23 - חקירת פונקציות — חשבון אינפיניטסימלי 1מ'

תרגיל

חקרו את הפונקציה הבאה:

f(x)=\begin{cases} \frac{2x}{1+x^2} & 0\leq x<2 \\ 1-\sqrt{ |3-x| } & 2\leq x\leq 4 \end{cases}

נפצל את הפונקציה:

f(x)=\begin{cases} \frac{2x}{1+x^2} & 0\leq x< 2 \\ 1-\sqrt{ 3-x } & 2\leq x< 3 \\ 1-\sqrt{ x-3 } & 3\leq x\leq{4} \end{cases}

נגזור:

f'(x)=\begin{cases} \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2} & 0<x<2 \\ \frac{1}{2\sqrt{ 3-x }} & 2<x<3 \\ -\frac{1}{2\sqrt{ x-3 }} & 3<x<4 \end{cases}

ב- $x=1$ יש נקודת מקסימום.
נבדוק כעת האם פונקציה גזירה ב- $2$ :

\lim_{ x \to 2^- } f(x)=\frac{4}{5}

\lim_{ x \to 2^+ } f(x)=0

הפונקציה לא רציפה ב- $x=2$ ולכן לא גזירה.
???
נבדוק מה מתרחש ב-3: $x=3$ מקסימום.
נגזור עוד פעם על מנת לקבל את הנגזרת השנייה:

f''(x)=\begin{cases} -\frac{4x(3-x^2)}{(1+x^2)^3} & 0<x<2 \\ \frac{1}{4(3-x)^{\frac{3}{2}}} & 2<x<3 \\ \frac{1}{4(x-3)^{\frac{3}{2}}} & 3<x<4 \end{cases}

23 - חקירת פונקציות 2026-01-25 15.39.14.excalidraw.svg
הנקודה $x=2$ נקודת מינימום.

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ פונקציה גזירה וגם $f'$ מתאפסת $\infty$ פעמים, אז ל- $f$ יש נקודת קיצון מקומי.

הטענה לא נכונה.

f(x)=x+\sin x

f'(x)=1+\cos x=0

מכיוון ש- $\cos x\geq -1$ נקבל:

f'(x)\geq 0

הנגזרת לא מחליפה סימן, ולכן לפי משפט, אין קיצון.

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f$ גזירה וזוגית ב- $\mathbb{R}$ אז יש ל- $f$ קיצון מקומי ב- $x=0$ .

הטענה אינה נכונה.

f(x)=\begin{cases} x^3\sin \frac{1}{x} & x\neq0 \\ 0 & x=0 \end{cases}

f'(0)=\lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{ x \to 0 } \frac{x^3 \sin \frac{1}{x}}{x}=\lim_{ x \to 0 } x^2\sin \frac{1}{x}=0

f'(x)=\begin{cases} 3x^2\sin \frac{1}{x}-x\cos \frac{1}{x} & x\neq0 \\ 0 & x=0 \end{cases}

3\left( \frac{1}{2\pi n} \right)^2\sin(2\pi n)-\frac{1}{2\pi n}\cos(2\pi n)=0-\frac{1}{2\pi n}<0

3\left( \frac{1}{2\pi n+\frac{\pi}{2}} \right)^2 \cdot 1-0>0

בכל סביבה ימנית של $0$ יש נקודות בהן $f'>0$ ונקודות בהן $f'<0$ ולכן אין קיצון.

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f$ רציפה ואין לה נקודת פיתול אז $f$ קמורה בכל $\mathbb{R}$ או $f$ קעורה בכל $\mathbb{R}$ .

הטענה אינה נכונה.
נסתכל נניח על הפונקציה הבאה:

f(x)=\begin{cases} \sqrt{ x } & x> 0 \\ \sqrt{ -x } & x<0 \end{cases}

לפונקציה זו אין נקודות פיטול, אך היא גם קמורה וגם קעורה.

תרגיל (נכון/לא נכון)

נקודת קיצון לא יכולה להיות נקודת פיתול.

הטענה לא נכונה.

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f$ קמורה ב- $[a,b]$ וגם קמורה ב- $[b,c]$ אז $f$ קמורה ב- $[a,c]$ .

הטענה לא נכונה.

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f$ עולה ממש בכל $\mathbb{R}$ אז $f'(x)\geq 0$ לכל $x \in \mathbb{R}$ .

הטענה אינה נכונה.
יכול להיות שהיא בכלל לא גזירה.

f(x)=x^{\frac{1}{3}}

הערה

כדי להראות שזה לא גזיר ב- $x=0$ נדרש לגזור לפי הגדרה ולא נוכל להשתמש בכללי גזירה כי אנחנו בכלל לא יודעים אם יש נגזרת(ובמקרה זה אין)

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f$ קעורה ב- $(0,1)$ אז היא חסומה מלמטה בקטע.

הטענה לא נכונה.

f(x)=-\frac{1}{x}

f'=\frac{1}{x^2} \qquad f''=-\frac{2}{x^3}<0

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f$ רציפה בכל נקודה וגזירה בכל נקודה $x\neq 0$ אז קיימות הנגזרות החד-צדדיות $f'_{-}(0)$ ו- $f'_{+}(0)$ .

הטענה לא נכונה.

f(x)=\begin{cases} x\sin \frac{1}{x} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}

f'_{+}(0)=\lim_{ x \to 0^+ } \frac{x \sin \frac{1}{x}-0}{x}=\lim_{ x \to 0^+ } \sin \frac{1}{x}

ולכן $f_{+}'(0)$ לא קיים. (אותו הדבר ל- $0^-$ ).

