16 - נקודות אי רציפות, משפטי רציפות ומשפט וירשטראס — חשבון אינפיניטסימלי 1מ'

ישנם 3 סוגים של נקודות אי-רציפות:

אי רציפות סליקה: $\lim_{ x \to x_{0} }f(x)$ קיים אבל $\lim_{ x \to x_{0} }f(x)\neq f(x_{0})$ .

דוגמה

f(x)=\frac{x^3+1}{x+1}

\lim_{ x \to -1 } f(x)=\lim_{ x \to -1 } \frac{x^3+1}{x+1}=\lim_{ x \to -1 } \frac{\cancel{ (x+1) }(x^2-x+1)}{\cancel{ x+1 }}=3

אי רציפות קפיצה: $\lim_{ x \to x_{0}^+ }f(x)=L$ ו- $\lim_{ x \to x_{0}^- }f(x)=K$ אבל $K\neq L$ .

דוגמה

f(x)=\frac{x}{|x|}

\lim_{ x \to 0^+ } \frac{x}{x}=1 \qquad \lim_{ x \to 0^- } \frac{x}{-x}=-1

אי רציפות עיקרית: לפחות אחד מהגבולות החד צדדיים אינסופי או לא קיים.

דוגמה

f(x)=\frac{1}{x}

תרגיל

מיינו את נקודות אי-הרציפות של הפונקציה:

f(x)=\frac{(x+\pi)|x|}{\sin x},\quad x \in\left[ -\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]

כאשר $x=0$ :

\lim_{ x \to 0^+ } f(x)=\lim_{ x \to 0^+ } \frac{(x+\pi)x}{\sin x}=\pi

\lim_{ x \to 0^- } f(x)=\lim_{ x \to 0^- } \frac{(x-\pi)(-x)}{\sin x}=-\pi

זוהי נקודת אי רציפות מסוג קפיצה.

כאשר $x=\pi$ :

\lim_{ x \to \pi^+ } f(x)=\lim_{ x \to \pi^+ } \frac{(x+\pi)x}{\sin x}=-\infty

ולכן, זוהי אי-רציפות עיקרית.

כאשר $x=-\pi$ :

\lim_{ x \to -\pi } f(x)=\lim_{ x \to -\pi } \frac{(x+\pi)(-x)}{\sin x}=\lim_{ x \to -\pi } \frac{(x+\pi)(-x)}{-\sin(x+\pi)}=-\pi

לכן, זוהי נקודת אי-רציפות מסוג סליקה.

משפטי רציפות

ערך הביניים

משפט (ערך הביניים)

אם $f$ רציפה ב- $[a,b]$ וקיים $y$ כך ש- $f(a)<y<f(b)$ או $f(b)<y<f(a)$ אזי קיים $x \in(a,b)$ כך ש- $f(x)=y$ .

תרגיל

הראו כי למשוואה $e^x=x+2$ יש לפחות פתרון חיובי אחד ולפחות פתרון שלילי אחד בקטע $[-2,2]$ .

נגדיר פונקציה חדשה $f(x)=e^x-x-2$ . הפונקציה $f$ רציפה לכל $x$ שכן היא הפרש של רציפות ב- $[-2,2]$ . כמו כן, $f(2)=e^2-4>0$ ו- $f(0)=-1<0$ .
אז $f(0)<0<f(2)$ ולכן, לפי משפט ערך הביניים קיימת $c_{1} \in(0,2)$ כך - $f(c_{1})=0$ ומצאנו פתרון חיובי אחד לפחות.
הפונקציה $f$ רציפה בקטע $[-2,0]$ . $f(0)<0<f(-2)=e^{-2}$ ולכן, לפי משפט ערך הביניים קיימת $c_{2} \in(-2,0)$ כך ש- $f(c_{2})=0$ ומצאנו פתרון שלילי.

תרגיל

הוכיחו כי $f(x)=2x+3\sin x$ היא פונקציה על.

