גליון 3 — חשבון אינפיניטסימלי 1מ'

תרגיל 1

תרגיל (1 [א])

הראו ע"י שלילת הגדרת הגבול:

\lim_{ n \to \infty } \frac{4n+2}{n+7}\neq 2

הוכחה:
קיים $\epsilon>0$ .

\left| \frac{4n+2}{n+7}-2 \right|=\left| \frac{8n+4-2n-14}{2n+14} \right|=\left| \frac{6n-10}{2n+14} \right|=\left| \frac{\cancel{ 2 }(3n-5)}{\cancel{2}(n+7)} \right|> \left| \frac{3n-21}{n+7} \right|=\left| \frac{3(n-7)}{n+7} \right|= \frac{|3||n-7|}{|n+7|}

>\frac{|n-7|}{|n+7|}> \frac{7}{n+7}=7 \frac{1}{n}+1>1

ולכן קיים $\epsilon=1$ כך שלכל $N$ קיים $n>N$ שמקיים:

\left| \frac{4n+2}{n+7}-2 \right|\geq 1 = \epsilon

‎∎

תרגיל (1 [ב])

הראו בעזרת הגדרת הגבול כי לא קיים מספר ממשי $L$ שהוא גבול של הסדרה $n^2$ .

הדרכה: הראו שהגדרת הגבול אינה מתקיימת עבור $\epsilon=1$ .

הוכחה:

|n^2-L|

במידה ו- $L\leq0$ אנו יודעים כי לכל $n>N$ ( $N\geq1$ ):

|n^2-L|=n^2-L>1

אם $L>0$ אזי, במידה ונקח $N=2L$ לכל $n>N$ יתקים כי $n^2>2L$ :

n^2-L>N-L=2L-L=L

לכן, קיים $\epsilon=L$ כך שלכל $N$ קיים $n>N$ כך ש:

|n^2-L|> L

‎∎

תרגיל 2

תרגיל (2)

הוכיחו: כל מספר ממשי הינו גבול של סדרת רציונליים וגם של סדרה של אי-רציונליים.

הוכחה:
יהי $x \in \mathbb{R}$ . נסתכל על 2 מצבים:

כאשר $x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ :
תחילה, נדע כי $x$ הינו גבול של סדרת האי-רציונליים: $a_{n}=x$ . שכן סדרה קבועה שואפת לקבוע אשר הינו איבר בה.
במצב בו נסתכל על סדרה של רציונליים: על פי צפיפות הרציונליים, בין כל שני מספרים ממשיים קיים מספר רציונלי ולכן, קיימת סדרה אשר בה כל איבר הוא המספר הרציונלי אשר בין האיבר הקודם בסדרה ו- $x$ אשר הינו אי רציונלי. במילים אחרות, קיימת סדרה שהיא אינסוף המספרים הרציונליים בין מספר רציונלי התחלתי למספר $x$ . לכן, סדרה זו שואפת ל- $x$ אשר הינו אי רציונלי.
כאשר $x \in \mathbb{Q}$ :
תחילה, נדע כי $x$ הינו הגבול של סדרת הרציונליים: $a_{n}=x$ שכן סדרה קבועה שואפת לקבוע אשר הינו איבר בה.
במצב בו נסתכל על סדרה של אי רציונליים, לפני כן, נוכיח כי בין כל שני מספרים ממשיים קיים מספר אי רציונלי.
יהיו $a,b \in \mathbb{R}$ כאשר $a<b$ . נקח את המספר האי רציונלי $\frac{\sqrt{ 2 }}{2}$ ונכפיל אותו בהפרש בין $a$ ל- $b$ וכך נקבל מספר אי רציונלי שנמצא בין 0 ל- $b-a$ ולכן, אם נוסיף $a$ נקבל מספר אי רציונלי בין $a$ ל- $b$ כך:

a< a+\frac{\sqrt{ 2 }}{2}(b-a)<b

ולכן, בין כל שני מספרים ממשיים קיים מספר אי רציונלי.
לכן, בהתאם למה שביצענו כאשר $x$ היה אי רציונלי, נקח מספר התחלתי $a$ אי רציונלי והאיבר הבא בסדרה יהיה המספר האי רציונלי שבין $a$ ל- $x$ הרציונלי וכן הלאה וכן הלאה. וכך נוצרת סדרת מספרים אי רציונליים אשר שואפת למספר הרציונלי $x$ .
‎∎

תרגיל 3

תרגיל (3)

תהי $a_{n}$ סדרה מתכנסת.
הוכיחו שיש לה איבר מינימלי או איבר מקסימלי(או שניהם)

הערה: איבר מינימלי הוא איבר $a_{m}$ המקיים $a_{m}\leq a_{n}$ לכל $n$ .

