יהיו $D,E$ שתי קבוצות. פונקציה היא כלל המתאים לכל איבר $x \in D$ איבר יחיד $y \in E$.

בקורס הזה נדבר בעיקר על $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

בהינתן $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ גרף הפונקציה הוא אוסף הנקודות $(x,f(x))$.

הפונקציה $f$ תקרא מונוטונית:

• עולה בתחום $D$ אם $x_{1}<x_{2}$ ⇐ $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ לכל $x_{1},x_{2}\in D$.
• עולה ממש בתחום $D$ אם $x_{1}<x_{2}$ ⇐ $f(x_{1})<f(x_{2})$ לכל $x_{1},x_{2}\in D$.
• יורדת בתחום $D$ אם $x_{1}<x_{2}$ ⇐ $f(x_{1})\geq f(x_{2})$ לכל $x_{1},x_{2}\in D$.
• יורדת ממש בתחום $D$ אם $x_{1}<x_{2}$ ⇐ $f(x_{1})>f(x_{2})$ לכל $x_{1},x_{2}\in D$.

נקח את הפונקציה $f(x)=\sin x$ אשר היא מונוטונית יורדת ממש בתחום $D=\left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]$.

הפונקציה $f$ תקרא זוגית אם $f(x)=f(-x)$ לכל $x \in D$.

הפונקציה $f$ תקרא אי-זוגית אם $f(x)=-f(-x)$ לכל $x \in D$.

הפונקציה $f(x)=[x]$ לא אי-זוגית.
הפונקציה $f(x)=\sin x$ היא כן אי-זוגית.
פונקציית דריכלה היא זוגית.

1. אינטואיצה: שיקוף.
2. בפונקציה אי-זוגית, $f(0)=0$.

הפונקציה $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ תקרא מחזורית אם קיים $0 \neq T \in \mathbb{R}$ כל ש-$f(x)=f(x+T)$ לכל $x \in \mathbb{R}$.
נקרא ל-$T$ המחזור של הפונקציה.

הפונקציה $\sin x$ מחזורית עם $T$ מינימלי שהוא $2\pi$.
פונקציית דריכלה היא מחזורית עם $T$ כמו $1,2, \frac{1}{2}$.

הפונקציה $f:D\to E$ תקרא חד-חד ערכית(חח"ע) ב-$D$ אם $x_{1}\neq x_{2}$ אזי $f(x_{1})\neq f(x_{2})$ לכל $x_{1},x_{2} \in D$.

הפונקציה $x+2$ היא חח"ע.
הפונקציה $x^2$ אינה חח"ע ל-$D=\mathbb{R}$ אך כן חח"ע עבור $D=\mathbb{R}^+$.
הפונקציה ערך שלם אינה חח"ע שכן כל ה-x-ים בין 0 ל-1 מקבלים את אותו הערך.

כל פונקציה מחזורית, כאשר התחום גדול ממחזור אחד של הפונקציה, אינה חח"ע.

הפונקציה $f:D\to E$ נקראת על E אם לכל $y \in E$ קיים $x \in D$ כך ש-$f(x)=y$.

הטווח והתמונה מתלכדים.

הפונקציה $\sin x$ היא אינה על $\mathbb{R}$ אבל היא כן על $[-1,1]$.
הפונקציה $x^2$ היא על $\mathbb{R}^+$ אך אינה על $\mathbb{R}$.

הפונקציה $f:D\to E$ נקראת הפיכה אם קיימת פונקציה $f^{-1}:E\to D$ כך שלכל $x \in D$ מתקיים:

ולכל $y \in E$ מתקיים:

$f^{-1}$ נקראת הפונקציה ההפוכה של $f$.

אם $f$ מונוטונית ממש(עולה ממש או יורדת ממש) אזי $f$ חח"ע.

תרגיל קל

תהי $f:D\to E$. אזי: $f$ הפיכה ⇔ $f$ חח"ע ועל $E$.

הפונקציה $x+2$ הינה חח"ע שכן היא מונוטונית עולה ממש(ואז לפי משפט) והיא על $\mathbb{R}$ ולכן היא הפיכה(על פי משפט).
במקרה זה: $f^{-1}(y)=y-2$.
הפונקציה $x^2$ אינה הפיכה שכן היא אינה חח"ע ואינה על $\mathbb{R}$.
הפונקציה $x^2$ בתחום $D=\mathbb{R}^+$ ובטווח $E=\mathbb{R}^+$ היא כן הפיכה.(היא חח"ע והיא על $\mathbb{R}^+$) ואז: $f^{-1}(y)=\sqrt{ y }$
הפונקציה $\sqrt{ x }$ היא הפיכה, כאשר ההופכית שלה היא הפונקציה מהשורה הקודמת.

