17 - משפט וירשטראס ורציפות במש — חשבון אינפיניטסימלי 1מ'

תרגיל

תהי $f$ רציפה ב- $[0,\infty)$ המקיימת $f(x)>0$ . בנוסף, נתון כי לכל $x>0$ מתקיים $f(x)\leq \frac{1}{x}$ .
הוכיחו כי $f$ מקבלת מקסימום ב- $[0,\infty)$ .

הוכחה:
מההרצאה, נדע כי $\frac{1}{x}\underset{x\to \infty}{\longrightarrow}0$ ⇐ לכל $\epsilon>0$ קיים $x_{0}$ כך שלכל $x>x_{0}$ מתקיים $\frac{1}{x}<\epsilon$ . בפרט עבור $\epsilon=f(0)>0$ . נקבל

\frac{1}{x}< f(0)

לפי הנתון, $f(x)\leq \frac{1}{x}<f(0)$ ולכן, המקסימום, אם ישנו לא מתקבל בקרן $(x_{0},\infty)$ .
ב- $[0,x_{0}]$ $f$ רציפה ולכן, לפי משפט $W$ מקבלת בקטע את ערכה המקסימלי ומכאן ש- $f$ מקבלת מקסימום ב- $[0,\infty)$ .
∎

תרגיל

תהי $f:[0,1]\to(0,1)$ פונקציה רציפה.
א. הוכיחו כי $f$ אינה על.
ב. הוכיחו כי לא קיימת $f:(0,1)\to[0,1]$ שהיא רציפה חח"ע ועל.

הוכחה: א'
הפונקציה $f$ רציפה ב- $[0,1]$ ולכן, לפי $W$ היא מקבלת מקסימום. נסמנו $M$ . לפי הנתון, $0<M<1$ . לפי צפיפות הממשיים, קיים $M<y<1$ ולכן $y$ אינו בתמונה ומכאן ש- $f$ אינה על.
∎

הוכחה: ב'
נניח בשלילה כי קיימת $f:(0,1)\to[0,1]$ שהיא רציפה, חח"ע ועל. אזי, לפי משפט, $f$ הפיכה וההפיכה שלה היא $f^{-1}:[0,1]\to(0,1)$ היא רציפה אבל אינה על כפי שהוכחנו ממקודם ולכן סתירה.
∎

תרגיל

א. תהי $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ רציפה וחיובית ממש כך ש- $\lim_{ x \to \infty }f(x)=\lim_{ x \to -\infty }f(x)=0$ . הוכיחו כי ל- $f$ יש מקסימום.
ב. מצאו דוגמה לפונקציה רציפה $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ שעבורה $\lim_{ x \to \infty }g(x)=\lim_{ x \to -\infty }g(x)=0$ אך אין לה מקסימום.

הוכחה: א'
נסמן $f(0)=c>0$ . $\lim_{ x \to \infty }f(x)=0$ $\impliedby$ לכל $\epsilon>0$ ובפרט ל- $\epsilon=c$ קיים $x_{0}>0$ כך שלכל $x>x_{0}$ מתקיים $f(x)<c$ .
בנוסף, $\lim_{ x \to -\infty }f(x)=0$ $\impliedby$ לכל $\epsilon>0$ ובפרט ל- $\epsilon=c$ קיים $x_{1}<0$ כך שלכל $x<x_{1}$ מתקיים $f(x)<c$ .
הפונקציה רציפה ב- $[x_{1},x_{0}]$ ולכן, לפי $W$ תקבל בקטע את ערכה המקסימלי $M$ שהיא המקסימום בכל הקרן $(-\infty,\infty)$ שכן $M\geq c$ .
∎

פתרון ב':
נראה את הפונקציה:

g(x)=-\frac{1}{1+x^2}

יהיה לנו הסבר לזה כאשר יהיו לנו נגזרות.

רציפות במ"ש

הגדרה 1 (רציפות במידה שווה)

$f$ רציפה במ"ש ב- $I$ אם לכל $\epsilon>0$ קיים $\delta>0$ כך שלכל $x,y \in I$ המקיימים $|x-y|<\delta$ מתקיים $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ .

משפט (קנטור-היינה)

פונקציה רציפה בקטע סגור ⇐ רציפה במ"ש בקטע זה.

תרגיל

תהי $f(x)=\frac{1}{x}$ כך ש- $x \in[a,\infty)$ כאשר $a>0$ .
א. האם $f$ רציפה במ"ש בקטע?
ב. האם הפונקציה רציפה במ"ש ב- $(0,\infty)$ ?

