אם f(x)<1 לכל x וגם limx→∞f(x) קיים, אזי limx→∞f(x)<1.
הטענה לא נכונה.
דוגמה: f:R→R
f=1−1+x21
זוהי פונקציה המקיימת את התנאים ו-limx→∞f(x)=1.
אם limx→∞gf=1 אז limx→∞(f−g)=0.
הטענה אינה נכונה.
דוגמה נגדית: f:R→R
f(x)=x3g(x)=x3+1
g(x)f(x)=x3+1x3x→∞⟶1
f−g=−1⟹x→∞lim(f−g)=0
אם limx→∞(f−g)=1 וגם limx→∞g=∞ אז limx→∞gf=1.
הטענה נכונה.
לפי חשבון גבולות: limx→∞g=∞ ⇐ limx→∞g1=0 ולכן:
x→∞limgf=x→∞lim(f−g)⋅g1+1=0+1=1
אם limx→5f(x)=5 אז limx→5f(f(x))=5.
הטענה לא נכונה.
f(x)={05x=5x=5
נראה כי limx→5f(x)=5 אבל f(5)=0 ולכן, limx→5f(f(x))=0.
אם limx→∞(f(x))x=∞ אזי limx→∞f(x)=∞.
הטענה אינה נכונה.
f(x)=5x→∞⟶∞
5xx→∞⟶∞
אם f(x)>0 לכל x וגם limx→∞fx1(x)=∞ אז limx→∞f(x)=∞.
הטענה נכונה.
הוכחה:
נקח fx1(x)⟶∞ ⇐ קיים x0 כך שלכל x>x0 fx1(x)>2.
f(x)>2x⟶∞
ולכן, לפי פיצה limx→∞f(x)=∞.
∎
הגדרת הגבול
הוכיחו לפי הגדרה כי
x→∞lim3x2+3x−12x2+2x+7=32
הוכחה:
צ"ל לכל ε>0 קיים x0 כך שלכל x>x0 מתקיים:
3x2+3x−12x2+2x+7−32<ε
יהי ε>0. נפשט את ההפרש:
3x2+3x−12x2+2x+7−32=3(3x2+3x−1)6x2+6x+21−6x2−6x+2=3∣3x2+3x−1∣23
אם x>1 אז:
3∣3x2+3x−1∣23=3(3x2+3x−1)23<3(3x2)23<9x227=x23
לכן, אם נבחר x0=max{1,23} אז:
f(x)−32<x23<ε
∎
הגדרה 1 (שאיפה ל-
−∞)
לכל M<0 קיים x0 כך שלכל x<x0 מתקיים:
f(x)<M
הוכיחו לפי ההגדרה כי
x→−∞limx2+1x3=−∞
הוכחה:
יהי M>0. נבחר x<−1 ואז x2>1.
x2+1x2>2x2x2=21
0<x2+1<2x2
נכפיל ב-x. x שלילי ולכן:
x2+1x3<2x
ולכן, אם נבחר x0=min{−1,2M} אזי לכל x<x0 מתקיים:
x2+1x3<M
∎
הוכיחו כי מתקיים:
x→∞lim2x2+1−4x3+7x=−∞
צ"ל: לכל M<0 קיים x0 כך שלכל x>x0 מתקיים: 2x2+1−4x3+7x<M.
הוכחה:
יהי M<0. אם x>1 אזי: −4x3+7x<−4x3+3x3=−x3. בנוסף, 2x2+1<3x2.
2x2+1−4x3+7x<3x2−x3=−3x
ולכן, אם נבחר x0=max{1,−3M} אזי, לכל x>x0 מתקיים
2x2+1−4x3+7x<−3x<M
∎
הוכיחו לפי ההגדרה כי:
x→−∞limx2+12x2−3x+1=2
צ"ל: לכל ε>0 קיים x0 כך שלכל x<x0 מתקיים: x2+12x2−3x+1−2<ε
הוכחה:
יהי ε>0. נפשט את ההפרש:
x2+12x2−3x+1−2=x2+1−3x−1↓x<−1לכל =x2+1−3x−1<x2+1−3x<x2−3x=−x3
ולכן, אם נבחר x0=min{−1,−ε3} אז לכל x<x0 נקבל:
x2+12x2−3x+1−2<−x3<ε
∎