$\sin x:\; [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\to[-1,1]$ היא פונקציה הפיכה

יהיו $f,g:D\to E$. אזי:

יהיו $f:D\to E,\; g:E\to H$. נגדיר:

פונקציה $f$ תקרא אלמנטרית אם היא מתקבלת על ידי $+,-,\cdot,\div,\circ$ ממשפחות הפונקציות הבאות:

1. פולינומים ופונקציות רציונליות($\frac{p(x)}{q(x)}$ כאשר $p,q$ פולינומים)
2. פונקציות שורשים - $\sqrt{ x }$
3. פונקציות מעריכיות - $a^x$.
4. פונקציות לוגריתמיות - $\log_{a}x$.
5. פונקציות טריגונומטריות - $\sin x,\cos x,\tan x$.
6. פונקציות טריגונומטריות הפוכות - $\arcsin x,\arccos x,\arctan x$.

פונקציה שאינה אלמנטרית:

היא אינה אלמנטרית שכן היא אינה מתקבלת על ידי הפעולות.

פונקציה אלמנטרית:

זוהי פונקציה אלמנטרית מכיוון שניתן לכתוב אותה כ-$\sqrt{ x^2 }=|x|$ ולכן היא אלמנטרית.

דירכלה, $[z]$ לא אלמנטריות.

תהי $f$ מוגדרת בקרן $(a,\infty)$. נאמר כי $\lim_{ x \to \infty }f(x)=L$ אם לכל $\epsilon>0$ קיים $M$ כך שאם $x>M$ אז $|f(x)-L|<\epsilon$

נוכיח לפי ההגדרה:
יהי $\epsilon>0$. נגדיר $M=\frac{1}{\sqrt{ \epsilon }}$ ואז, לכל $x>M$ מתקיים:

הערה: בצעד האחרון, נשים לב כי יכול להיות שנחלק ב-0, אבל בגלל שאנו לוקחים $M$ אזי $x$ לא יכול להיות 0.

הוכיחו לבד כי:

• $\lim_{ x \to \infty } \frac{1}{x}=0$
• הגדירו $\lim_{ x \to -\infty }f(x)$ (המושג המקביל כאשר $x\to -\infty$)
• המשפטים הבאים:
  • יחידות הגבול
  • חשבון גבולות (כמה משפטים)
  • חסומה כפול שואפת ל-$0$
  • יחס סדר גבולות (כמה משפטים)

יהיו $f(x),g(x),h(x)$ פונקציות שמוגדרות ב-$(a,\infty)$ כך ש-$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ לכל $a<x$.
נניח כי $\lim_{ x \to \infty }h(x)=L$ וגם $\lim_{ x \to \infty }f(x)=L$.
אזי, $\lim_{ x \to \infty }g(x)=L$.

תהי $f(x)$ פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של $a$.
נאמר ש-$\lim_{ x \to a }f(x)=L$ אם לכל $\epsilon>0$ קיים $\delta>0$ כך שאם $0<|x-a|<\delta$ אז $|f(x)-L|<\epsilon$.

נוכיח: יהי $\epsilon>0$. נגדיר $\delta=2\epsilon>0$ ואז אם $0<|x-3|<\delta$ אז:

נוכיח: יהי $\epsilon>0$. נגדיר $\delta=\epsilon>0$ ואז אם $0<|x-a|<\delta$ אזי:

$*$ נשים לב כי $|\sin \alpha|\leq |\alpha|$.

נוכיח: יהי $\epsilon>0$. נגדיר $\delta=\frac{\epsilon}{7}>0$ ואז אם $0<|x-3|<\delta$ אז:

אם $\delta\leq1$ אז $|x-3|<1$ לכן: $-1<x-3<1$ ואז $5<x+3<7$ ולכן $|x+3|<7$.

תהי $f(x)$ פונקציה אלמנטרית המוגדרת בסביבה של $a$. אזי:

לפי המשפט, נציב 0:

בזהירות: $\lim_{ x \to 0 } \frac{1}{x}\neq \frac{1}{0}$ שכן $0$ אינה מוגדרת. - נשים לב שאנו בסביבה לא נקובה.

אם קיים הגבול $\lim_{ x \to a }f(x)$ אז הוא יחיד.

