הקדמה
פולינום טיילור מסדר n > 0 n>0 n > 0 f f f x = a x=a x = a
T n ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) ( x − a ) 2 2 ! + ⋯ + f ( n ) ( a ) ( x − a ) n n ! T_{n}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)(x-a)^2}{2!}+\dots+\frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!} T n ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + 2 ! f ′′ ( a ) ( x − a ) 2 + ⋯ + n ! f ( n ) ( a ) ( x − a ) n זה פולינום היחיד ממעלה קטנה או שווה ל-n n n 0 ≤ k ≤ n 0\leq k\leq n 0 ≤ k ≤ n f ( k ) ( a ) = T n ( k ) ( a ) f^{(k)}(a)=T_{n}^{(k)}(a) f ( k ) ( a ) = T n ( k ) ( a ) שארית: R n = f ( x ) − T n ( x ) R_{n}=f(x)-T_{n}(x) R n = f ( x ) − T n ( x )
פולינום טיילור סביב a = 0 a=0 a = 0
משפט (נוסחת השארית לפי פיאנו)
אם f f f n n n
lim x → a R n ( x ) ( x − a ) n = 0 \lim_{ x \to a } \frac{R_{n}(x)}{(x-a)^n}=0 x → a lim ( x − a ) n R n ( x ) = 0 משפט (טיילור עם שארית לגרנז')
נניח f f f n + 1 n+1 n + 1 I I I x ∈ I x \in I x ∈ I x ≠ a x\neq a x = a c c c x x x a a a
R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} R n ( x ) = ( n + 1 )! f ( n + 1 ) ( c ) ( x − a ) n + 1 פולינומי מקלרן ידועים
e x = ∑ k = 0 n x k k ! e^x=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} e x = k = 0 ∑ n k ! x k sin x = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! \sin x=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} sin x = k = 0 ∑ n ( − 1 ) k ( 2 k + 1 )! x 2 k + 1 cos x = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n x 2 k ( 2 k ) ! \cos x=\sum_{k=0}^n(-1)^n \frac{x^{2k}}{(2k)!} cos x = k = 0 ∑ n ( − 1 ) n ( 2 k )! x 2 k 1 1 − x = ∑ k = 0 n x k \frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^n x^k 1 − x 1 = k = 0 ∑ n x k פיתוח מקלרן ל-ln x \ln x ln x
f ( x ) = ln ( 1 + x ) f(x)=\ln(1+x) f ( x ) = ln ( 1 + x ) { f ( 0 ) = 0 f ′ ( x ) = 1 1 + x ⟹ f ′ ( 0 ) = 1 f ′ ′ ( x ) = − 1 ( 1 + x ) 2 ⟹ f ′ ′ ( 0 ) = − 1 f ′ ′ ′ ( x ) = 2 ( 1 + x ) 3 ⟹ f ′ ′ ′ ( 0 ) = 2 f ( 4 ) ( x ) = − 6 ( 1 + x ) 4 ⟹ f ( 4 ) ( 0 ) = − 6 \begin{cases}
f(0)=0 \\
f'(x)=\frac{1}{1+x} \implies f'(0)=1 \\
f''(x)=-\frac{1}{(1+x)^2} \implies f''(0)=-1 \\
f'''(x)=\frac{2}{(1+x)^3} \implies f'''(0)=2 \\
f^{(4)}(x)=-\frac{6}{(1+x)^4} \implies f^{(4)}(0)=-6
