_{2})\leq tf(y_{1})+(1-t)f(y_{2})f(ty1​+(1−t)y2​)≤tf(y1​)+(1−t)f(y2​) f−1(f(ty1+(1−t)y2))≤f−1(tf(y1)+(1−t)f(y2))f^{-1}(f(ty_{1}+(1-t)y_{2}))\leq f^{-1}(tf(y_{1})+(1-t)f(y_{2}))f−1(f(ty1​+(1−t)y2​))≤f−1(tf(y1​)+(1−t)f(y2​)) ty1+(1−t)y2≤f−1(tx1+(1−t)x2)ty_{1}+(1-t)y_{2}\leq f^{-1}(tx_{1}+(1-t)x_{2})ty1​+(1−t)y2​≤f−1(tx1​+(1−t)x2​) tf−1(x1)+(1−t)f−1(x2)≤f−1(tx1+(1−t)x2)tf^{-1}(x_{1})+(1-t)f^{-1}(x_{2})\leq f^{-1}(tx_{1}+(1-t)x_{2})tf−1(x1​)+(1−t)f−1(x2​)≤f−1(tx1​+(1−t)x2​)

וזו הגדרת קעירות של f−1f^{-1}f−1.
∎