אם קיים הגבול $\lim_{ x \to a }f(x)=L$, אז $f$ חסומה בסביבה נקובה של $a$.

אם הגבול קיים וגם $f(a)$ קיים, אז, $f$ תהא חסומה בסביבה של $a$.

1. $f(x)=[x]$ בנקודה $0$. - אנו מתקרבים מכל צד למספר אחר ולכן לא קיימת סביבה אחת.
2. $f(x)=\frac{1}{x}$ בנקודה 0. - כשמתקרבים ל-$0$ מצד אחד הפונק' שואפת ל-$\infty$ ומהצד השני ל-$-\infty$.
3. $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ בנקודה 0.

אם $\lim_{ x \to a }f(x)=L$ ו-$L>0$. אזי, קיימת סביבה נקובה של $a$, שבה $f$ חיובית.

לבד - יכול להיות שיופיע בגליון בית.

יהיו $f,g$ מוגדרות בסביבה מנוקבת של $a$.
אם $\lim_{ x \to a }f(x)=L,\lim_{ x \to a }g(x)=M$ אזי:
$\quad$ א. $\lim_{ x \to a }cf(x)=cL$ לכל $c \in \mathbb{R}$
$\quad$ ב. $\lim_{ x \to a }f(x)\pm g(x)=L\pm K$
$\quad$ ג. $\lim_{ x \to a }f(x)g(x)=LM$
$\quad$ ד. כאשר $M\neq0$ ו-$g(x)\neq0$ בסביבה, אזי: $\lim_{ x \to a } \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L}{M}$.
$\quad$ה. $\lim_{ x \to a }|f(x)|=|L|$

המשפט הנ"ל אינו נכון עם $>$.

אם $h(x)\leq g(x)\leq f(x)$ בסביבה מנוקבת של $a$, $\lim_{ x \to a }f(x)=L$, $\lim_{ x \to a }h(x)=L$.
אזי $\lim_{ x \to a }g(x)=L$.

אם $\lim_{ x \to a }f(x)=0$ ו-$g(x)$ חסומה בסביבה מנוקבת של $a$ אז $\lim_{ x \to a }f(x)g(x)=0$.

יהי $a>0$. אזי $\lim_{ x \to a }\sqrt{ x }=\sqrt{ a }$.

יהי $\epsilon>0$. נגדיר $\delta=min\left\{ a,\epsilon \sqrt{ a } \right\}$ ואז, לכל $x$ שמקיים $0<|x-a|<\delta$ מתקיים:

תהי $f$ מוגדרת בסביבה מנוקבת של $a$. אזי $\lim_{ x \to a }f(x)=L$ ⇔ לכל סדרה $\lim_{ n \to \infty }x_{n}=a$ כאשר $x_{n}\neq a$ מתקיים $\lim_{ n \to \infty }f(x_{n})=L$.

לפונקציה $\sin \frac{1}{x}$ אין גבול ב-$0$.

נוכיח לפי היינה כך:

• נראה כי קיימות 2 סדרות אשר שתיהן שואפות ל-0.($x_{n},y_{n}$) כך של-$\sin \frac{1}{x_{n}}$ ול-$\sin \frac{1}{y_{n}}$ יש גבולות שונים. ואמנם, נגדיר $x_{n}=\frac{1}{2\pi n+\frac{\pi}{2}}$ ואז $\sin \frac{1}{x_{n}}\underset{n\to \infty}{\longrightarrow}1$. ונגדיר, $y_{n}=\frac{1}{2\pi n-\frac{\pi}{2}}$ ואז $\sin \frac{1}{y_{n}}\underset{n\to \infty}{\longrightarrow}-1$.

תרגיל טוב לעשות בבית יהא להוכיח כי לפונקציית דיריכלה אין גבול בשום נקודה.

תהי $f$ מוגדרת בסביבה ימנית של $a$. נאמר כי $\lim_{ x \to a^{+} }f(x)=L$ (מימין) אם לכל $\epsilon>0$ קיימת $\delta>0$ כך ש-

תהי $f$ מוגדרת בסביבה שמאלית של $a$. נאמר כי $\lim_{ x \to a^{-} }f(x)=L$ (משמאל) אם לכל $\epsilon>0$ קיימת $\delta>0$ כך ש-

הוכיחו כי $\lim_{ x \to 0^+ }\sqrt{ x }=0$.

הוכיחו גם לפי היינה וגם לפי הגדרת $\delta,\epsilon$ את כל המשפטים שנכתבו מלמעלה בשביל גבול מימין וגבול משמאל. (60 הוכחות סה"כ)

לא ניתן לדבר על הגבול של $\sqrt{ x }$ ב-$x\to0$ מכיוון שהסביבה לא מוגדרת.