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ f ( 0 ) = 0 f ′ ( x ) = 1 + x 1 ⟹ f ′ ( 0 ) = 1 f ′′ ( x ) = − ( 1 + x ) 2 1 ⟹ f ′′ ( 0 ) = − 1 f ′′′ ( x ) = ( 1 + x ) 3 2 ⟹ f ′′′ ( 0 ) = 2 f ( 4 ) ( x ) = − ( 1 + x ) 4 6 ⟹ f ( 4 ) ( 0 ) = − 6 T n ( x ) = 0 + 1 ⋅ x − x 2 2 ! + 2 x 3 3 ! − 6 x 4 4 ! + … T_{n}(x)=0+1\cdot x-\frac{x^2}{2!}+\frac{2x^3}{3!}-\frac{6x^4}{4!}+\dots T n ( x ) = 0 + 1 ⋅ x − 2 ! x 2 + 3 ! 2 x 3 − 4 ! 6 x 4 + … T n ( x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 x n n T_{n}(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots+\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} T n ( x ) = x − 2 x 2 + 3 x 3 − 4 x 4 + ⋯ + n ( − 1 ) n + 1 x n תרגול
מצאו מספר רציונלי שמרחקו מ-1.5 1 3 1.5^{\frac{1}{3}} 1. 5 3 1 1 100 \frac{1}{100} 100 1
נתבונן בפונקציה f ( x ) = x 1 3 f(x)=x^{\frac{1}{3}} f ( x ) = x 3 1 x 0 = 1 x_{0}=1 x 0 = 1 1 < c < 1.5 1<c<1.5 1 < c < 1.5 I I \mathrm{II} II
∣ R 1 ∣ = ∣ f ′ ′ ( c ) ( x − x 0 ) 2 2 ! ∣ = ∣ − 2 9 c − 5 3 ( 1.5 − 1 ) 2 2 ∣ = 1 36 c 5 3 < 1 36 |R_{1}|=\left| \frac{f''(c)(x-x_{0})^2}{2!} \right|=\left| \frac{-\frac{2}{9}c^{-\frac{5}{3}}(1.5-1)^{2}}{2} \right|=\frac{1}{36c^{\frac{5}{3}}} < \frac{1}{36} ∣ R 1 ∣ = 2 ! f ′′ ( c ) ( x − x 0 ) 2 = 2 − 9 2 c − 3 5 ( 1.5 − 1 ) 2 = 36 c 3 5 1 < 36 1 זה לא מספיק מדוייק לנו ולכן נרשום את הנגזרת השנייה:
∣ R 2 ∣ = ∣ f ′ ′ ′ ( c ) ( x − x 0 ) 3 3 ! ∣ = ∣ 10 27 c − 8 3 ( 1.5 − 1 ) 3 3 ! ∣ = 10 27 ⋅ 6 c 8 3 ⋅ 8 < 5 27 ⋅ 24 ⋅ 1 < 1 100 |R_{2}|=\left| \frac{f'''(c)(x-x_{0})^3}{3!} \right|=\left| \frac{\frac{10}{27}c^{-\frac{8}{3}}(1.5-1)^3}{3!} \right|=\frac{10}{27\cdot6c^{\frac{8}{3}}\cdot8}< \frac{5}{27\cdot 24\cdot 1}< \frac{1}{100} ∣ R 2 ∣ = 3 ! f ′′′ ( c ) ( x − x 0 ) 3 = 3 ! 27 10 c − 3 8 ( 1.5 − 1 ) 3 = 27 ⋅ 6 c 3 8 ⋅ 8 10 < 27 ⋅ 24 ⋅ 1 5 < 100 1 לכן, נדע כי נדרש לפולינום ממעלה של לפחות 2.
T 2 ( x ) = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x − 1 ) + f ′ ′ ( 1 ) ( x − 1 ) 2 2 T_{2}(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)(x-1)^2}{2} T 2 ( x ) = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x − 1 ) + 2 f ′′ ( 1 ) ( x − 1 ) 2 = 1 + 1 3 ( 1.5 − 1 ) − 2 9 ( 1.5 − 1 ) 2 2 = 1 + 1 6 − 1 36 =1+\frac{1}{3}(1.5-1)-\frac{2}{9} \frac{(1.5-1)^2}{2}=1+\frac{1}{6}-\frac{1}{36} = 1 + 3 1 ( 1.5 − 1 ) − 9 2 2 ( 1.5 − 1 ) 2 = 1 + 6 1 − 36 1
רבקה ממליצה לא לעשות מכנה משותף ופשוט להשאיר את זה ככה מכיוון שככה גם יותר קל לה לבדוק וגם יש פחות סיכוי שנעשה טעות חישוב..