הוכחה: א'
יהי $\epsilon>0$ . אם נבחר $\delta=\epsilon a^2$ אזי לכל $x,y \in[a,\infty)$ כך ש- $|x-y|<\delta$ מתקיים:

|f(x)-f(y)|=\left| \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right|=\left| \frac{x-y}{xy} \right|\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ x,y\ \in\ [a,\infty) \end{matrix}}{\leq} \frac{|x-y|}{a^2}<\epsilon

ולכן $\frac{1}{x}$ רציפה במ"ש ב- $[a,\infty)$ .
∎

הוכחה: ב'
נקח $x=\frac{1}{n},y=\frac{2}{n}\in (0,\infty)$ .

|f(x)-f(y)|=\left| n-\frac{n}{2} \right|=\frac{n}{2}

עבור $\epsilon=\frac{1}{2}$ נוכל למצוא $n$ כך שלכל $\delta> \frac{1}{n}$ קיימים $x=\frac{1}{n},y=\frac{2}{n}$ .

|x-y|=\frac{1}{n}<\delta \implies |f(x)-f(y)| \geq \frac{1}{2}

ולכן, לא במ"ש בקטע.
∎

תרגיל

א. תנו דוגמה לפונקציה $g(x)$ רציפה במ"ש ב- $(0,1)$ כך ש- $\frac{1}{g(x)}$ מוגדרת אך לא רציפה במ"ש ב- $(0,1)$ .
ב. תהי $f$ רציפה במ"ש ב- $(0,1)$ ונתון כי קיים $\alpha>0$ כך שלכל $x \in(0,1)$ מתקיים $f(x)>\alpha$ . הוכיחו כי $\frac{1}{f(x)}$ רציפה במ"ש ב- $(0,1)$ .

פתרון א':
נסתכל על $y=x$ (יש לה נגזרת חסומה) ⇐ $\frac{1}{x}$ לא רציפה במ"ש ב- $(0,1)$ - הוכחנו.

הוכחה: ב'
יהי $\epsilon>0$ . נתון כי $f$ רציפה במ"ש ב- $(0,1)$ ולכן לכל $\epsilon_{1}>0$ קיימת $\delta>0$ כך שלכל $x,y \in(0,1)$ המקיימים $|x-y|<\delta$ מתקיים $|f(x)-f(y)|<\epsilon_{1}$ . בפרט, מתקיים ל- $\epsilon_{1}=\epsilon\alpha^2$ .

\left| \frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(y)} \right|=\frac{\left| f(x)-f(y) \right|}{|f(x)f(y)|}< \frac{|f(x)-f(y)|}{\alpha^2}< \frac{\alpha^2\epsilon}{\alpha^2}=\epsilon

∎

רציפות במ"ש

הגדרה 1 (רציפות במידה שווה)

$f$ רציפה במ"ש ב- $I$ אם לכל $\epsilon>0$ קיים $\delta>0$ כך שלכל $x,y \in I$ המקיימים $|x-y|<\delta$ מתקיים $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ .

משפט (קנטור-היינה)

פונקציה רציפה בקטע סגור ⇐ רציפה במ"ש בקטע זה.

תרגיל

תהי $f(x)=\frac{1}{x}$ כך ש- $x \in[a,\infty)$ כאשר $a>0$ .
א. האם $f$ רציפה במ"ש בקטע?
ב. האם הפונקציה רציפה במ"ש ב- $(0,\infty)$ ?

הוכחה: א'
יהי

\epsilon>0

. אם נבחר

\delta=\epsilon a^2

אזי לכל

x,y \in[a,\infty)

כך ש-

|x-y|<\delta

מתקיים:

|f(x)-f(y)|=\left| \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right|=\left| \frac{x-y}{xy} \right|\underset{\begin{matrix} \downarrow \\ x,y\ \in\ [a,\infty) \end{matrix}}{\leq} \frac{|x-y|}{a^2}<\epsilon

ולכן

\frac{1}{x}

רציפה במ"ש ב-

[a,\infty)

.
∎

הוכחה: ב'
נקח

x=\frac{1}{n},y=\frac{2}{n}\in (0,\infty)

|f(x)-f(y)|=\left| n-\frac{n}{2} \right|=\frac{n}{2}

עבור

\epsilon=\frac{1}{2}

נוכל למצוא

n

כך שלכל

\delta> \frac{1}{n}

קיימים

x=\frac{1}{n},y=\frac{2}{n}

|x-y|=\frac{1}{n}<\delta \implies |f(x)-f(y)| \geq \frac{1}{2}

ולכן, לא במ"ש בקטע.
∎

תרגיל

פתרון א':
נסתכל על

y=x

(יש לה נגזרת חסומה) ⇐

\frac{1}{x}

לא רציפה במ"ש ב-

(0,1)

- הוכחנו.

הוכחה: ב'
יהי

\epsilon>0

. נתון כי

f

רציפה במ"ש ב-

(0,1)

ולכן לכל

\epsilon_{1}>0

קיימת

\delta>0

כך שלכל

x,y \in(0,1)

המקיימים

|x-y|<\delta

מתקיים

|f(x)-f(y)|<\epsilon_{1}

. בפרט, מתקיים ל-

\epsilon_{1}=\epsilon\alpha^2

\left| \frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(y)} \right|=\frac{\left| f(x)-f(y) \right|}{|f(x)f(y)|}< \frac{|f(x)-f(y)|}{\alpha^2}< \frac{\alpha^2\epsilon}{\alpha^2}=\epsilon

∎