הוכחה:
נחלק את ההוכחה ל-2 מקרים:

סדרות קבועות, אשר בהן כל איבר הוא המינימלי והמקסימלי מפני שיש רק איבר אחד.
סדרות שאינן קבועות:
לכל סדרה מתכנסת קיים $\epsilon>0$ כך שיש מספר סופי של איברים מחוץ ל- $\epsilon$ -סביבה של הגבול ולכן קיים מספר סופי של איברים אשר קטנים או גדולים משאר אברי הסדרה.
כתוצאה, אחד מהם לפחות בהכרח מקיים $a_{m}\leq a_{n}$ או $a_{m}\geq a_{n}$ לכל $n$ .
‎∎

תרגיל 4

תרגיל (4)

הוכיחו בעזרת הגדרת הגבול בלבד שאם $\lim_{ n \to \infty }a_{n}=L$ אז, $\lim_{ n \to \infty }a_{n}^2=L^2$ .

הוכחה:
יהי $\epsilon>0$ .

|a_{n}^2-L^2|=|(a_{n}-L)(a_{n}+L)|=|a_{n}-L||a_{n}+L|

יהי $\epsilon_{1}>0$ אשר בשבילו קיים $N_{1}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|a_{n}-L|<\epsilon_{1}$ ולכן:

|a_{n}-L||a_{n}+L|<\epsilon_{1} |a_{n}-L+L+L|< \epsilon_{1}|a_{n}-L|+\epsilon_{1}|2L|=\epsilon_{1}^2+\epsilon_{1} |2L|

נבחר $\epsilon_{1}=\sqrt{ L^2+\epsilon }-|L|>0$ (הערה: מספר זה גדול מאפס שכן $\sqrt{ L^2 }-|L|=0$ ו- $\epsilon>0$ )

(\sqrt{ L^2+\epsilon }-|L|)^2+(\sqrt{ L^2+\epsilon }-|L|)|2L|=L^2+\epsilon-2|L|\sqrt{ L^2+\epsilon }+|L|^2+2|L|\sqrt{ L^2+\epsilon }-2|L|^2=L^2+\epsilon-|L|^2=\epsilon

ולכן, קיים $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים:

|a_{n}^2-L^2|<\epsilon

‎∎

תרגיל 1

תרגיל (1 [א])

הראו ע"י שלילת הגדרת הגבול:

\lim_{ n \to \infty } \frac{4n+2}{n+7}\neq 2

הוכחה:
קיים $\epsilon>0$ .

\left| \frac{4n+2}{n+7}-2 \right|=\left| \frac{8n+4-2n-14}{2n+14} \right|=\left| \frac{6n-10}{2n+14} \right|=\left| \frac{\cancel{ 2 }(3n-5)}{\cancel{2}(n+7)} \right|> \left| \frac{3n-21}{n+7} \right|=\left| \frac{3(n-7)}{n+7} \right|= \frac{|3||n-7|}{|n+7|}

>\frac{|n-7|}{|n+7|}> \frac{7}{n+7}=7 \frac{1}{n}+1>1

ולכן קיים $\epsilon=1$ כך שלכל $N$ קיים $n>N$ שמקיים:

\left| \frac{4n+2}{n+7}-2 \right|\geq 1 = \epsilon

‎∎

תרגיל (1 [ב])

הראו בעזרת הגדרת הגבול כי לא קיים מספר ממשי $L$ שהוא גבול של הסדרה $n^2$ .

הדרכה: הראו שהגדרת הגבול אינה מתקיימת עבור $\epsilon=1$ .

הוכחה:

|n^2-L|

במידה ו- $L\leq0$ אנו יודעים כי לכל $n>N$ ( $N\geq1$ ):

|n^2-L|=n^2-L>1

אם $L>0$ אזי, במידה ונקח $N=2L$ לכל $n>N$ יתקים כי $n^2>2L$ :

n^2-L>N-L=2L-L=L

לכן, קיים $\epsilon=L$ כך שלכל $N$ קיים $n>N$ כך ש:

|n^2-L|> L

‎∎

תרגיל 2

תרגיל (2)

הוכיחו: כל מספר ממשי הינו גבול של סדרת רציונליים וגם של סדרה של אי-רציונליים.