מצאו מספר רציונלי שמרחקו מ-80 \sqrt{ 80 } 80 1 5000 \frac{1}{5000} 5000 1
זה אותו תרגיל 1 : 1 1:1 1 : 1
נקח את הפונקציה f ( x ) = x = x 1 2 f(x)=\sqrt{ x }=x^{\frac{1}{2}} f ( x ) = x = x 2 1 x = 80 x=80 x = 80 x 0 = 81 x_{0}=81 x 0 = 81
f ′ ( x ) = 1 2 x − 1 2 f ′ ′ ( x ) = − 1 4 x − 3 2 f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \qquad f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} f ′ ( x ) = 2 1 x − 2 1 f ′′ ( x ) = − 4 1 x − 2 3 נקח 80 < c < 81 80<c<81 80 < c < 81
∣ R 1 ∣ = ∣ f ′ ′ ( c ) ( x − x 0 ) 2 2 ! ∣ = ∣ − 1 4 c − 1.5 ( 80 − 81 ) 2 2 ∣ = 1 5 c 1.5 |R_{1}|=\left| \frac{f''(c)(x-x_{0})^2}{2!} \right|=\left| \frac{-\frac{1}{4}c^{-1.5}(80-81)^2}{2} \right|=\frac{1}{5c^{1.5}} ∣ R 1 ∣ = 2 ! f ′′ ( c ) ( x − x 0 ) 2 = 2 − 4 1 c − 1.5 ( 80 − 81 ) 2 = 5 c 1.5 1 נשים לב כי פה יש בעיה. בתחום שלקחנו ל-c c c 80 80 80 80 80 80 64 64 64
1 5 c 1.5 < 1 864 ⋅ 8 \frac{1}{5c^{1.5}}< \frac{1}{864\cdot 8} 5 c 1.5 1 < 864 ⋅ 8 1 אין זה מספיק ולכן נדרש לחשב את השארית השנייה וכו' וכו'.
תהי f : R → R f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} f : R → R
f ( 5 ) ( 0 ) > 0 f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) = f ( 3 ) ( 0 ) = f ( 4 ) ( 0 ) = 0 f^{(5)}(0)>0 \qquad f(0)=f'(0)=f''(0)=f^{(3)}(0)=f^{(4)}(0)=0 f ( 5 ) ( 0 ) > 0 f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = f ′′ ( 0 ) = f ( 3 ) ( 0 ) = f ( 4 ) ( 0 ) = 0 א. הוכיחו כי קיימת סביבה ימנית של 0 0 0 f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0 x ≠ 0 x\neq 0 x = 0 f ′ ( x ) ≠ 0 f'(x)\neq 0 f ′ ( x ) = 0 x > 0 x>0 x > 0 f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0
הוכחה: (א')I \mathrm{I} I f f f f ( x ) = R 5 ( x ) + T 5 ( x ) f(x)=R_{5}(x)+T_{5}(x) f ( x ) = R 5 ( x ) + T 5 ( x )
T 5 ( x ) = f ( 5 ) ( 0 ) x 5 5 ! T_{5}(x)=\frac{f^{(5)}(0)x^5}{5!} T 5 ( x ) = 5 ! f ( 5 ) ( 0 ) x 5 לפי שארית פיאנו(טיילור I I \mathrm{II} II
R 5 ( x ) x 5 ⟶ x → 0 0 \frac{R_{5}(x)}{x^5} \underset{x\to0}{\longrightarrow} 0 x 5 R 5 ( x ) x → 0 ⟶ 0 לכל ε > 0 \epsilon>0 ε > 0 δ > 0 \delta>0 δ > 0 x ∈ ( 0 , δ ) x \in(0,\delta) x ∈ ( 0 , δ )