הוכחה:
יהי $y_{0} \in \mathbb{R}$ . לפי חשבון גבולות מורחב $\lim_{ x \to \infty }f(x)=\infty$ (אפשר גם לפי פיצה) ולכן, מהגדרת הגבול נובע כי קיים $x_{2}>0$ עבורו $f(x_{2})>y_{0}$ . וגם, $\lim_{ x \to -\infty }f(x)=-\infty$ ומהגדרת הגבול נובע כי קיים $x_{1}<0$ עבורו $f(x_{1})<y_{0}$ . $f$ רציפה בקטע $[x_{1},x_{2}]$ ומתקיים: $f(x_{1})<y_{0}<f(x_{2})$ ולכן, לפי משפט ערך הביניים קיים $x_{0} \in(x_{1},x_{2})$ כך ש- $f(x_{0})=y_{0}$ ומכאן ש- $f$ על.
∎

תרגיל

תהי $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ פונקציה רציפה כך ש- $f(0)=f(1)$ הראו כי לכל $n \in \mathbb{N}$ קיים $x \in\left[ 0,1-\frac{1}{n} \right]$ עבורו $f\left( x+\frac{1}{n} \right)=f(x)$ .

הוכחה:
נרצה להראות כי $f\left( x+\frac{1}{n} \right)-f(x)=0$ .
נגדיר $g(x)=f(x+\frac{1}{n})-f(x)$ . אנו יודעים כי $g(x)$ רציפה שכן היא הפרש של רציפות. נניח בשלילה כי $g(x)\neq 0$ לכל $x \in\left[ 0,1-\frac{1}{n} \right]$ .
לכן, ממסקנה של משפט ערך הביניים, $g(x)>0$ לכל $x$ בקטע או $g(x)<0$ לכל $x$ בקטע.
נניח בה"כ $g(x)>0$ לכל $x$ בקטע.

g(0)=f\left( \frac{1}{n} \right)-f(0)>0 \implies f\left( \frac{1}{n} \right)>f(0)

g\left( \frac{1}{n} \right)=f\left( \frac{2}{n} \right)-f\left( \frac{1}{n} \right)>0

g\left( 1-\frac{1}{n} \right)=f(1)-f\left( 1-\frac{1}{n} \right) \implies f(1)>f\left( \frac{n-1}{n} \right)

f(0)<f\left( \frac{1}{n} \right)<f\left( \frac{2}{n} \right)<\dots<f\left( \frac{n-1}{n} \right)<f(1)

וזוהי סתירה ומכאן ש- $g(x)$ מתאפסת לפחות פעם אחת בקטע.
∎

תרגיל

תהי $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ רציפה ומחזורית עם מחזור $T>0$ .
הוכיחו כי למשוואה $f\left( x+\frac{T}{2} \right)=f(x)$ יש לפחות פתרון אחד.

הוכחה:
נגדיר פונקציה חדשה $g(x)=f\left( x+\frac{T}{2} \right)-f(x)$ . $f$ מחזורית עם מחזור $T$ ⇐ $f(x+T)=f(x)$ .

g(0)=f\left( \frac{T}{2} \right)-f(0)

g\left( \frac{T}{2} \right)=f(T)-f\left( \frac{T}{2} \right)=f(0)-f\left( \frac{T}{2} \right)

אם $f\left( \frac{T}{2} \right)=f(0)$ אזי סיימנו.
אחרת, $g(0)=-g\left( \frac{T}{2} \right)$ ⇐ $g(0)<0<g\left( \frac{T}{2} \right)$ או $g\left( \frac{T}{2} \right)<0<g(0)$ . הפונקציה $g$ רציפה כי היא הפרש רציפות ולכן היא רציפה בפרט ב- $\left[ 0, \frac{T}{2} \right]$ ולכן, לפי משפט ערך הביניים קיימת $c \in\left( 0,\frac{T}{2} \right)$ כך ש- $g(c)=0$ .
∎

משפט ווישטראס

משפט (וירשטראס)

אם $f$ רציפה ב- $[a,b]$ אז היא מקבלת בקטע את ערכה המינימלי והמקסימלי (ולכן חסומה).

תרגיל

תהי $f$ רציפה ב- $[0,\infty)$ המקיימת $f(x)>0$ . בנוסף, נתון כי לכל $x>0$ מתקיים $f(x)\leq \frac{1}{x}$ .
הוכיחו כי $f$ מקבלת מקסימום ב- $[0,\infty)$ .

הוכחה:
$
\R{\text{המשך בשיעור הבא}}

<span class="halmos">∎</span>

ישנם 3 סוגים של נקודות אי-רציפות:

אי רציפות סליקה: $\lim_{ x \to x_{0} }f(x)$ קיים אבל $\lim_{ x \to x_{0} }f(x)\neq f(x_{0})$ .

