1 - אינדוקציה וערך מוחלט — חשבון אינפיניטסימלי 1מ'

אינדוקציה

רלוונטי רק למספרים טבעיים.

שלבי האינדוקציה:

בסיס האינדוקציה: בודקים שהטענה נכונה עבור $n=1$ .(לאו דווקא 1 אלא $n$ התחלתי כלשהו שממנו האינדוקציה נכונה)
הנחת האינדוקציה: מניחים שהטענה נכונה החל מ- $n\geq1$ מסוים
הוכחה: מוכיחים כי הטענה נכונה עבור $n+1$ .

דוגמה (אי שוויון ברנולי)

\forall x>-1, \forall n \in \mathbb{N}:\quad (1+x)^n\geq 1+nx

נוכיח או נפריח את הטענה באינודקציה.
בסיס: $n=1$

(1+x)^1\geq 1+1x

זהו משפט אמת ולכן הבסיס מתקיים
הנחה: נניח שעבור $n\geq 1$ מסויים: $(1+x)^n \geq 1+nx$ ונוכיח כי

(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x

(1+x)^{n+1}=(1+x)^n(1+x)\geq (1+nx)(1+x)=1+x+nx+nx^2

מכיוון ש- $nx^2>0$ לכל $x$ וכל $n$ :

1+(1+n)x+nx^2\geq 1+(1+n)x

ולכן הטענה מתקיימת.

תרגיל

נתונה נוסחת הנסיגה:

a_{1}=1, a_{n+1}=\sqrt{ 54+3a_{n} }

הוכיחו באינדוקציה כי $\forall n \in \mathbb{N}$
א. $a_{n}\leq 9$ (הוכחה שהסדרה חסומה מלמעלה)
ב. $a_{n+1}\geq a_{n}$ (הוכחה שהסדרה עולה)

הוכחה: סעיף א'
בסיס: $n=1$ ⇐ $a_{1}=1\leq9$ ⇐ טענת הבסיס נכונה.
הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n\geq1$ מסוים כלומר $a_{n}\geq 9$ ונוכיח $a_{n+1}\leq 9$ :
לפי הנחת האינדוקציה נראה כי 9 גדול או שווה ל- $a_{n}$ ולכן:

a_{n+1}=\sqrt{ 54+3a_{n} }\leq\sqrt{ 54+3*9 }=9

וכך הוכחנו כי טענה א' נכונה.
‎∎

הוכחה: סעיף ב'
בסיס: $n=1$ $a_{1}=1$ .

a_{2}=\sqrt{ 54+3*a_{1} }=\sqrt{ 57 }>1=a_{1}

הנחה: נניח כי עבור $n\geq1$ מסויים $a_{n+1}\geq a_{n}$ ונוכיח כי $a_{n+2}>a_{n+1}$ :

a_{n+2}=\sqrt{ 54+3a_{n+1} }\geq \sqrt{ 54+3a_{n} }=a_{n+1}

וכך הוכחנו כי טענה ב' נכונה.
‎∎

תרגיל

הוכיחו באינדוקציה כי

\forall n \in \mathbb{N},n\geq3:\quad n^{n+1}>(n+1)^n

הוכחה:
בסיס: $n=3$

3^4=81>4^3=64

הנחה:
נניח כי מתקיים $n^{n+1}>(n+1)^n$ לכל $n\geq3$ ונוכיח כי מתקיים $(n+1)^{n+2}>(n+2)^{n+1}$ :
לפי ההנחה

n^{n+1}>(n+1)^n /(n+1)^{n+2}

שני האגפים חיוביים.

(n+1)^{n+2}n^{n+1}>(n+1)^n(n+1)^{n+2} / :n^{n+1}

(n+1)^{n+2}> \frac{(n+1)^n(n+1)^{n+2}}{n^n+1}=\frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{n+1}}= \frac{((n+1)^2)^{n+1}}{n^{n+1}}=\frac{(n^2+2n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}

כעת נרצה להקטין את הביטוי ע"י הקטנת המונה: אנו יודעים כי $n^2+2n+1$ יותר גדול מ- $n^2-2n$ שיותר גדול מ- $1$ ולכן ניתן להקטין מכנה וכך להקטין את הביטוי כולו.