− ε < R 5 ( x ) x 5 < ε -\epsilon< \frac{R_{5}(x)}{x^5}<\epsilon − ε < x 5 R 5 ( x ) < ε הטענה נכונה לכל ε > 0 \epsilon>0 ε > 0 ε = 1 2 f ( 5 ) ( 0 ) 5 ! \epsilon=\frac{1}{2} \frac{f^{(5)}(0)}{5!} ε = 2 1 5 ! f ( 5 ) ( 0 )
R 5 ( x ) x 5 > − 1 2 f ( 5 ) ( 0 ) 5 ! \frac{R_{5}(x)}{x^5} > -\frac{1}{2} \frac{f^{(5)}(0)}{5!} x 5 R 5 ( x ) > − 2 1 5 ! f ( 5 ) ( 0 ) R 5 ( x ) > − 1 2 f ( 5 ) ( 0 ) 5 ! x 5 R_{5}(x)> -\frac{1}{2} \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 R 5 ( x ) > − 2 1 5 ! f ( 5 ) ( 0 ) x 5 קיבלנו כי קיימת סביבה ימנית של אפס עבורה:
f ( x ) = R 5 ( x ) + T 5 ( x ) > − 1 2 f ( 5 ) ( 0 ) x 5 5 ! + f ( 5 ) ( 0 ) x 5 5 ! = 1 2 f ( 5 ) ( 0 ) x 5 5 ! > 0 f(x)=R_{5}(x)+T_{5}(x)> -\frac{1}{2} \frac{f^{(5)}(0)x^5}{5!}+\frac{f^{(5)}(0)x^5}{5!}=\frac{1}{2} \frac{f^{(5)}(0)x^5}{5!}>0 f ( x ) = R 5 ( x ) + T 5 ( x ) > − 2 1 5 ! f ( 5 ) ( 0 ) x 5 + 5 ! f ( 5 ) ( 0 ) x 5 = 2 1 5 ! f ( 5 ) ( 0 ) x 5 > 0 ∎
הוכחה: (ב)f ′ f' f ′ ( 0 , ∞ ) (0,\infty) ( 0 , ∞ ) קבוע .f ′ f' f ′ f f f f f f f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ′ ( x ) > 0 f'(x)>0 f ′ ( x ) > 0 x ∈ ( 0 , ∞ ) x \in(0,\infty) x ∈ ( 0 , ∞ ) f f f f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0 x ∈ ( 0 , ∞ ) x \in(0,\infty) x ∈ ( 0 , ∞ ) ∎
תהא f : R → R f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} f : R → R f ′ ( 0 ) = 1 f'(0)=1 f ′ ( 0 ) = 1 f ( 1 ) = 4 , f ( 0 ) = 2 , f ( − 1 ) = 0 f(1)=4,f(0)=2,f(-1)=0 f ( 1 ) = 4 , f ( 0 ) = 2 , f ( − 1 ) = 0 c ∈ ( − 1 , 1 ) c \in(-1,1) c ∈ ( − 1 , 1 ) f ′ ′ ′ ( c ) ≥ 6 f'''(c)\geq6 f ′′′ ( c ) ≥ 6
הוכחה:
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) x 2 2 + f ′ ′ ′ ′ ( c ) x 3 3 ! ⏟ R 2 ( x ) f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)x^2}{2}+\underbrace{\frac{f''''(c)x^3}{3!}}_{R_{2}(x)} f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + 2 f ′′ ( 0 ) x 2 + R 2 ( x ) 3 ! f ′′′′ ( c ) x 3 f ( 1 ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ⋅ 1 + f ′ ′ ( 0 ) 2 + f ′ ′ ′ ( c 1 1 ) 6 N o t e . 