תהי $f(x)$ מוגדרת בסביבה מנוקבת של $a$.
$\lim_{ x \to a }f(x)$ קיים $\iff$ שני הגבולות החד-צדדיים בנקודה $a$ קיימים ושווים.

ל-$[x]$ אין גבול בכל $a \in \mathbb{Z}$.

תהי $f$ מונוטונית וחסומה בסביבה ימנית של $a$. אזי, הגבול $\lim_{ x \to a^+ }f(x)$ קיים.

תהי $f$ מונוטונית בקטע $I$. אזי, יש ל-$f$ גבולות חד-צדדיים בכל נקודה פנימית של $I$.

צפו בסרטון $\#15$ בפרק על נגזרות ב"טכניון מלמדים" בו מוסבר על הגבול הבא:

לפי חסומה כפול אפסה.

נכתוב $n \sin \frac{1}{n}=\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}$ נראה כי אם נגיד $x=\frac{1}{n}$ אזי, זה יהיה בדיוק הגבול הידוע $\frac{\sin x}{x}$. אנו יודעים כי $\frac{1}{n}$ היא סדרה השואפת לאפס. לכן, לפי היינה, עם הסדרה $x_{n}=\frac{1}{n}\underset{n\to \infty}{\longrightarrow}0$ והפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ נקבל כי: $\lim_{ n \to \infty } \frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1$.

נאמר כי $\lim_{ x \to a }f(x)=\infty$ אם לכל $M$ קיימת $\delta>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)>M$.

נאמר כי $\lim_{ x \to a }f(x)=-\infty$ אם לכל $M$ קיימת $\delta>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)<M$.

נוכיח לפי ההגדרה:
יהי $M>0$. נגדיר $\delta=\frac{1}{\sqrt{ M }}>0$ ולכן, לכל $x\neq0$ ו-$-\frac{1}{\sqrt{ M }}<x< \frac{1}{\sqrt{ M }}$:

נסו לכתוב את כל 15 הגדרות הגבול האפשריות מזיכרון בלבד.

לא כל המשפטים עבור $L$ תקפים עבור $\pm \infty$.
למשל: $\text{"}\infty-\infty\text{"}$ או $\text{"} \frac{\infty}{\infty}\text{"}$ או $\text{"}0 \cdot \infty\text{"}$ ועוד לא בעלי משמעות אחידה.

נסחו והוכיחו $\text{"}\infty+\infty\text{"}$, $\text{"}\infty\cdot \infty\text{"}$, $\text{"}\infty\cdot L\text{"}$ ועוד.

נסחו והוכיחו את משפט הפיצה.

תהי $f$ מוגדרת בסביבה מנוקבת של $a$. אזי, הגבול $\lim_{ x \to a }f(x)$ קיים ⇔ לכל $\epsilon>0$ קיימת $\delta>0$ כך שאם $0<|x_{1}-a|<\delta$ וגם $0<|x_{2}-a|<\delta$ אז $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\epsilon$.

זה לא קל. זה עוד יותר לא קל ממה שזה היה בסדרות.
זה למיטיבי לכת.

תהי $f$ מוגדרת בסביבה של הנקודה $a$. נאמר כי $f$ רציפה בנקודה $a$ אם: $\lim_{ x \to a }f(x)=f(a)$.

תהי $f$ מוגדרת בסביבה של הנקודה $a$. נאמר כי $f$ רציפה בנקודה $a$ אם לכל $\epsilon>0$ קיימת $\delta>0$ כך שאם $|x-a|<\delta$ אז $|f(x)-f(a)|<\epsilon$.

תהי $f$ מוגדרת בסביבה של הנקודה $a$. נאמר כי $f$ רציפה בנקודה $a$ אם לכל סדרה $x_{n}\underset{n\to \infty}{\longrightarrow}a$ מתקיים $f(x_{n})\underset{n\to \infty}{\longrightarrow}f(a)$.

אם $f,g$ רציפות בנקודה $a$ אזי $f+g$, $\alpha f$, $f\cdot g$, $\frac{f}{g}$($g \neq 0$) רציפות בנקודה $a$.

אם $f$ רציפה בנקודה $a$ וגם $g$ רציפה בנקודה $f(a)$, אזי $g \circ f$ רציפה בנקודה $a$.

כל פונקציה אלמנטרית היא רציפה בכל נקודה בתחום הגדרתה.