\frac{(n^2+2n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}> \frac{(n^2+2n)^{n+1}}{n^{n+1}}=\left( \frac{n^2+2n}{n} \right)^{n+1}=(n+2)^{n+1}

ולכן:

(n+1)^{n+2}> (n+2)^{n+1}

וכך הוכחנו באינדוקציה כי הטענה נכונה.
‎∎

הגדרה 1 (ערך מוחלט)

|x|=\begin{cases} x,\quad x\geq0 \\ -x,\quad x<0 \end{cases}

התכונות:

$|x|=|-x|$
$-|x|\leq x\leq |x|$
$|xy|=|x||y|$
$|x|\leq b \iff -b\leq x\leq b$
$|x|\geq b \iff x\geq b\ or\ x\leq-b$
אי שוויון המשולש: $|x\pm y|\geq|x|+|y|$
אי שוויון המשולש ההפוך:

||x|-|y||\leq |x\pm y|

תרגיל

הוכיחו כי אם $|x+1|< \frac{1}{10}$ אזי:

|\frac{x^2-1}{x+3}|< \frac{1}{9}

הוכחה:
נתחיל בלפשט את הביטוי:

|\frac{(x^2-1)}{x+3}|=| \frac{(x-1)(x+1)}{x+3} |=\frac{|x-1||x+1|}{|x+3|}< \frac{|x-1| \frac{1}{10}}{|x+3|}

נסתכל על טענת המקור כדי למצוא עוד מידע:

|x+1|< \frac{1}{10}

-\frac{1}{10}< x+1 < \frac{1}{10}

-\frac{21}{10}< x-1 < -\frac{19}{10}

\frac{19}{10} < |x-1|< \frac{21}{10}

ננסה להגיע $|x+3|$ :

\frac{19}{10}< |x+3|< \frac{21}{10}

לפי מה שראינו הרגע:

\frac{|x-1| \frac{1}{10}}{|x+3|}< \frac{\frac{21}{10} \frac{1}{10}}{|x+3|}< \frac{\frac{21}{10} \frac{1}{10}}{\frac{19}{10}}=\frac{21}{190}< \frac{1}{9}

כך הוכחנו את הטענה.
‎∎

אינדוקציה

רלוונטי רק למספרים טבעיים.

שלבי האינדוקציה:

בסיס האינדוקציה: בודקים שהטענה נכונה עבור $n=1$ .(לאו דווקא 1 אלא $n$ התחלתי כלשהו שממנו האינדוקציה נכונה)
הנחת האינדוקציה: מניחים שהטענה נכונה החל מ- $n\geq1$ מסוים
הוכחה: מוכיחים כי הטענה נכונה עבור $n+1$ .

דוגמה (אי שוויון ברנולי)

\forall x>-1, \forall n \in \mathbb{N}:\quad (1+x)^n\geq 1+nx

נוכיח או נפריח את הטענה באינודקציה.
בסיס: $n=1$

(1+x)^1\geq 1+1x

זהו משפט אמת ולכן הבסיס מתקיים
הנחה: נניח שעבור $n\geq 1$ מסויים: $(1+x)^n \geq 1+nx$ ונוכיח כי

(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x

(1+x)^{n+1}=(1+x)^n(1+x)\geq (1+nx)(1+x)=1+x+nx+nx^2

מכיוון ש- $nx^2>0$ לכל $x$ וכל $n$ :

1+(1+n)x+nx^2\geq 1+(1+n)x

ולכן הטענה מתקיימת.