0 < c 1 < 1 f(1)=f(0)+f'(0)\cdot 1+\frac{f''(0)}{2}+\frac{f'''(c_{1}1)}{6} \qquad Note.{0<c_{1}<1} f ( 1 ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ⋅ 1 + 2 f ′′ ( 0 ) + 6 f ′′′ ( c 1 1 ) N o t e . 0 < c 1 < 1 f ( − 1 ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ( − 1 ) + f ′ ′ ( 0 ) 2 + f ′ ′ ′ ( c 2 ) ( − 1 ) 6 N o t e . − 1 < c 2 < 0 f(-1)=f(0)+f'(0)(-1)+\frac{f''(0)}{2}+\frac{f'''(c_{2})(-1)}{6} \qquad Note.-1<c_{2}<0 f ( − 1 ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ( − 1 ) + 2 f ′′ ( 0 ) + 6 f ′′′ ( c 2 ) ( − 1 ) N o t e . − 1 < c 2 < 0 4 − 0 = 2 + f ′ ′ ′ ( c 1 ) 6 + f ′ ′ ′ ( c 2 ) 6 4-0=2+\frac{f'''(c_{1})}{6}+\frac{f'''(c_{2})}{6} 4 − 0 = 2 + 6 f ′′′ ( c 1 ) + 6 f ′′′ ( c 2 ) f ′ ′ ′ ( c 1 ) + f ′ ′ ′ ( c 2 ) = 12 f'''(c_{1})+f'''(c_{2})=12 f ′′′ ( c 1 ) + f ′′′ ( c 2 ) = 12 לפחות אחת מהנגזרות f ′ ′ ′ ( c 2 ) f'''(c_{2}) f ′′′ ( c 2 ) f ′ ′ ′ ( c 1 ) f'''(c_{1}) f ′′′ ( c 1 ) ∎
חשבו את
lim x → 0 sin x − x + x 3 6 x 4 \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin x-x+ \frac{x^3}{6}}{x^4} x → 0 lim x 4 sin x − x + 6 x 3 = lim x → 0 − x 3 3 ! + R 4 + x 3 6 x 4 = lim x → 0 R 4 x 4 = 0 =\lim_{ x \to 0 } \frac{-\frac{x^3}{3!}+R_{4}+\frac{x^3}{6}}{x^4}=\lim_{ x \to 0 } \frac{R_{4}}{x^4}=0 = x → 0 lim x 4 − 3 ! x 3 + R 4 + 6 x 3 = x → 0 lim x 4 R 4 = 0 sin x = x − x 3 3 ! + R 4 \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+R_{4} sin x = x − 3 ! x 3 + R 4
תהא f f f f ( 0 ) = 1 , f ′ ( 0 ) = 0 , f ′ ′ ( 0 ) = 1 f(0)=1,f'(0)=0,f''(0)=1 f ( 0 ) = 1 , f ′ ( 0 ) = 0 , f ′′ ( 0 ) = 1 lim n → ∞ ( f ( 1 n ) ) n \lim_{ n \to \infty }\left( f\left( \frac{1}{\sqrt{ n }} \right) \right)^n lim n → ∞ ( f ( n 1 ) ) n
x = 1 n ⟹ n = 1 x 2 x=\frac{1}{\sqrt{ n }} \implies n=\frac{1}{x^2} x = n 1 ⟹ n = x 2 1 נתבונן בגבול:
lim x → 0 ( f ( x ) ) 1 x 2 \lim_{ x \to 0 } (f(x))^{\frac{1}{x^2}} x → 0 lim ( f ( x ) ) x 2 1 לפי משפט טיילור I \mathrm{I} I