הערה

במבחן נדרש להראות שהגבול לא קיים בעזרת היינה - נקח שתי סדרות ונראה וכו וכו

תרגיל

חקרו את הפונקציה הבאה:

f(x)=\begin{cases} \frac{2x}{1+x^2} & 0\leq x<2 \\ 1-\sqrt{ |3-x| } & 2\leq x\leq 4 \end{cases}

נפצל את הפונקציה:

f(x)=\begin{cases} \frac{2x}{1+x^2} & 0\leq x< 2 \\ 1-\sqrt{ 3-x } & 2\leq x< 3 \\ 1-\sqrt{ x-3 } & 3\leq x\leq{4} \end{cases}

נגזור:

f'(x)=\begin{cases} \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2} & 0<x<2 \\ \frac{1}{2\sqrt{ 3-x }} & 2<x<3 \\ -\frac{1}{2\sqrt{ x-3 }} & 3<x<4 \end{cases}

ב- $x=1$ יש נקודת מקסימום.
נבדוק כעת האם פונקציה גזירה ב- $2$ :

\lim_{ x \to 2^- } f(x)=\frac{4}{5}

\lim_{ x \to 2^+ } f(x)=0

f''(x)=\begin{cases} -\frac{4x(3-x^2)}{(1+x^2)^3} & 0<x<2 \\ \frac{1}{4(3-x)^{\frac{3}{2}}} & 2<x<3 \\ \frac{1}{4(x-3)^{\frac{3}{2}}} & 3<x<4 \end{cases}

23 - חקירת פונקציות 2026-01-25 15.39.14.excalidraw.svg
הנקודה $x=2$ נקודת מינימום.

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ פונקציה גזירה וגם $f'$ מתאפסת $\infty$ פעמים, אז ל- $f$ יש נקודת קיצון מקומי.

הטענה לא נכונה.

f(x)=x+\sin x

f'(x)=1+\cos x=0

מכיוון ש- $\cos x\geq -1$ נקבל:

f'(x)\geq 0

הנגזרת לא מחליפה סימן, ולכן לפי משפט, אין קיצון.

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f$ גזירה וזוגית ב- $\mathbb{R}$ אז יש ל- $f$ קיצון מקומי ב- $x=0$ .

הטענה אינה נכונה.

f(x)=\begin{cases} x^3\sin \frac{1}{x} & x\neq0 \\ 0 & x=0 \end{cases}

f'(0)=\lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{ x \to 0 } \frac{x^3 \sin \frac{1}{x}}{x}=\lim_{ x \to 0 } x^2\sin \frac{1}{x}=0

f'(x)=\begin{cases} 3x^2\sin \frac{1}{x}-x\cos \frac{1}{x} & x\neq0 \\ 0 & x=0 \end{cases}

3\left( \frac{1}{2\pi n} \right)^2\sin(2\pi n)-\frac{1}{2\pi n}\cos(2\pi n)=0-\frac{1}{2\pi n}<0

3\left( \frac{1}{2\pi n+\frac{\pi}{2}} \right)^2 \cdot 1-0>0

בכל סביבה ימנית של $0$ יש נקודות בהן $f'>0$ ונקודות בהן $f'<0$ ולכן אין קיצון.

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f$ רציפה ואין לה נקודת פיתול אז $f$ קמורה בכל $\mathbb{R}$ או $f$ קעורה בכל $\mathbb{R}$ .

הטענה אינה נכונה.
נסתכל נניח על הפונקציה הבאה:

f(x)=\begin{cases} \sqrt{ x } & x> 0 \\ \sqrt{ -x } & x<0 \end{cases}

לפונקציה זו אין נקודות פיטול, אך היא גם קמורה וגם קעורה.

תרגיל (נכון/לא נכון)

נקודת קיצון לא יכולה להיות נקודת פיתול.

הטענה לא נכונה.

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f$ קמורה ב- $[a,b]$ וגם קמורה ב- $[b,c]$ אז $f$ קמורה ב- $[a,c]$ .

הטענה לא נכונה.

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f$ עולה ממש בכל $\mathbb{R}$ אז $f'(x)\geq 0$ לכל $x \in \mathbb{R}$ .

הטענה אינה נכונה.
יכול להיות שהיא בכלל לא גזירה.

f(x)=x^{\frac{1}{3}}

הערה

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f$ קעורה ב- $(0,1)$ אז היא חסומה מלמטה בקטע.

הטענה לא נכונה.

f(x)=-\frac{1}{x}

f'=\frac{1}{x^2} \qquad f''=-\frac{2}{x^3}<0

תרגיל (נכון/לא נכון)

אם $f$ רציפה בכל נקודה וגזירה בכל נקודה $x\neq 0$ אז קיימות הנגזרות החד-צדדיות $f'_{-}(0)$ ו- $f'_{+}(0)$ .

הטענה לא נכונה.

f(x)=\begin{cases} x\sin \frac{1}{x} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}

f'_{+}(0)=\lim_{ x \to 0^+ } \frac{x \sin \frac{1}{x}-0}{x}=\lim_{ x \to 0^+ } \sin \frac{1}{x}

ולכן $f_{+}'(0)$ לא קיים. (אותו הדבר ל- $0^-$ ).

הערה

במבחן נדרש להראות שהגבול לא קיים בעזרת היינה - נקח שתי סדרות ונראה וכו וכו