הוכחה:
יהי $x \in \mathbb{R}$ . נסתכל על 2 מצבים:

כאשר $x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ :
תחילה, נדע כי $x$ הינו גבול של סדרת האי-רציונליים: $a_{n}=x$ . שכן סדרה קבועה שואפת לקבוע אשר הינו איבר בה.
במצב בו נסתכל על סדרה של רציונליים: על פי צפיפות הרציונליים, בין כל שני מספרים ממשיים קיים מספר רציונלי ולכן, קיימת סדרה אשר בה כל איבר הוא המספר הרציונלי אשר בין האיבר הקודם בסדרה ו- $x$ אשר הינו אי רציונלי. במילים אחרות, קיימת סדרה שהיא אינסוף המספרים הרציונליים בין מספר רציונלי התחלתי למספר $x$ . לכן, סדרה זו שואפת ל- $x$ אשר הינו אי רציונלי.
כאשר $x \in \mathbb{Q}$ :
תחילה, נדע כי $x$ הינו הגבול של סדרת הרציונליים: $a_{n}=x$ שכן סדרה קבועה שואפת לקבוע אשר הינו איבר בה.
במצב בו נסתכל על סדרה של אי רציונליים, לפני כן, נוכיח כי בין כל שני מספרים ממשיים קיים מספר אי רציונלי.
יהיו $a,b \in \mathbb{R}$ כאשר $a<b$ . נקח את המספר האי רציונלי $\frac{\sqrt{ 2 }}{2}$ ונכפיל אותו בהפרש בין $a$ ל- $b$ וכך נקבל מספר אי רציונלי שנמצא בין 0 ל- $b-a$ ולכן, אם נוסיף $a$ נקבל מספר אי רציונלי בין $a$ ל- $b$ כך:

a< a+\frac{\sqrt{ 2 }}{2}(b-a)<b

תרגיל 3

תרגיל (3)

תהי $a_{n}$ סדרה מתכנסת.
הוכיחו שיש לה איבר מינימלי או איבר מקסימלי(או שניהם)

הערה: איבר מינימלי הוא איבר $a_{m}$ המקיים $a_{m}\leq a_{n}$ לכל $n$ .

הוכחה:
נחלק את ההוכחה ל-2 מקרים:

סדרות קבועות, אשר בהן כל איבר הוא המינימלי והמקסימלי מפני שיש רק איבר אחד.
סדרות שאינן קבועות:
לכל סדרה מתכנסת קיים $\epsilon>0$ כך שיש מספר סופי של איברים מחוץ ל- $\epsilon$ -סביבה של הגבול ולכן קיים מספר סופי של איברים אשר קטנים או גדולים משאר אברי הסדרה.
כתוצאה, אחד מהם לפחות בהכרח מקיים $a_{m}\leq a_{n}$ או $a_{m}\geq a_{n}$ לכל $n$ .
‎∎

תרגיל 4

תרגיל (4)

הוכיחו בעזרת הגדרת הגבול בלבד שאם $\lim_{ n \to \infty }a_{n}=L$ אז, $\lim_{ n \to \infty }a_{n}^2=L^2$ .

הוכחה:
יהי $\epsilon>0$ .

|a_{n}^2-L^2|=|(a_{n}-L)(a_{n}+L)|=|a_{n}-L||a_{n}+L|

יהי $\epsilon_{1}>0$ אשר בשבילו קיים $N_{1}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|a_{n}-L|<\epsilon_{1}$ ולכן:

|a_{n}-L||a_{n}+L|<\epsilon_{1} |a_{n}-L+L+L|< \epsilon_{1}|a_{n}-L|+\epsilon_{1}|2L|=\epsilon_{1}^2+\epsilon_{1} |2L|

נבחר $\epsilon_{1}=\sqrt{ L^2+\epsilon }-|L|>0$ (הערה: מספר זה גדול מאפס שכן $\sqrt{ L^2 }-|L|=0$ ו- $\epsilon>0$ )

(\sqrt{ L^2+\epsilon }-|L|)^2+(\sqrt{ L^2+\epsilon }-|L|)|2L|=L^2+\epsilon-2|L|\sqrt{ L^2+\epsilon }+|L|^2+2|L|\sqrt{ L^2+\epsilon }-2|L|^2=L^2+\epsilon-|L|^2=\epsilon

ולכן, קיים $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים:

|a_{n}^2-L^2|<\epsilon

‎∎