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) x 2 2 + R 2 = 1 + x 2 2 R 2 f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)x^2}{2}+R_{2}=1+\frac{x^2}{2}R_{2} f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + 2 f ′′ ( 0 ) x 2 + R 2 = 1 + 2 x 2 R 2 lim x → 0 ( 1 + x 2 2 + R 2 ) 1 x 2 = lim x → 0 ( ( 1 + ( x 2 2 + R 2 ) ) 1 x 2 2 + R 2 ) x 2 2 + R 2 x 2 \lim_{ x \to 0 } \left( 1+\frac{x^2}{2}+R_{2} \right)^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{ x \to 0 } \left( \left( 1+\left( \frac{x^2}{2}+R_{2} \right) \right)^{\frac{1}{\frac{x^2}{2}+R_{2}}} \right)^{\frac{\frac{x^2}{2}+R_{2}}{x^2}} x → 0 lim ( 1 + 2 x 2 + R 2 ) x 2 1 = x → 0 lim ( ( 1 + ( 2 x 2 + R 2 ) ) 2 x 2 + R 2 1 ) x 2 2 x 2 + R 2 x 2 2 + R 2 = x 2 ( 1 2 + R 2 x 2 ) \frac{x^2}{2}+R_{2}=x^2\left( \frac{1}{2}+\frac{R_{2}}{x^2} \right) 2 x 2 + R 2 = x 2 ( 2 1 + x 2 R 2 ) ואז לפי חשבון גבולות:
⟶ x → 0 0 ( 1 2 + 0 ) = 0 \underset{x\to0}{\longrightarrow} 0\left( \frac{1}{2}+0 \right)=0 x → 0 ⟶ 0 ( 2 1 + 0 ) = 0 ולכן:
lim x → 0 ( 1 + x 2 2 + R 2 ) 1 x 2 2 + R 2 = e \lim_{ x \to 0 } \left( 1+\frac{x^2}{2}+R_{2} \right)^{\frac{1}{\frac{x^2}{2}+R_{2}}}=e x → 0 lim ( 1 + 2 x 2 + R 2 ) 2 x 2 + R 2 1 = e lim x → 0 x 2 2 + R 2 x 2 = lim x → 0 ( 1 2 + R 2 x 2 ) = 1 2 \lim_{ x \to 0 } \frac{\frac{x^2}{2}+R_{2}}{x^2}=\lim_{ x \to 0 } \left( \frac{1}{2}+\frac{R_{2}}{x^2} \right)=\frac{1}{2} x → 0 lim x 2 2 x 2 + R 2 = x → 0 lim ( 2 1 + x 2 R 2 ) = 2 1 ולכן, לפי חשבון גבולות של חזקות:
lim x → 0 f 1 x 2 ( x ) = e 1 2 \lim_{ x \to 0 } f^{\frac{1}{x^2}}(x)=e^{\frac{1}{2}} x → 0 lim f x 2 1 ( x ) = e 2 1 הגבול קיים ולכן לפי משפט היינה, לכל 0 ≠ x n ⟶ n → ∞ 0 0\neq x_{n}\underset{n\to \infty}{\longrightarrow}0 0 = x n n → ∞ ⟶ 0 x n = 1 n x_{n}=\frac{1}{\sqrt{ n }} x n = n 1
lim n → ∞ f n ( 1 n ) = e 1 2 \lim_{ n \to \infty } f^n\left( \frac{1}{\sqrt{ n }} \right)=e^{\frac{1}{2}} n → ∞ lim f n ( n 1 ) = e 2 1
חשבו את:
lim x → 0 sin 2 ( cos x − 1 ) ln ( 1 + x 2 ) ( e x − 1 ) 2 \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin^2(\cos x-1)}{\ln(1+x^2)(e^x-1)^2} x → 0 lim ln ( 1 + x 2 ) ( e x − 1 ) 2 sin 2 ( cos x − 1 ) נשים לב כי לא נרצה לעשות פה לופיטל כי זה חרא!