דוגמה

f(x)=\frac{x^3+1}{x+1}

\lim_{ x \to -1 } f(x)=\lim_{ x \to -1 } \frac{x^3+1}{x+1}=\lim_{ x \to -1 } \frac{\cancel{ (x+1) }(x^2-x+1)}{\cancel{ x+1 }}=3

אי רציפות קפיצה: $\lim_{ x \to x_{0}^+ }f(x)=L$ ו- $\lim_{ x \to x_{0}^- }f(x)=K$ אבל $K\neq L$ .

דוגמה

f(x)=\frac{x}{|x|}

\lim_{ x \to 0^+ } \frac{x}{x}=1 \qquad \lim_{ x \to 0^- } \frac{x}{-x}=-1

אי רציפות עיקרית: לפחות אחד מהגבולות החד צדדיים אינסופי או לא קיים.

דוגמה

f(x)=\frac{1}{x}

תרגיל

מיינו את נקודות אי-הרציפות של הפונקציה:

f(x)=\frac{(x+\pi)|x|}{\sin x},\quad x \in\left[ -\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]

כאשר $x=0$ :

\lim_{ x \to 0^+ } f(x)=\lim_{ x \to 0^+ } \frac{(x+\pi)x}{\sin x}=\pi

\lim_{ x \to 0^- } f(x)=\lim_{ x \to 0^- } \frac{(x-\pi)(-x)}{\sin x}=-\pi

זוהי נקודת אי רציפות מסוג קפיצה.

כאשר $x=\pi$ :

\lim_{ x \to \pi^+ } f(x)=\lim_{ x \to \pi^+ } \frac{(x+\pi)x}{\sin x}=-\infty

ולכן, זוהי אי-רציפות עיקרית.

כאשר $x=-\pi$ :

\lim_{ x \to -\pi } f(x)=\lim_{ x \to -\pi } \frac{(x+\pi)(-x)}{\sin x}=\lim_{ x \to -\pi } \frac{(x+\pi)(-x)}{-\sin(x+\pi)}=-\pi

לכן, זוהי נקודת אי-רציפות מסוג סליקה.

משפטי רציפות

ערך הביניים

משפט (ערך הביניים)

אם $f$ רציפה ב- $[a,b]$ וקיים $y$ כך ש- $f(a)<y<f(b)$ או $f(b)<y<f(a)$ אזי קיים $x \in(a,b)$ כך ש- $f(x)=y$ .

תרגיל

הראו כי למשוואה $e^x=x+2$ יש לפחות פתרון חיובי אחד ולפחות פתרון שלילי אחד בקטע $[-2,2]$ .

תרגיל

הוכיחו כי $f(x)=2x+3\sin x$ היא פונקציה על.

תרגיל

g(0)=f\left( \frac{1}{n} \right)-f(0)>0 \implies f\left( \frac{1}{n} \right)>f(0)

g\left( \frac{1}{n} \right)=f\left( \frac{2}{n} \right)-f\left( \frac{1}{n} \right)>0

g\left( 1-\frac{1}{n} \right)=f(1)-f\left( 1-\frac{1}{n} \right) \implies f(1)>f\left( \frac{n-1}{n} \right)

f(0)<f\left( \frac{1}{n} \right)<f\left( \frac{2}{n} \right)<\dots<f\left( \frac{n-1}{n} \right)<f(1)

וזוהי סתירה ומכאן ש- $g(x)$ מתאפסת לפחות פעם אחת בקטע.
∎

תרגיל

תהי $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ רציפה ומחזורית עם מחזור $T>0$ .
הוכיחו כי למשוואה $f\left( x+\frac{T}{2} \right)=f(x)$ יש לפחות פתרון אחד.

הוכחה:
נגדיר פונקציה חדשה $g(x)=f\left( x+\frac{T}{2} \right)-f(x)$ . $f$ מחזורית עם מחזור $T$ ⇐ $f(x+T)=f(x)$ .

g(0)=f\left( \frac{T}{2} \right)-f(0)

g\left( \frac{T}{2} \right)=f(T)-f\left( \frac{T}{2} \right)=f(0)-f\left( \frac{T}{2} \right)

משפט ווישטראס

משפט (וירשטראס)

אם $f$ רציפה ב- $[a,b]$ אז היא מקבלת בקטע את ערכה המינימלי והמקסימלי (ולכן חסומה).

תרגיל

הוכחה:
$
\R{\text{המשך בשיעור הבא}}

<span class="halmos">∎</span>