תרגיל

נתונה נוסחת הנסיגה:

a_{1}=1, a_{n+1}=\sqrt{ 54+3a_{n} }

הוכיחו באינדוקציה כי $\forall n \in \mathbb{N}$
א. $a_{n}\leq 9$ (הוכחה שהסדרה חסומה מלמעלה)
ב. $a_{n+1}\geq a_{n}$ (הוכחה שהסדרה עולה)

a_{n+1}=\sqrt{ 54+3a_{n} }\leq\sqrt{ 54+3*9 }=9

וכך הוכחנו כי טענה א' נכונה.
‎∎

הוכחה: סעיף ב'
בסיס: $n=1$ $a_{1}=1$ .

a_{2}=\sqrt{ 54+3*a_{1} }=\sqrt{ 57 }>1=a_{1}

הנחה: נניח כי עבור $n\geq1$ מסויים $a_{n+1}\geq a_{n}$ ונוכיח כי $a_{n+2}>a_{n+1}$ :

a_{n+2}=\sqrt{ 54+3a_{n+1} }\geq \sqrt{ 54+3a_{n} }=a_{n+1}

וכך הוכחנו כי טענה ב' נכונה.
‎∎

תרגיל

הוכיחו באינדוקציה כי

\forall n \in \mathbb{N},n\geq3:\quad n^{n+1}>(n+1)^n

הוכחה:
בסיס: $n=3$

3^4=81>4^3=64

הנחה:
נניח כי מתקיים $n^{n+1}>(n+1)^n$ לכל $n\geq3$ ונוכיח כי מתקיים $(n+1)^{n+2}>(n+2)^{n+1}$ :
לפי ההנחה

n^{n+1}>(n+1)^n /(n+1)^{n+2}

שני האגפים חיוביים.

(n+1)^{n+2}n^{n+1}>(n+1)^n(n+1)^{n+2} / :n^{n+1}

(n+1)^{n+2}> \frac{(n+1)^n(n+1)^{n+2}}{n^n+1}=\frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{n+1}}= \frac{((n+1)^2)^{n+1}}{n^{n+1}}=\frac{(n^2+2n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}

\frac{(n^2+2n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}> \frac{(n^2+2n)^{n+1}}{n^{n+1}}=\left( \frac{n^2+2n}{n} \right)^{n+1}=(n+2)^{n+1}

ולכן:

(n+1)^{n+2}> (n+2)^{n+1}

וכך הוכחנו באינדוקציה כי הטענה נכונה.
‎∎

הגדרה 1 (ערך מוחלט)

|x|=\begin{cases} x,\quad x\geq0 \\ -x,\quad x<0 \end{cases}

התכונות:

$|x|=|-x|$
$-|x|\leq x\leq |x|$
$|xy|=|x||y|$
$|x|\leq b \iff -b\leq x\leq b$
$|x|\geq b \iff x\geq b\ or\ x\leq-b$
אי שוויון המשולש: $|x\pm y|\geq|x|+|y|$
אי שוויון המשולש ההפוך:

||x|-|y||\leq |x\pm y|

תרגיל

הוכיחו כי אם $|x+1|< \frac{1}{10}$ אזי:

|\frac{x^2-1}{x+3}|< \frac{1}{9}

הוכחה:
נתחיל בלפשט את הביטוי:

|\frac{(x^2-1)}{x+3}|=| \frac{(x-1)(x+1)}{x+3} |=\frac{|x-1||x+1|}{|x+3|}< \frac{|x-1| \frac{1}{10}}{|x+3|}

נסתכל על טענת המקור כדי למצוא עוד מידע:

|x+1|< \frac{1}{10}

-\frac{1}{10}< x+1 < \frac{1}{10}

-\frac{21}{10}< x-1 < -\frac{19}{10}

\frac{19}{10} < |x-1|< \frac{21}{10}

ננסה להגיע $|x+3|$ :

\frac{19}{10}< |x+3|< \frac{21}{10}

לפי מה שראינו הרגע:

\frac{|x-1| \frac{1}{10}}{|x+3|}< \frac{\frac{21}{10} \frac{1}{10}}{|x+3|}< \frac{\frac{21}{10} \frac{1}{10}}{\frac{19}{10}}=\frac{21}{190}< \frac{1}{9}

כך הוכחנו את הטענה.
‎∎