sin x = x − x 3 3 ! + … \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\dots sin x = x − 3 ! x 3 + … cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! + … \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots cos x = 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 + … cos x − 1 = ? ? \cos x-1=?? cos x − 1 = ?? e x = 1 + x + x 2 2 ⟹ ( e x − 1 ) 2 = ( x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … ) 2 e^x=1+x+\frac{x^2}{2} \implies (e^x-1)^2=\left( x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots \right)^2 e x = 1 + x + 2 x 2 ⟹ ( e x − 1 ) 2 = ( x + 2 ! x 2 + 3 ! x 3 + … ) 2 ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} ln ( 1 + x ) = x − 2 x 2 + 3 x 3 ln ( 1 + x 2 ) = x 2 − x 4 2 + x 6 3 \ln (1+x^2)=x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{3} ln ( 1 + x 2 ) = x 2 − 2 x 4 + 3 x 6 sin 2 ( cos x − 1 ) = sin 2 ( − x 2 2 ! + x 4 4 ! − … ) = ( ( − x 2 2 ! + x 4 4 ! − … ) − ( ) 3 3 ! ) 2 = x 4 4 + R 4 \sin^2(\cos x-1)=\sin^2\left( -\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots \right)=\left( \left( -\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots \right)-\frac{()^3}{3!} \right)^2=\frac{x^4}{4}+R_{4} sin 2 ( cos x − 1 ) = sin 2 ( − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − … ) = ( ( − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − … ) − 3 ! ( ) 3 ) 2 = 4 x 4 + R 4 lim x → 0 sin 2 ( cos x − 1 ) ln ( 1 + x 2 ) ( e x − 1 ) 2 = lim x → 0 x 4 4 + R 4 1 + R 4 x 4 = 1 4 \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin^2(\cos x-1)}{\ln(1+x^2)(e^x-1)^2}=\lim_{ x \to 0 } \frac{\frac{x^4}{4}+R_{4}}{1+\frac{R_{4}}{x^4}}=\frac{1}{4} x → 0 lim ln ( 1 + x 2 ) ( e x − 1 ) 2 sin 2 ( cos x − 1 ) = x → 0 lim 1 + x 4 R 4 4 x 4 + R 4 = 4 1
יהא g ( x ) g(x) g ( x ) n n n lim x → 0 g ( x ) x n = 0 \lim_{ x \to 0 } \frac{g(x)}{x^n}=0 lim x → 0 x n g ( x ) = 0 g ( x ) g(x) g ( x ) f : R → R f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} f : R → R n n n 0 0 0 P ( x ) P(x) P ( x ) n n n lim x → 0 f ( x ) − P ( x ) x n = 0 \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)-P(x)}{x^n}=0 lim x → 0 x n f ( x ) − P ( x ) = 0 P ( x ) P(x) P ( x ) n n n 0 0 0 f f f
הוכחה: (א')
g ( x ) = a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 g(x)=a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{0} g ( x ) = a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 בסיס: n = 0 n=0 n = 0 g ( x ) = a 0 g(x)=a_{0} g ( x ) = a 0
lim x → 0 a 0 x 0 = a 0 = 0 \lim_{ x \to 0 } \frac{a_{0}}{x^0}=a_{0}=0 x → 0 lim x 0 a 0 = a 0 = 0 ולכן g ( x ) = 0 g(x)=0 g ( x ) = 0 צעד: נניח כי g n − 2 ( x ) = a n − 2 x n − 2 + ⋯ + a 0 g_{n-2}(x)=a_{n-2}x^{n-2}+\dots+a_{0} g n − 2 ( x ) = a n − 2 x n − 2 + ⋯ + a 0 n − 2 n-2 n − 2 g n − 1 ( x ) = a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 g_{n-1}(x)=a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{0} g n − 1 ( x ) = a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0
lim x → 0 a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 x n − 1 = lim x → 0 a n − 1 x n − 1 x n − 1 + lim x → 0 a n − 2 x n − 2 + ⋯ + a 0 x n − 1 = lim x → 0 a n − 1 = 0 \lim_{ x \to 0 } \frac{a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{0}}{x^{n-1}}=\lim_{ x \to 0 } \frac{a_{n-1}x^{n-1}}{x^{n-1}}+\lim_{ x \to 0 } \frac{a_{n-2}x^{n-2}+\dots+a_{0}}{x^{n-1}}=\lim_{ x \to 0 } a_{n-1}=0 x → 0 lim x n − 1 a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 = x → 0 lim x n − 1 a n − 1 x n − 1 + x → 0 lim x n − 1 a n − 2 x n − 2 + ⋯ + a 0 = x → 0 lim a n − 1 = 0 g n − 1 ( x ) = 0 + g n − 2 ( x ) ⟹ g n − 1 ( x ) = 0 g_{n-1}(x)=0+g_{n-2}(x) \implies g_{n-1}(x)=0 g n − 1 ( x ) = 0 + g n − 2 ( x ) ⟹ g n − 1 ( x ) = 0 ∎