גליון 12 — חשבון אינפיניטסימלי 1מ'

תרגיל 1

תרגיל (1)

תהי $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ פונקציה גזירה שלוש פעמים. נתון כי $f(-1)=f(0)=0,f(1)=1,f'(0)=0$ .
הוכיחו כי קיימת $c \in(-1,1)$ כך ש- $f'''(c)\geq 3$ .
רמז: מצאו קירובים של $f(-1),f(1)$ בעזרת פולינום מקלורן.

הוכחה:
הפונקציה $f$ גזירה בסביבת $x_{0}=0$ כך ש- $\pm1$ נמצאים בה. לכן, על פי משפט טיילור ה- $\mathrm{I}$ , קיימת $c_{1} \in(-1,1)$ כך ש:

f(x)=\underbracket{f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2}_{P_{2}(x)}+\underbracket{\frac{f'''(c_{1})}{3!}x^3}_{R_{2}(x)}

∎

תרגיל 2

תרגיל (2 [א])

נסמן ב- $P_{n}(x)$ את פולינום טיילור ממעלה $n$ של $f$ סביב $a$ וב- $R_{n}(x)$ את השארית.
הוכיחו שאם $f$ גזירה $n$ פעמים בסביבת $a$ אז לכל סדרה $x_{k}\underset{k\to \infty}{\longrightarrow}a$ מתקיים $\lim_{ k \to \infty }P_{n}(x_{k})=f(a)$ .

הוכחה:

∎

תרגיל 1

תרגיל (1)

הוכחה:
הפונקציה

f

גזירה בסביבת

x_{0}=0

כך ש-

\pm1

נמצאים בה. לכן, על פי משפט טיילור ה-

\mathrm{I}

, קיימת

c_{1} \in(-1,1)

כך ש:

f(x)=\underbracket{f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2}_{P_{2}(x)}+\underbracket{\frac{f'''(c_{1})}{3!}x^3}_{R_{2}(x)}

∎

תרגיל 2

תרגיל (2 [א])

הוכחה:

∎